Leyes de los límites

Toma

\(f(x)=x\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x}\) e intenta hallar:

\[lim_{x \cdot 0} (f \cdot g)(x)\}.

Respuesta:

Probablemente te sientas tentado a utilizar simplemente la Regla del Producto para los límites. Ya sabes que

\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=0\]].

Sin embargo, si intentas aplicar la definición de límite para \(g(x)\), verás que por muy cerca que lleves tu ventana \(\delta) a \(a=0\), no funcionará porque la función tiene una asíntota vertical en \(x=0\). Por tanto, \(g(x)\) no tiene límite en \(a=0\). Pero

\lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))= lim_{x \rightarrow 0} \left( x \cdot \dfrac{1}{x} \right)|].

lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))=lim_{x \rightarrow 0} (1)\cdot g(x))=lim_{x \rightarrow 0} (1)\cdot g(x)].

\lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))=1]

¡que no es lo que obtienes cuando multiplicas juntos \(0\) y algo que no existe! Así que, mientras que el límite del producto existe, el producto de los límites no.

Toma la función

\[f(x)=10x^3-2x+1\]

y que \(a\) es un número real constante. Halla

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)\]

Respuesta:

Si te fijas bien, verás que la función no es más que la suma y el producto de potencias de \(x\), ¡junto con la constante! Por tanto, ¡se cumple la condición necesaria para utilizar nuestras leyes límite! Aplicándolas se obtiene

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = lim_{x \rightarrow a} (10x^3-2x+1)\}].

\lim_{x \rightarrow a} f(x)= 10 (lim_{x \rightarrow a} x) (lim_{x \rightarrow a} x) (lim_{x \rightarrow a} x)- 2 (lim_{x \rightarrow a} x)+ (lim_{x \rightarrow a} 1)].

\10a^3-2a+1\]

En el caso de que el punto en el que quieras tomar el límite esté en el dominio de la función racional, tomar el límite no es difícil. Toma

\[f(x)= \dfrac{x^2+3}{x-1}\]

y halla el límite como \(x \ flecha 4\).

Responde:

En primer lugar, pregúntate si \(x=4\) está en el dominio de la función. Resulta que sí, y de hecho

\[f(4)=\dfrac{4^2+3}{4-1}=\dfrac{16+3}{3}=\dfrac{19}{3}\].

Por tanto, utilizando la Regla del Cociente se obtiene que

\[lim_{x \rightarrow 4} = \dfrac{19}{3}\]

Supongamos que

\(lim_{x \rightarrow 7} f(x)=3) y (lim_{x \rightarrow 7} g(x) =-1)

Si es posible, halla lo siguiente

\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)\}.

\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)\}

[lim_x flecha derecha 7] (f+g)(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)\N-(x)

y

\lim_x \arrow 7} \sqrt{g(x)}].

Responde:

1. Para hallar

\[lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)\]

tienes todas las condiciones satisfechas para aplicar la Regla de la Suma, así que

\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=lim_{x \rightarrow 7} f(x) + lim_{x \rightarrow 7} g(x)].

\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=3+(-1)\}

\lim_{x \rightarrow 7}(f+g)(x)=2\]

2. Puedes utilizar la Regla Constante para la siguiente, de modo que

\lim_{x \rightarrow 7} 4g(x)=4 lim_{x \rightarrow 7} g(x)\].

\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)=4(-1)\}

\lim_x \rightarrow 7} 4g(x)=-4]

3. Como el límite de \(g(x)\) como \(x \rightarrow 7\) no es igual a cero, puedes aplicar la Regla del Cociente para ver que

\[lim_{x \arrowright 7} \izquierda( \dfrac{f}{g} \derecha)={dfrac{lim_x \rightarrow 7}f(x)}{lim_x \rightarrow 7} g(x)}={dfrac{3}{-1}=-3\}].

4. La última es un poco más difícil. Aquí

\lim_x \rightarrow 7}=lim_x \rightarrow 7}\qrt{g(x)}=lim_x \rightarrow 7}\qrt{-1}].

No puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo y recuperar un número real, así que no puedes evaluarlo. Eso significa que no puedes encontrar

\lim_{x \rightarrow 7} \sqrt{g(x)}]