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Lo mismo ocurre con las secuencias. Tomemos la secuencia \( \{s_n \} = \{e^{-n} +1 \} \). Es exactamente igual que la función anterior, salvo que ahora el dominio son los números naturales en lugar de los números reales. Si quieres conocer el "límite a medida que \( n \) va al infinito", buscarás valores muy grandes de \( n \), igual que buscaste valores muy grandes de \( x \).
Así que, teniendo en cuenta que el proceso será muy similar al de observar los límites de secuencias y funciones, ¡vamos a sumergirnos!
Consulta Límites de una función para repasar las funciones y cómo tomar sus límites.
Definición del límite de una sucesión
En primer lugar, veamos una definición informal del límite de una secuencia:
El límite de una suc esión es el valor al que se aproxima la sucesión a medida que el número de términos se hace muy grande.
Más formalmente:
Sea \( L \) un número real. La sucesión tiene el límite \( L \) a medida que \( n \) se acerca a \( \infty \) si dado \( \epsilon > 0 \) , existe un número \( M > 0 \) tal que \( n > M \) implica \( \left| s_n - L \right| < \epsilon \). Escribimos que
\[ \limits_{n \a \infty} s_n = L, \]
y decimos que la secuencia converge a \( L \) . Las secuencias que no tienen límite se dice que divergen.
Tomando el límite de una función como \( x \a \infty \) has tomado un candidato para el límite (llámalo \( L \) por comodidad), y luego comprueba si puedes "atrapar" los valores de la función cerca de \( L \) siempre que \( x \) sea lo suficientemente grande.
Antes de seguir, veamos una imagen de lo que ocurre.
Vuelve a la secuencia \( \{s_n \} = \{e^{-n} +1 \} \) . El candidato a límite es \( L = 1 \). Grafica los puntos de la sucesión junto con el candidato a límite \( L = 1 \) , y traza las rectas \( y = L + \epsilon = 1 + \epsilon \) y \( y = L - \epsilon = 1 - \epsilon \).
Fig. 1. Atrapando los valores de la secuencia.
Puedes ver que por muy pequeño que sea \( \epsilon \), siempre podrás salir lo suficiente (en otras palabras, elegir un \( M \) ) para que los valores de la secuencia queden atrapados entre las líneas \( y = 1 + \epsilon \) y \( y = 1 + \epsilon \). Eso significa que la secuencia converge al límite \( L = 1 \).
¿Cómo se escribe matemáticamente el límite de una secuencia?
Hay dos formas principales de escribir "el límite de la secuencia a medida que \( n \) va al infinito es igual a \( L \)", y puedes utilizar cualquiera de ellas:
\o bien
\[ \limits_{n \to \infty} s_n = L . \\]
Ambos significan lo mismo. También puedes decir que la secuencia \( \ {s _n \} \) converge a \( L \).
Naturalmente, no querrás elegir un candidato para el límite y luego tener que encontrar un \( M \) apropiado que sea lo suficientemente grande cada vez que quieras demostrar que una secuencia converge y a qué converge. Afortunadamente, como las sucesiones son funciones, puedes utilizar las mismas reglas de límite para las funciones que para las sucesiones.
La unicidad del límite de una sucesión convergente
Antes de hablar de la unicidad del límite de una sucesión, pensemos en la solución de una ecuación lineal. Decimos que la ecuación lineal \ [ ax+b=0, \] donde \ ( a \) y \ ( b \) son números reales, tiene solución única. Esto significa que sólo un valor \( x \ ) satisface cualquier par dado de valores \ ( a \) y \( b \) .
Lo mismo podemos decir del límite de una sucesión. Si una secuencia converge a un valor y, por tanto, tiene un límite, decimos que este límite es único para esa secuencia.
Fórmulas del límite de una sucesión
Supongamos que tienes dos secuencias \( \{s _n \} \) y \( \{t _n \} \) , y sabes que ambas convergen. En otras palabras, existen números \( L \) y \( P \) tales que
\[ \limits_{n \a \infty} s_n = L \mbox{ y } \limita a la infinidad t_n = P . \]
Entonces se cumplen las siguientes reglas:
Regla de la suma:
\(s_n + t_n ) = Límites n a infty s_n + Límites n a infty t_n = L + P . \]
Regla de la diferencia:
\[ \limites_de_n a \infty} (s_n - t_n ) = \limites_de_n a \infty} s_n - \limites_de_n a \infty} t_n = L - P . \]
Regla del producto:
\(s_n \cdot t_n ) = \left( \limits_n \to \infty} s_n \right) \cdot \left( \limits_n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]
Regla de la constante múltiple:para cualquier constante \( C \),
\(C \cdot s_n ) = C \cdot \limits_n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]
Regla del cociente: Si \( P \not= 0 \) y \( t_n \not= 0 \) para todo \( n \in \mathbb{n} \), entonces
|limits_{n \a \infty} \izquierda( \frac{s_n}{t_n} derecha) = \frac{limita{n} {a \infty} s_n} {limita{n} {a \infty} t_n} = \frac{L} {P} . \]
Debe saberse que ambos límites con los que trabajas convergen para que estas propiedades se cumplan.
Entonces, ¿cómo te ayudan las propiedades de los límites de las sucesiones a comprender que si una sucesión converge, el límite tiene que ser único?
Bien, supongamos que tienes una secuencia que converge a dos cosas diferentes, digamos \( \{ s_n \} \a L\) y \( \{ s_n \} \a P\), con \( L \not= P \). Entonces puedes utilizar la Regla de la Diferencia para decir que
\[ \limites_n \a \infty} (s_n - s_n ) = \limites_n \a \infty} s_n - \limites_n \a \infty} s_n = L - P . \]
Pero espera un momento, \( s_n - s_n = 0 \), por lo que también es cierto que
|limita_de_n a \infty} (s_n - s_n ) = \limita_de_n a \infty} 0 = 0.\]
Ahora sabes que \( L - P = 0 \), o dicho de otro modo, que \( L = P \). Así que, en realidad, ¡no tenías dos límites distintos después de todo!
Esto se llama "prueba por contradicción" y es una técnica matemática habitual. Primero, supones algo y luego demuestras que lo que suponías no podía ser cierto desde el principio.
Propiedades de los límites de una secuencia Ejemplos
¡Practiquemos algunas de estas propiedades que acabamos de ver!
Volviendo a la secuencia \( \{s_n \} = \{e^{-n} +1 \} \) , utiliza las propiedades de los límites de las secuencias para hallar el límite como \( n \a \infty \) .
Responde :
Utilizando la regla de la suma,
\[ inicio{alineación} \límite_de_n a \infty} s_n & = límite_de_n a \infty} (e^{-n} +1 ) límite_de_n a \infty} e^{-n} + límites de n a infty 1 = 0 + 1 = 1. \fin \]
Es muy importante que te asegures de que se cumplen las condiciones para utilizar las reglas de las secuencias. Recuerda que debes saber que ambas sucesiones convergen y que si utilizas la regla del cociente, la del denominador tiene un límite distinto de cero. Si no se cumplen, ¡puede pasar cualquier cosa!
¿Qué ocurre si una de tus sucesiones no converge? Aunque el límite del producto exista, no puedes hacer una multiplicación con algo que no existe. Los tres ejemplos siguientes te mostrarán lo que puede ocurrir si ambos límites no convergen.
Ejemplo 1: Toma las secuencias \( \{ s_n \} = \{ n \} \) y
\[ \{ t_n \} = \frac{1}{n} \right\}].
Entonces \( \{ s_n \} \) diverge mientras \( \{ t_n \} \a \infty\ ). Pero
\[ inicio \(s_n \cdot t_n ) &= \limites_n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n} \\ y= límites {n} a {infty} 1 y= 1 . \fin \]
Así que aquí obtienes 1 para el límite del producto.
Ejemplo 2: ¿Puedes obtener otra cosa para el límite del producto si no sale el límite de una de las secuencias? Si en lugar de eso tomas la secuencia
\[ \{ w_n \} = \left{ \frac{1}{n^2} \right\}, \]
entonces \ ( \{ w_n \} \a 0 \ ) mientras que
\[ inicio{alineación} \(s_n \cdot w_n ) &= \limits_n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n^2} \\ &= Límites entre n e infty \frac{1}{n} \\ &= 0 . \fin{align} \]
Aquí has obtenido 0 para el límite del producto, lo que sin duda no es lo mismo que obtuviste en el primer ejemplo.
Ejemplo 3: ¿Puedes conseguir que el límite del producto diverja si el límite de una de las secuencias es cero, pero el límite de la otra secuencia no existe? ¿Y si \( \{ z_n \} = \{ n^2 \} \) ? Entonces
\[ \n} {align} \(z_n \cdot t_n ) &= \limits_n \to \infty} n^2 \cdot \frac{1}{n} \\ límites entre n e infty n, fin. \]
y el producto diverge. Por tanto, ¡puedes conseguir que el límite del producto no exista!
Así que si no tienes las condiciones correctas para utilizar la Regla del Producto, puede ocurrir cualquier cosa, ¡y no puedes predecir de antemano lo que puede ser!
Ejemplos de límites de secuencias
Veamos más ejemplos de los tipos de límites que puede tener una función y los casos en los que no tiene límite.
¿La secuencia
\[ \{ s_n \} = \left\{ 2 + \frac{4}{n} \right\} \]
¿tiene un límite? En caso afirmativo, ¿cuál es?
Responde:
Otra forma de plantear esta pregunta es: "¿se aproxima la secuencia anterior a un valor único a medida que \( n \) se hace grande? Veamos.
En la pregunta, hay un término \( \frac{4}{n} \). Veamos la función equivalente a éste. Para la función
\[ f(x) = \frac{1}{x}\}]
sabes que
\[ \begin{align} \f(x) &= limites_de_x_a_infty} \frac{1}{x} \\ &= 0fin{align} \]
porque la función tiene una asíntota horizontal de \( y =0 \). Eso significa que la secuencia
\[ t_n \} = \left{ \frac{1}}{n} \right\} \]
también tiene
\Inicio \Limita de n a infty t_n &= Limita de n a infty \frac{1}{n} \\ y= 0fin{align} \]
ya que la sucesión es la misma que la función excepto por el dominio. De hecho, también puedes verlo gráficamente.
Fig. 2. Gráfica de la sucesión {1/n} sobre el eje x positivo.
Ahora que hemos recordado las características de una función recíproca, volvamos a la pregunta original. Ahora ya sabes que puedes aplicar la Regla de la Suma para obtener
\[ \begin{align} |limits_{n \a \infty} s_n &= \limits_{n \a \infty} \izquierda (2 + frac 4 a derecha) y = límites de n a infty 2 + límites de n a infty \n, fin. \]
y luego la Regla Constante para obtener
\[ \inicio{alineación} \límites de n a infty 2 + límites de n a infty \y= 2 + 4 límites de n a infty \frac{1}{n} \\ &= 2 + 4 \cdot 0 &= 2. \fin{align} \]
Así que la secuencia sí tiene un límite, y el valor es 2.
¿La secuencia
\[ \left\{ \frac{1 + 4n}{5 + 6n} \right\} \]
converge? En caso afirmativo, ¿a qué converge?Responde:
A veces tendrás que probar diferentes cosas para encontrar la que te permita utilizar las reglas correctamente. Te gustaría utilizar la Regla del Cociente para resolver este problema.
Primero prueba a establecer dos secuencias, \( \{ s_n \} = \{ 1 + 4n \} \) y \ ( \{ t_n \} = \{ 5 + 6n \} \). Uy, hay un problema, ya que la Regla del Cociente exige que ambas secuencias tengan un límite, ¡y ninguna de ellas converge a un número finito!
Para el segundo intento, divídelo en dos fracciones en lugar de una sola. Ya sabes que
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1}{5+6n} + 4 \cdot \frac{n}{5 + 6n}, \].
que está definitivamente más cerca de ser útil, pero aún no lo es del todo debido a que
\[ \frac{n}{5+6n} \]
.
El segundo intento te da la idea de que primero querrás factorizar un \( n \) del denominador. Entonces tienes
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1+4n}{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } . \].
Estaría muy bien anular ese \ ( n \ ) en el denominador con uno en el numerador, pero para ello tendrás que factorizarlo primero:\[ \frac{1+4}{n}{align}} \frac{1+4n}{5+6n} & = \frac{n \izquierda(\frac{1}{n}+4 \derecha) }{n \izquierda( \frac{5}{n}+6 \derecha) } \\ &= \frac{ \frac{1}{n} + 4} {\frac{5}{n} + 6}. \fin \]¡Álgebra al rescate! Ahora establece las dos secuencias para utilizar la Regla del Cociente,
\[ \{ s_n \} = \left{\frac{1}{n}+4 \right\} \y \t_n = izquierda = frac{5}{n} + 6 \right}. \]
Ambas tienen límites, de hecho
|limites_de_n a \infty} s_n = \limites_de_n a \infty} \izquierda( \frac{1}{n}+4 derecha) = 4].
y
\límite_n_a_infty} t_n = límite_n_a_infty} \izquierda( \frac{5}{n}+6 \derecha) = 6 \]
donde has aplicado la Regla de la Suma y la Regla de la Constante como en el ejemplo anterior. Ahora sabes que puedes aplicar la Regla del Cociente para obtener
\[ \begin{align} |limits_{n \a \infty} \1 + 4n + 5 + 6n &= límites de n a infty \frac{s_n}{t_n} \\ &= \frac{4}{6} \\ y= frac {2} {3}. \fin{align} \]
Por tanto, la secuencia sí converge, y el límite es \( \frac{2}{3} \).
Puedes acortar este problema recordando las propiedades de las funciones racionales. Si la mayor potencia del numerador es la misma que la mayor potencia del denominador, puedes "dividir" los coeficientes para obtener el límite. En este caso, la mayor potencia del numerador es \ (4n\), y la mayor potencia del denominador es \(6n\), por lo que dividiendo se obtiene \(4/6 = 2/3\), que es a la vez el límite y te dice que \(y = 2/3\) es la ecuación de la asíntota horizontal.
¿La secuencia \( \{ s_n \} = \left\{ (-1)^n \right\} \) converge? En caso afirmativo, ¿a qué converge?
Responde:
Para tener una idea de cómo se comporta esta secuencia, escribamos algunos de sus términos.
\[ \ {-1, 1, -1, 1, \ puntos \} \]
Si la secuencia tiene un límite, el límite tendría que ser o bien \( -1 \) o bien \( 1 \), ya que son los dos únicos valores de la secuencia y no cambian en absoluto. Veamos qué ocurre gráficamente cuando intentas elegir \( L = 1 \) para el valor límite.
Fig. 3. ¿Es L=1 el límite de la secuencia?
Puedes ver mirando la imagen de arriba que no importa lo grande que sea \( M \) que elijas, no hay forma de conseguir que todos los valores de la secuencia estén entre las dos rectas \( y = 1 + \epsilon \) y \ ( y = 1 - \epsilon \). Eso significa que esta secuencia no converge.
También se puede decir que la sucesión diverge.
Demostración del límite de una sucesión
A veces te encontrarás con una secuencia como
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
donde no se pueden aplicar las Propiedades de los Límites para Secuencias. En un caso así, el Teorema del Apriete puede ser útil. Como las sucesiones no son más que un tipo especial de función, el Teorema del Apriete puede reformularse para las sucesiones.
Para repasar el Teorema del Apriete para funciones, consulta El Teorema del Apriete .
Teorema del estrujamiento: Supongamos que hay dos secuencias\ ( \{ s_n \} \) y\ ( \{ t_n \} \), que convergen al mismo valor \( L \), y que existe un \( N \ en \mathbb{N} \) tal que \( s_n \ le w_n \le t_n \) para todo \( n \ge N \). Entonces
|limits_{n \a \infty} w_n = L . \]
Veamos cómo se aplica el Teorema del Apriete. Volviendo a la secuencia
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\}, \]
la idea es "apretarla" entre dos secuencias que sabes que convergen. En primer lugar, veamos una gráfica de algunos de los valores de esta secuencia.
Fig. 4. Gráfico de los valores de la secuencia que convergen a 0.
Ciertamente parece que converge a cero, pero necesitas encontrar las dos secuencias que sabes que convergen a cero para "apretarla" entre ellas. Una secuencia con la que ya has trabajado y que converge a cero es la secuencia
\[ \{ s_n \} = \left{ \frac{1}{n} \right\}. \]
También sabes que \( -1 \le \cos n \le 1 \) para cualquier \( n\), por lo que
\[ - \frac{1}{n} \le \frac{ \cos n}{n} \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{n}].
también para cualquier \( n \). Eso significa que puedes tomar la segunda secuencia con la que necesitas apretar para que sea
\[ \{ t_n \} = \left\{ -\frac{1}}{n} \right\}. \]
Echa un vistazo al gráfico de las tres secuencias.
Fig. 5. Utilizando el Teorema del Estrujamiento para encontrar 2 secuencias que converjan a 0 y utilizarlas para "estrujar" la secuencia original.
Así pues, utilizando el Teorema del Estrujamiento de Secuencias se demuestra que la secuencia
\[ \{ w_n \} = \left{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
converge.
El Teorema del Valor Absoluto
Existe una consecuencia muy práctica del Teorema del Apriete para Secuencias llamada Teorema del Valor Absoluto.
Teorema del valor absoluto: Sea \( \{ s_n \} \) una sucesión. Si
\[ \limits_{n \to \infty} \left| s_n \right| = 0, \]
entonces
\Limita de n a infty = 0.]
¡Es absolutamente necesario que sepas que el límite del valor absoluto de la secuencia es cero para aplicar este teorema!
Veamos la secuencia
\[ \{ s_n \} = \left{ \frac{ (-1)^n}{n} \right\}. \]
¿Converge? Si es así, ¿a qué converge?Responde:
Utilizando el Teorema del Valor Absoluto,
\[ \begin{align} \Limita de n a infty \izquierda| s_n derecha| &= límites_n a infty \(-1)^n}{n} \y= límites entre n e infty \frac{ 1}{n} \\ y= 0, fin. \]
por lo que
\límites_de_n a \infty} \frac{(-1)^n}{n} =0].
también.
¿Por qué es importante que el límite de la sucesión en el Teorema del Valor Absoluto sea cero?
Responde:
Tomemos la sucesión \( \{ s_n \} = \left\{ (-1)^n \right\} \) . Por el trabajo que has hecho antes, sabes que esta secuencia no converge, pero
\[ \begin{align} |limita_{n \a \infty} \izquierda| s_n |derecha| &= límites_n |a |infty \Izquierda: (-1)^n-derecha: 1. \fin \]
Por tanto, aunque el valor absoluto de la sucesión converja, la sucesión en sí no lo hace. ¡Así que verificar la condición de que el límite del valor absoluto de la sucesión es cero aplicando el Teorema del Valor Absoluto es muy importante!
Secuencias divergentes hasta el infinito
A veces, una secuencia sigue creciendo cada vez más, como ocurre con la sucesión. Es una situación algo más agradable que la de una que no para de dar saltos, pero sigue sin converger. En cambio, tiene un nombre especial.
Si la secuencia \( \{ s_n \} \) es tal que
\[ \limits_{n \to \infty} s_n = \pm \infty , \]
entonces decimos que la secuencia diverge a \( \pm \infty \).
Considera la secuencia \( \{ s_n \} = \left\{ 2^n \right\} \). Puesto que
|limita_n \a \infty} s_n =limita_n \a \infty} 2^n = \infty , \]
la secuencia \( \{ s_n \} \) diverge hasta el infinito.
Límite de una secuencia - Claves
- Sea \( L \) un número real. La secuencia tiene el límite \( L \) a medida que \( n \) se acerca a \( \infty \) si dado \( \epsilon > 0 \) , existe un número \( M > 0 \) tal que \( n > M \) implica \( \left| s_n - L \right| < \epsilon \). Escribimos que
\[ \limits_{n \a \infty} s_n = L, \\]
y decimos que la secuencia converge a \( L \) . Las secuencias que no tienen límite se dice que divergen.
Si la secuencia \( \{ s_n \} \) es tal que
\[ \limits_{n \to \infty} s_n = \pm \infty , \]
entonces decimos que la secuencia diverge a \( \pm \infty \).
Teorema del estrujamiento: Supongamos que hay dos secuencias \ ( \{ s_n \} \) y \( \{ t_n \} \), que convergen al mismo valor \( L \), y que existe un \( N \ en \mathbb{N} \) tal que \( s_n \ le w_n \le t_n \) para todo \( n \ge N \). Entonces
|limits_{n \a \infty} w_n = L . \]
Teorema del valor absoluto: Sea \( \{ s_n \} \) una secuencia. Si
|limits_{n \a \infty} \left| s_n \right| = 0, \]
entonces
\Limita entre n e infty = 0.]
Si una secuencia converge, tiene un límite único.
Supongamos que tienes dos secuencias \( \ {s _n \} \) y \( \ {s _n \} \) , y existen números \( L \) y \( P \) tales que
\[ \limits_{n \a \infty} s_n = L \mbox{ y } \limita a la infinidad t_n = P . \]
Entonces se cumplen las siguientes reglas:
Regla de la suma:
\(s_n + t_n ) = límites n a la infinidad s_n + límites n a la infinidad t_n = L + P . \]
Regla de la diferencia:
\(s_n - t_n ) = límites de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa = L - P . \]
Regla del producto:
\(s_n \cdot t_n ) = \left( \limits_n \to \infty} s_n \right) \cdot \left( \limits_n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]
Regla de la constante múltiple:para cualquier constante \( C \),
\(C \cdot s_n ) = C \cdot \limits_n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]
Regla del cociente: Si \( P \not= 0 \) y \( t_n \not= 0 \) para todo \( n \in \mathbb{n} \), entonces
|limits_{n \a \infty} \izquierda( \frac{s_n}{t_n} derecha) = \frac{limita{n} {a \infty} s_n} {limita{n} {a \infty} t_n} = \frac{L} {P} . \]
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