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Supón que lanzas una pelota por el aire. Para llegar desde el principio de la trayectoria hasta el final, la pelota debe pasar por todos los puntos de la trayectoria, no puede teletransportarse de una parte de la trayectoria a otra. Esto se debe a que la trayectoria de una bola es continua. En este ejemplo, como la pelota se mueve en un espacio tridimensional, puede representarse como un vector tridimensional, y su trayectoria como una función vectorial.
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Equipo de profesores de Límite y Continuidad de una Función Vectorial
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Enviar comentariosEl límite de una función vectorial puede definirse de forma muy similar al límite de una función escalar.
Sea
tal que para cualquier
Es importante observar que en esta ecuación
En este gráfico, si
En el diagrama anterior, puedes ver que siempre que
Encontrar un límite sólo utilizando su definición puede ser muy tedioso, por lo que el siguiente teorema lo simplifica mucho.
Dada una función vectorial
\es decir, la función de valor variable
existe si y sólo si
\f(t) \text{ y } \límites t flecha derecha c g(t)].
existen. Si
|limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) \]
existe, entonces
\Limites t flecha derecha c vec r (t) = Limites t flecha derecha c f(t) vec i + límites t flecha derecha c g(t) j. \]
Esto es cierto para cualquier vector de dimensión finita.
A partir de aquí, hallar el límite de una función vectorial dimensional se convierte en hallar el límite de funciones reales dimensionales. Para ver cómo hallar el límite de una función de valor real, consulta Límites. Esta regla tiene sentido visualmente cuando se escribe en forma de componente como arriba, ya que se parece a la regla estándar de la suma de límites. Veamos un ejemplo de cómo hallar el límite de una función vectorial de esta forma.
Deduce si la siguiente función de valor vectorial tiene un límite cuando
Solución
Empecemos por hallar el límite de la primera función,
La segunda función,
Como ambos límites existen, el límite de la función vectorial también debe existir, y es
\límite_t flecha derecha 0} vec{r}(t) = inicio{bmatriz} 0 1 fin. \]
Igual que existen reglas de los límites de las funciones de valor real, también hay reglas que facilitan la búsqueda de los límites de las funciones de valor vectorial. Para cualesquiera escalares
Regla de la suma:
Regla escalar múltiple: |limits_t \rightarrow c} (a \vec{r}_1(t)) = a \limits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t)). \]
Límite del producto punto: \límite del producto punto: (\lim\limits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}_2(t)) = (\lim\limits_t \rightarrow c} \vec{r}_1(t)) \(límites t flecha derecha c 2(t)). \]
Límite del producto escalar:
La regla de la suma y la regla del múltiplo escalar son exactamente iguales que la regla de la suma y la regla del múltiplo escalar de las funciones de valor escalar, que habrás visto cuando te enfrentaste por primera vez a los límites. La regla del producto de límites para funciones de valor escalar aparece aquí dos veces como regla del límite del producto punto y regla del límite del producto escalar, ya que en los espacios vectoriales tenemos dos métodos de multiplicación.
Puedes observar que la regla del cociente de los límites de las funciones de valor escalar no tiene una contrapartida de valor vectorial, y esto tiene sentido porque dos vectores no pueden dividirse entre sí. Del mismo modo, no existe un equivalente de la regla de L'Hopital para las funciones vectoriales. Es importante recordar que, al hallar los límites de las funciones componentes individuales, puedes utilizar la regla del cociente y la regla de L'Hopital, ya que entonces estás trabajando con funciones de valor escalar.
Recuerda la definición de continuidad de una función escalar:
Igual que la definición de continuidad de una función de valor real se define porque el límite de la función es igual al valor de la función en ese punto, la continuidad de una función de valor vectorial se define del mismo modo.
Sea
Entonces
\es continua en c(c) si
y
\vec{r}(t) = vec{r}(t')].
Esta definición de continuidad es exactamente la misma que la definición normal de continuidad para una función de valor real.
Esta función es discontinua, ya que los límites izquierdo y derecho en
La gráfica anterior muestra una función que es discontinua en
Veamos algunos ejemplos de cómo encontrar los límites de funciones vectoriales.
Deduce si la siguiente función vectorial tiene un límite a medida que
Solución:
Empecemos por hallar el límite de la primera función,
\f(t) = \frac{sin{t}}{t}.
Hay muchas formas de demostrarlo, pero utilicemos la Regla de L'Hopital. Puesto que
|limites_t |flecha_derecha 0} \sin{t} = \limites_t \flecha_derecha 0} t = 0, \]
Se puede utilizar la regla de LHopital. Esto significa que
A continuación, halla el límite del segundo término. Como se trata sólo de una constante,
Por último, calcula el límite del término final,
Quitando un factor de
Ahora, puedes tomar el límite de esto a medida que
\límite_t flecha_derecha 0} vec{r}(t) = inicio{bmatriz} 1 4 fin. \]
Veamos otro ejemplo.
Deduce si la siguiente función vectorial tiene un límite a medida que
Solución:
Primero, halla el límite de la primera función componente. Éste es
Ahora, puedes tomar el límite de esto a medida que
A continuación, halla el límite de la segunda función, que es
\límite_t {flecha_derecha 0} vec{r}(t) = {comienzo} {matriz} -4 4 fin. \]
Veamos un último ejemplo de límites de funciones vectoriales.
Deduce si la siguiente función de valor vectorial tiene un límite cuando
Solución:
Encuentra los límites individuales de las funciones en cada componente, y comprueba si existen. La primera función es
A medida que
Veamos algunos ejemplos en los que debes deducir si una función es continua o no.
Deduce si la siguiente función vectorial es o no continua en el punto
donde
f(t) & = 8t g(t) & = \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t \frac{t^2-16}{t-4} &\quad t \neq 4 \ 8 &\quad t = 4 \end{casos} \nd{align} \]
Solución:
En primer lugar, halla
Ahora, halla
|limits_{t \rightarrow 4} f(t) = 32,\}]
El límite
\límite_t flechaderecha 4} g(t)\Nes un poco más complicado.
es un poco más complicada. Como el límite nunca permitirá que
Puedes factorizar el polinomio superior para que sea
y como
Ahora, como se trata de una función lineal, puedes tomar el límite simplemente sustituyendo el valor de
\límite_{t+4} g(t) = 8.]
Por tanto, el límite de la función es
\Limites t flecha derecha 4 \vec{r}(t) = 32 \vec{i} + 8 \vec{j} = \vec{r}(4). \]
Como son iguales, la función debe ser continua en
Veamos otro ejemplo, esta vez en el que debes hallar la continuidad de toda la función vectorial-valorada.
Demuestra que la siguiente función vectorial
Solución:
Primero, comprueba si las componentes de la función del vector son continuas. La primera función es
En segundo lugar está la función
Sin embargo, como se trata de una función distinta,
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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