La regla del trapecio: Fórmulas, Ejemplos

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La Regla Trapezoidal es una forma de la suma de Riemann. Sin embargo, ¡la Regla Trapezoidal utiliza trapezoides en lugar de rectángulos! Curiosamente, utilizar subregiones trapezoidales para aproximar el área suele ser más exacto que utilizar rectángulos. En este artículo, exploraremos la derivación, la fórmula y el error de la Regla Trapezoidal. Por último, aplicaremos la Regla Trapezoidal a algunos ejemplos.

La regla trapezoidal Definición y fórmula del área

Antes de entrar en cómo se utiliza esta técnica en la práctica, ¡definamos qué es esta regla!

La Regla Trapezoidal es una técnica de aproximación integral que divide el área bajo la curva en pequeños trapecios. El área de cada trapecio se suma para aproximar el área total bajo la curva.

Regla trapezoidal área bajo la curva subregiones trapezoidales StudySmarter

La Regla Trapezoidal estima el área bajo la curva dividiendo la región en subregiones trapezoidales - StudySmarter Original

El área de un trapecio se define como

$\frac{1}{2} \times (distance between each base) \times (sum of the length of each base)$

Trasladando esta fórmula a la figura anterior, podemos decir que el área del trapezoide situado más a la izquierda se define como

$\frac{1}{2} \times (∆ x) \times (f (x_{0}) + f (x_{1})) = \frac{∆ x}{2} \times (f (x_{0}) + f (x_{1}))$

Análogamente, la fórmula del área del 2º trapecio más a la izquierda se define como

$\frac{1}{2} \times (∆ x) \times (f (x_{1}) + f (x_{2})) = \frac{∆ x}{2} \times (f (x_{1}) + f (x_{2}))$

La fórmula del área de cada trapecio se formula del mismo modo. La Regla Trapezoidal afirma que podemos estimar el área bajo la curva sumando el área de cada uno de estos trapezoides. La Regla Trapezoidal se obtiene factorizando $\frac{∆ x}{2}$ y sumando la longitud de cada base, donde $f (x_{1})$ a través de $f (x_{n - 1})$ se multiplican por un factor de dos porque son bases compartidas por otros trapezoides.

Entonces, para aproximar la integral definida de una función f(x), la Regla Trapezoidal dice

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{2} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + . . . + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]

donde n es el número de trapecios, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ y $x_{i} = a + i ∆ x$ .

A medida que el número de subregiones trapezoidales n se aproxima al infinito, el lado derecho de la Regla Trapezoidal se aproxima a la integral definida del lado izquierdo. En otras palabras, la aproximación de la integral se hace más precisa a medida que n aumenta.

Sobreestimación y subestimación mediante la regla trapezoidal

Vuelve a mirar el gráfico bajo la definición de la Regla Trapezoidal. Observa cómo algunas de las subregiones trapezoidales permanecen bajo el gráfico, mientras que otras subregiones sobresalen por encima del gráfico. Cuando el gráfico es "cóncavo hacia arriba" (el gráfico se curva hacia arriba), las subregiones tienden a sobrestimar el área bajo la curva.

Cuando el gráfico es "cóncavo hacia abajo" (el gráfico se curva hacia abajo), las subregiones tienden a subestimar el área bajo la curva. Basándonos en la concavidad de una función, podemos utilizar esta observación para saber si la Regla Trapezoidal sobrestimará o subestimará el área bajo la curva.

A continuación se muestra un ejemplo gráfico que ilustra la diferencia entre una sobreestimación y una subestimación.

Regla trapezoidal diferencia entre sobreestimación y subestimación en un gráfico StudySmarter Observa cómo los trapecios se extienden por encima de la función cuando hay una sobreestimación y se sitúan por debajo de la función cuando hay una subestimación - StudySmarter Originals

Límites de error de la regla trapezoidal

Como las técnicas de integración numérica, como la Regla Trapezoidal, son una estimación, calcular el error de esa estimación es increíblemente importante.

Error relativo

Utilizando el sentido común, calculamos el error relativo de un cálculo de la Regla Trapezoidal (dado como porcentaje) mediante la fórmula del error relativo:

\begin{array}{rcl} R e l a t i v e e r r o r & = & \frac{|a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l|}{a c t u a l} \times 100 % \\ = & \frac{|T_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x|}{\int_{a}^{b} f (x) d x} \times 100 % \end{array}

donde $T_{n}$ es la aproximación de la integral con la Regla Trapezoidal y $\int_{a}^{b} f (x) d x$ es el área real.

No siempre podemos calcular exactamente la integral de una función. Incluso puede ser demasiado difícil aproximar ciertas integrales definidas (más sobre esto en nuestros artículos universitarios...). ¡También puedes ver la profundización en nuestro artículo Aproximación de áreas para echar un vistazo!

Error absoluto

Además del error relativo, el error absoluto de nuestra aproximación mediante la regla trapezoidal puede calcularse utilizando la fórmula del error absoluto:

$\begin{array}{rcl} A b s o l u t e e r r o r & = & |a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l| \\ = & |T_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x| \end{array}$

Límites de error para la regla trapezoidal

Podemos utilizar una fórmula de límite de error que nos indique el área máxima posible de nuestra aproximación. Para la Regla Trapezoidal, la fórmula del límite de error es

$|E_{T}| \leq \frac{K {(b - a)}^{3}}{12 n^{2}}$ para $|f'' (x)| \leq K$

donde $E_{T}$ es el error exacto de la Regla Trapezoidal y $f'' (x)$ es la segunda derivada de f(x). Esencialmente, K es el valor máximo de la segunda derivada en el intervalo [a, b].

Los usos del límite de error tendrán más sentido cuando veamos algunos ejemplos.

Ejemplos de uso de la regla trapezoidal para estimar la integral

Ejemplo 1

Considera la función $f (x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo cerrado [1, 3]. Utiliza la Regla Trapezoidal para estimar la $\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x$ utilizando n = 4. Luego, encuentra n tal que el límite de error sea como máximo 0,001.

Hagamos una gráfica de f(x ) para visualizar la curva.

Gráfico de la regla trapezoidal de 1/x con 4 subregiones StudySmarter Ejemplo 1: Gráfica de 1/x - StudySmarter Original

Paso 1: Hallar $∆ x$

Enchufando nuestro intervalo dado y n subregiones :

$∆ x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Paso 2: Introducir los valores conocidos en la fórmula de la regla trapezoidal

A partir de aquí, todo lo que tenemos que hacer es introducir nuestros valores conocidos en la fórmula de la Regla Trapezoidal. Como nuestro intervalo es [1, 3] y el problema nos pide que utilicemos n = 4 $x_{i} = 1 + i (\frac{1}{2})$ lo que significa que cada trapecio tiene una anchura de $\frac{1}{2}$ unidades.

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x & \approx & \frac{\frac{1}{2}}{2} [f (1) + 2 f (1.5) + 2 f (2) + 2 f (2.5) + f (3)] \\ = & \frac{1}{4} [\frac{1}{1} + \frac{2}{1.5} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2.5} + \frac{1}{3}] \\ = & \frac{1}{4} [\frac{67}{15}] \\ = & \frac{67}{60} u n i t s^{2} \end{array}$

Paso 3: Considera si nuestra estimación es una sobreestimación o una subestimación

Observando la gráfica de f, podemos ver que en el intervalo [1, 3] la gráfica es cóncava hacia arriba, por lo que es probable que nuestra estimación sea una sobreestimación.

Paso 4: Considera el límite de error máximo

Utilicemos nuestra fórmula de límite de error para ver exactamente en qué medida nuestra aproximación es una sobreestimación.

En la fórmula del límite de error $E_{T}$ nuestro único valor desconocido es K. Sin embargo, podemos utilizar la segunda derivada de f(x) para hallar K.

Puesto que $f (x) = \frac{1}{x}, f' (x) = \frac{- 1}{x^{2}}, f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$ utilizando la Regla de Potencia.

Para hallar K, tenemos que considerar dónde $|f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}|$ será el mayor en el intervalo [1, 3]. Sabemos que minimizando x maximizaremos f''(x). Así que $|f'' (x)|$ es mayor cuando x = 1.

$f'' (1) = \frac{2}{1^{3}} = 2 = K$

Ahora que conocemos todos los valores de $E_{T}$ son conocidos, podemos simplemente introducirlos para hallar nuestro límite.

$|E_{T}| \leq \frac{2 {(3 - 1)}^{3}}{12 {(4)}^{2}} = \frac{16}{192} = 0.083$

Como máximo, el error de nuestra estimación es de 0,083.

Paso 5: Encontrar un n mínimo tal que el error sea como máximo de 0,001

Para encontrar el mínimo n que garantice que el error es inferior a 0,001, dejamos que n sea nuestra incógnita.

$\frac{16}{12 n^{2}} \leq 0.001 \to \frac{4000}{3} \leq n^{2} \to 36.5 \leq n$

Así, para garantizar que nuestro error es como máximo de 0,001, debemos utilizar al menos 37 subregiones trapezoidales.

Ejemplo 2

Utiliza la Regla Trapezoidal para aproximar el área bajo la curva de f(x), que debes suponer diferenciable en [-3, 3], dada en la tabla siguiente con n = 6.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	0	2	5	9	14	20	27

Paso 1: Encuentra $∆ x$

Enchufando nuestro intervalo dado y n subregiones :

$∆ x = \frac{3 - (- 3)}{6} = 1$

Paso 2: Introducir los valores conocidos en la Regla Trapezoidal

A partir de aquí, todo lo que tenemos que hacer es introducir nuestros valores conocidos en la fórmula de la Regla Trapezoidal. Como nuestro intervalo es [-3, 3] y el problema nos pide que utilicemos n = 6 $x_{i} = 1 + i$ lo que significa que cada trapecio tiene una anchura de 1 unidad.

$\begin{array}{rcl} \int_{- 3}^{3} f (x) d x & \approx & \frac{1}{2} [f (- 3) + 2 f (- 2) + 2 f (- 1) + 2 f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + f (3)] \\ = & \frac{1}{2} [0 + 2 (2) + 2 (5) + 2 (9) + 2 (14) + 2 (20) + 27] \\ = & \frac{1}{2} [127] \\ = & 63.5 {units}^{2} \end{array}$

Paso 3: Considera si nuestra estimación es una sobreestimación o una subestimación

Aunque no tenemos una gráfica de nuestra función, cierra los ojos e intenta visualizar el aspecto que podría tener esta función dada la tabla de valores. Dado que todos los valores de la tabla son crecientes en el dominio y que la velocidad a la que aumentan los valores también es creciente, podemos suponer que f(x ) es cóncava hacia arriba. Así, podemos suponer que nuestra aproximación es probablemente una sobreestimación.

Sin la función f(x), no podemos comprobar el límite máximo de error, ya que no podemos tomar la 2ª derivada de una tabla de valores.

Regla trapezoidal frente a la regla de Simpson

La estimación de áreas mediante trapezoides y rectángulos utiliza líneas rectas sobre la forma. Al leer el artículo sobre la Regla de Simpson, descubrirás que sustituimos las rectas de los trapezoides y rectángulos por una curva (más concretamente, una curva parabólica). ¡Más información en el artículo sobre la Regla de Simpson!

La regla trapezoidal - Puntos clave

La reglatrapezoidal es una técnica de aproximación integral que divide el área bajo la curva en pequeños trapecios y suma el área de cada trapecio para aproximar el área total bajo la curva.
Para aproximar la integral definida de una función f(x), la Regla Trapezoidal dice $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{2} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + . . . + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$
donde n es el número de trapecios, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ y $x_{i} = a + i ∆ x$
Al utilizar la Regla Trapezoidal en una función cóncava ascendente, las subregiones tienden a sobreestimar el área bajo la curva
Al utilizar la Regla Trapezoidal en una función cóncava hacia abajo, las subregiones tienden a subestimar el área bajo la curva
Podemos utilizar una fórmula de límite de error que nos indique el error máximo posible de nuestra aproximación
- Para la Regla Trapezoidal, la fórmula de límite de error es
  $|E_{T}| \leq \frac{K {(b - a)}^{3}}{12 n^{2}}$ para $|f'' (x)| \leq K$
  donde $E_{T}$ es el error exacto de la Regla Trapezoidal y f''(x) es la segunda derivada de f(x)

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Preguntas frecuentes sobre La regla del trapecio

¿Qué es la regla del trapecio?

Es un método de integración que aproxima el área bajo una curva dividiéndola en trapecios.

¿Cómo se aplica la regla del trapecio?

Se suman las bases de los trapecios y se multiplican por la altura promedio, dividiendo luego entre dos.

¿Cuándo se usa la regla del trapecio?

Se usa cuando necesitas calcular integrales definidas de manera aproximada.

¿Cuáles son las ventajas de la regla del trapecio?

Sus ventajas incluyen simplicidad y fácil aplicación, aunque puede ser menos precisa que otros métodos.

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