Importancia de las leyes límite
Quizá te preguntes por qué son importantes las leyes límite en cálculo. Ya conoces la definición de límite de una función. ¿Por qué no aplicarla? La razón es que es mucho más eficaz demostrar una cosa sobre las funciones en general que utilizar la definición en todas y cada una de las funciones. Es la diferencia entre demostrar que a los perros les gusta jugar y demostrar que a mi perro le gusta jugar, a tu perro le gusta jugar, al perro del vecino le gusta jugar... y así sucesivamente.
Leyes límite en cálculo
Muchos libros de texto mencionarán las propiedades de los límites que se enumeran a continuación, ya que son las más comunes. A veces incluso se refieren a ellas como las 5 leyes de los límites.
Teorema: Propiedades de los límites, también conocidas como leyes límite
Supongamos que \(L\), \(M\), \(a\) y \(k\) son números reales, siendo \(f\) y \(g\) funciones tales que:
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\]
y
\lim_x flecha derecha a} g(x)=M].
Entonces se cumple lo siguiente:
Regla de la suma: \(lim_{x \rightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M)
Regla dela diferencia: \(lim_x flecha derecha a} (f(x)-g(x))=L-M)
Regladel producto: \(lim_x flecha a (f(x)+ punto g(x))=L punto M)
Reglamúltiple constante: \(lim_x flecha a} k punto f(x) = k punto L)
Regla del cociente: Si \neq 0\) entonces
\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}]
Regla de la potencia: Si \(r, s \in R \), con \(s \neq 0\), entonces
\lim_{x \rightarrow a} \left( f(x) \right)^{r/s}=L^{r/s} \].
siempre que \(L^{r/s}\) sea un número real y \(L>0\) cuando \(s\) sea par.
Para ver más ejemplos de cómo hallar límites de funciones concretas, consulta Hallar límites. Para recordar la definición de límite de una función, consulta Límites de una función.
Es fundamental asegurarse de que se cumplen las condiciones antes de aplicar las propiedades de los límites. Veamos un ejemplo.
Toma
\(f(x)=x\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) e intenta hallar:
\[lim_{x \cdot 0} (f \cdot g)(x)\}.
Respuesta:
Probablemente te sientas tentado a utilizar simplemente la Regla del Producto para los límites. Ya sabes que
\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=0\]].
Sin embargo, si intentas aplicar la definición de límite para \(g(x)\), verás que por muy cerca que lleves tu ventana \(\delta) a \(a=0\), no funcionará porque la función tiene una asíntota vertical en \(x=0\). Por tanto, \(g(x)\) no tiene límite en \(a=0\). Pero
\lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))= lim_{x \rightarrow 0} \left( x \cdot \dfrac{1}{x} \right)|].
lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))=lim_{x \rightarrow 0} (1)\cdot g(x))=lim_{x \rightarrow 0} (1)\cdot g(x)].
\lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))=1]
¡que no es lo que obtienes cuando multiplicas juntos \(0\) y algo que no existe! Así que, mientras que el límite del producto existe, el producto de los límites no.
Cálculo de límites mediante las leyes límite
Para algunas funciones, las leyes de los límites se utilizan tanto que es más fácil fijarse en tipos de funciones que en montones de funciones. Resulta que los polinomios y las funciones racionales son especialmente agradables.
Definiciones y leyes límite
En los ejemplos siguientes, se utilizó la definición de límite para demostrar que
\[lim_{x \rightarrow a} x=a\]
y
\lim_[lim_x \rightarrow a} k=k\]
donde \(k\) es una constante. Consulta Límites de una función para saber cómo aplicar la definición de límite.
Toma la función
\[f(x)=10x^3-2x+1\]
y que \(a\) es un número real constante. Halla
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)\]
Respuesta:
Si te fijas bien, verás que la función no es más que la suma y el producto de potencias de \(x\), ¡junto con la constante! Por tanto, ¡se cumple la condición necesaria para utilizar nuestras leyes límite! Aplicándolas se obtiene
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = lim_{x \rightarrow a} (10x^3-2x+1)\}].
\lim_{x \rightarrow a} f(x)= 10 (lim_{x \rightarrow a} x) (lim_{x \rightarrow a} x) (lim_{x \rightarrow a} x)- 2 (lim_{x \rightarrow a} x)+ (lim_{x \rightarrow a} 1)].
\10a^3-2a+1\]
En el ejemplo anterior, observaste un polinomio concreto y descubriste que el límite existe. Resulta que puedes hacer este mismo proceso (utilizando la Regla de la Suma, la Regla de la Constante y la Regla de la Potencia) ¡para hallar el límite de cualquier polinomio!
Si \(f(x)\) es un polinomio y \(a\) es un número real, entonces
\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\}].
Límites de funciones racionales
Tomar el límite de funciones racionales a veces puede ser un reto. Para ver más ejemplos de técnicas que puedes utilizar para funciones racionales, consulta Encontrar límites de funciones específicas.
En el caso de que el punto en el que quieras tomar el límite esté en el dominio de la función racional, tomar el límite no es difícil. Toma
\[f(x)= \dfrac{x^2+3}{x-1}\]
y halla el límite como \(x \ flecha 4\).
Responde:
En primer lugar, pregúntate si \(x=4\) está en el dominio de la función. Resulta que sí, y de hecho
\[f(4)=\dfrac{4^2+3}{4-1}=\dfrac{16+3}{3}=\dfrac{19}{3}\].
Por tanto, utilizando la Regla del Cociente se obtiene que
\[lim_{x \rightarrow 4} = \dfrac{19}{3}\]
De forma similar al resultado para los polinomios, puedes decir lo siguiente sobre las funciones racionales:
Si \(f(x)\) es una función racional y \(a) es un número real en el dominio de \(f(x)\), entonces
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\]
Ejemplos de uso de las leyes límite
En lugar de ver una función con una definición, a veces lo único que sabrás son algunas propiedades de las funciones implicadas, y necesitarás utilizar las Leyes del Límite para sacar conclusiones sobre las funciones.
Supongamos que
\(lim_{x \rightarrow 7} f(x)=3) y (lim_{x \rightarrow 7} g(x) =-1)
Si es posible, halla lo siguiente
\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)\}.
\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)\}
[lim_x flecha derecha 7] (f+g)(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)
y
\lim_x \arrow 7} \sqrt{g(x)}].
Responde:
1. Para hallar
\[lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)\]
tienes todas las condiciones satisfechas para aplicar la Regla de la Suma, así que
\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=lim_{x \rightarrow 7} f(x) + lim_{x \rightarrow 7} g(x)].
\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=3+(-1)\}
\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=2\]
2. Puedes utilizar la Regla Constante para la siguiente, de modo que
\lim_{x \rightarrow 7} 4g(x)=4 lim_{x \rightarrow 7} g(x)\].
\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)=4(-1)\}
\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)=-4]
3. Como el límite de \(g(x)\) como \(x \rightarrow 7\) no es igual a cero, puedes aplicar la Regla del Cociente para ver que
\[lim_{x \arrowright 7} \izquierda( \dfrac{f}{g} \derecha)={dfrac{lim_x \rightarrow 7}f(x)}{lim_x \rightarrow 7} g(x)}={dfrac{3}{-1}=-3\}].
4. La última es un poco más difícil. Aquí
\lim_x \rightarrow 7}=lim_x \rightarrow 7}\qrt{g(x)}=lim_x \rightarrow 7}\qrt{-1}].
No puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo y recuperar un número real, así que no puedes evaluarlo. Eso significa que no puedes encontrar
\lim_{x \rightarrow 7} \sqrt{g(x)}]
Leyes límite - Puntos clave
Supongamos que \(L\), \(M\), \(a\) y \(k\) son números reales, siendo \(f\) y \(g\) funciones tales que:
\(lim_x flecha a} f(x)=L) y (lim_x flecha a} g(x)=M).
Entonces se cumple lo siguiente:
Regla de la suma: \(lim_{x \rightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M)
Regla dela diferencia: \(lim_x flecha derecha a} (f(x)-g(x))=L-M)
Regladel producto: \(lim_x flecha a} (f(x) punto g(x))L punto M)
Regla de laconstante múltiple: \(lim_x flecha a} k f(x)=k L)
Regladel cociente: si (M = 0), entonces (lim_x flecha a}dfrac{f(x)}{g(x)}=dfrac{L}{M}).
Regla de la potencia: Si \ (r, s, \in Z\), con \(s \neq 0\), entonces \[lim_{x \rightarrow a}(f(x))^{r/s}=L{r/s}].
siempre que \(L^{r/s}\) sea un número real y \ (L>0\) cuando \(s\) sea par.
- Si \(f(x)\) es un polinomio y \(a)es un número real, entonces \[lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\].
Si \(f(x)\) es una función racional y \ (a\) es un número real en el dominio de \ (f(x)\), entonces \[lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\].
¡Asegúrate siempre de que se cumplen las condiciones para utilizar una de las Leyes Límite antes de usarla!
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