Definición de límite de una función vectorial
El límite de una función vectorial puede definirse de forma muy similar al límite de una función escalar.
Sea \(I\) un intervalo abierto con un punto \(c \en I\) y una función vectorial \(\vec{r}(t)\) que está definida en todos los puntos de \(I\) excepto posiblemente \(c.\) El límite de \(\vec{r}(t)\) a medida que \(t\) se acerca a \(c\) es un vector
\[ \limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \vec{L} \]
tal que para cualquier \( \epsilon > 0, \) existe un \( \delta > 0 \) tal que para cualquier \( t \neq c, \) si \( | t - c | < \delta ,\) entonces \( || \vec{r}(t) - \vec{L}} | < \epsilon. \)
Es importante observar que en esta ecuación \(| t - c||) será el valor absoluto estándar de un número real, mientras que \(| \vec{r}(t) - \vec{L} |||) será el módulo de un vector. Esto es muy parecido a la definición de un límite para una función 1D, con la diferencia clave de que para una función 1D \(f(x),\) \se sustituirá por el valor absoluto \( | f(x) - L|. \)
En este gráfico, si \(t\) está entre \(c - \delta\) y \(c + \delta,\) la recta \(\vec{r}(t)\) siempre está dentro de \(\epsilon\) unidades de \(c.\)
En el diagrama anterior, puedes ver que siempre que \(t\) esté entre \(c - \delta\) y \(c + \delta,\) \(\vec{r}(t)\) está dentro del círculo con radio \(\epsilon) del punto en el que \(t=c.\) Si esto es cierto para cada posible \(\epsilon) que puedas elegir, entonces el límite debe existir.
Hallar el límite de una función vectorialmente valiosa
Encontrar un límite sólo utilizando su definición puede ser muy tedioso, por lo que el siguiente teorema lo simplifica mucho.
Dada una función vectorial \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \),
\es decir, la función de valor variable
existe si y sólo si
\f(t) \text{ y } \límites t flecha derecha c g(t)].
existen. Si
|limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) \]
existe, entonces
\Limites t flecha derecha c vec r (t) = Limites t flecha derecha c f(t) vec i + límites t flecha derecha c g(t) j. \]
Esto es cierto para cualquier vector de dimensión finita.
A partir de aquí, hallar el límite de una función vectorial dimensional se convierte en hallar el límite de funciones reales dimensionales. Para ver cómo hallar el límite de una función de valor real, consulta Límites. Esta regla tiene sentido visualmente cuando se escribe en forma de componente como arriba, ya que se parece a la regla estándar de la suma de límites. Veamos un ejemplo de cómo hallar el límite de una función vectorial de esta forma.
Deduce si la siguiente función de valor vectorial tiene un límite cuando \(t \) va a \(0,\) y, en caso afirmativo, el valor de este límite.
\[ \vec{r}(t) = \inicio{bmatriz} t^2 + 4t + 3 \ e^t \fin{bmatriz} \]
Solución
Empecemos por hallar el límite de la primera función, \(f(t) = t^2 + 4t + 3. \) El límite de un polinomio siempre existirá, por tanto este límite debe existir. El límite a medida que \(t\) va a \(0\) de esta función será \(f(t) = 3.\)
La segunda función, \(g(t) = e^t,\) es una función cuyo límite habrás visto antes. El límite de esta función cuando \(t\) va a \(0\) es \(1\).
Como ambos límites existen, el límite de la función vectorial también debe existir, y es
\límite_t flecha derecha 0} vec{r}(t) = inicio{bmatriz} 0 1 fin. \]
Reglas de los límites de las funciones vectoriales
Igual que existen reglas de los límites de las funciones de valor real, también hay reglas que facilitan la búsqueda de los límites de las funciones de valor vectorial. Para cualesquiera escalares \(a\) y funciones de valor vectorial \(\vec{r}_1(t), \vec{r}_2(t)\) definidas en un intervalo abierto \(I\) que contenga el punto \(c,\) se aplican las siguientes reglas:
Regla de la suma: \[ \limlimits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t) + \vec{r}_2(t)) = \limlimits_t \rightarrow c} \vec{r}_1(t) + \limlimits_t \rightarrow c} \vec{r}_2(t). \]
Regla escalar múltiple: |limits_t \rightarrow c} (a \vec{r}_1(t)) = a \limits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t)). \]
Límite del producto punto: \límite del producto punto: (\lim\limits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}_2(t)) = (\lim\limits_t \rightarrow c} \vec{r}_1(t)) \(límites t flecha derecha c 2(t)). \]
Límite del producto escalar: \[ \lim\limits_t \rightarrow c} (\vec{r}_1(t) \times \vec{r}_2(t)) = (\lim\limits_t \rightarrow c} \vec{r}_1(t)) \veces ( \limitaciones_t \flechaderecha c} \vec{r}_2(t) ). \]
La regla de la suma y la regla del múltiplo escalar son exactamente iguales que la regla de la suma y la regla del múltiplo escalar de las funciones de valor escalar, que habrás visto cuando te enfrentaste por primera vez a los límites. La regla del producto de límites para funciones de valor escalar aparece aquí dos veces como regla del límite del producto punto y regla del límite del producto escalar, ya que en los espacios vectoriales tenemos dos métodos de multiplicación.
Puedes observar que la regla del cociente de los límites de las funciones de valor escalar no tiene una contrapartida de valor vectorial, y esto tiene sentido porque dos vectores no pueden dividirse entre sí. Del mismo modo, no existe un equivalente de la regla de L'Hopital para las funciones vectoriales. Es importante recordar que, al hallar los límites de las funciones componentes individuales, puedes utilizar la regla del cociente y la regla de L'Hopital, ya que entonces estás trabajando con funciones de valor escalar.
Límites y continuidad de funciones vectoriales
Recuerda la definición de continuidad de una función escalar: \(\vec{r}(t)\) es continua en \(c\) si
\[\limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \vec{r}(c).\]
Igual que la definición de continuidad de una función de valor real se define porque el límite de la función es igual al valor de la función en ese punto, la continuidad de una función de valor vectorial se define del mismo modo.
Sea \(I\) un intervalo abierto con un punto \(c \en I\) y una función vectorial \(\vec{r}(t)\) definida en \(I.\)
Entonces \(\vec{r}(t)\) es continua en \(c\) si
\es continua en c(c) si
y \(\vec{r}(t)\) es continua en \(I\) si en cada punto \(t' \ en I,\)
\vec{r}(t) = vec{r}(t')].
Esta definición de continuidad es exactamente la misma que la definición normal de continuidad para una función de valor real.
Esta función es discontinua, ya que los límites izquierdo y derecho en \(t = t'\) no son iguales, y por tanto no tiene un límite definido.
La gráfica anterior muestra una función que es discontinua en \(t = c\). Esta función no tiene aquí un valor definido, por lo que no puede ser continua.
Ejemplos de límites de funciones vectoriales
Veamos algunos ejemplos de cómo encontrar los límites de funciones vectoriales.
Deduce si la siguiente función vectorial tiene un límite a medida que \(t \) llega a \(0,\) y, en caso afirmativo, el valor de dicho límite.
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} \frac{\sin{t}}{t} \ 4 \end{bmatrix} \]
Solución:
Empecemos por hallar el límite de la primera función,
\f(t) = \frac{sin{t}}{t}.
Hay muchas formas de demostrarlo, pero utilicemos la Regla de L'Hopital. Puesto que
|limites_t |flecha_derecha 0} \sin{t} = \limites_t \flecha_derecha 0} t = 0, \]
Se puede utilizar la regla de LHopital. Esto significa que
\[ \begin{align} & = \lim\limits_t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} & = \lim\limits_t \rightarrow 0} \frac{(\sin(t))}{(t)'} \\ y = límites t flecha derecha 0 frac {cos(t)} {1} \\ &= 1. \fin{align} \]
A continuación, halla el límite del segundo término. Como se trata sólo de una constante, \(4\), el límite a medida que \(t\) va a \(0\) será también \(4\).
Por último, calcula el límite del término final,
\[ \frac{t^2 -4t}{t}. \]
Quitando un factor de \(t\) de la fracción superior, puedes anularla y simplificar esta fracción.
\[ \frac{t^2 - 4 t}{t} = \frac{t(t - 4)}{t} = t - 4. \]
Ahora, puedes tomar el límite de esto a medida que \(t\) va a \(0\), y ver que se convertirá en \(-4.\) Puesto que los tres límites existen, el límite de la función vector-valorada también debe existir, y tiene el valor
\límite_t flecha_derecha 0} vec{r}(t) = inicio{bmatriz} 1 4 fin. \]
Veamos otro ejemplo.
Deduce si la siguiente función vectorial tiene un límite a medida que \(t \) llega a \(0,\) y, en caso afirmativo, el valor de dicho límite.
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} \frac{t^2 - 4t}{t} \ t+4 \end{bmatrix}. \]
Solución:
Primero, halla el límite de la primera función componente. Éste es \( \frac{t^2 -4t}{t}. \) Sacando un factor de \(t\) de la fracción superior, puedes anularlo y simplificar esta fracción. Esto puede hacerse porque estás limitando \(t\) a \(0,\) y, por tanto, \(t\) nunca es en realidad \(0\). Así que
\[ inicio \frac{t^2 - 4 t}{t} &= \frac{t(t - 4)}{t} \\ &= t - 4. \end{align}\]
Ahora, puedes tomar el límite de esto a medida que \(t\) va a 0, y ver que es \(-4.\)
A continuación, halla el límite de la segunda función, que es \(t+4.\) Se trata de una función lineal estándar, y por tanto puedes hallar el límite simplemente introduciendo el valor, Por tanto, el límite es \(4.\) Como ambos límites existen, el límite de la función vectorial debe existir, y este límite debe ser
\límite_t {flecha_derecha 0} vec{r}(t) = {comienzo} {matriz} -4 4 fin. \]
Veamos un último ejemplo de límites de funciones vectoriales.
Deduce si la siguiente función de valor vectorial tiene un límite cuando \(t \) va a \(0,\) y, en caso afirmativo, el valor de este límite.
\[ \vec{r}(t) = \sin{\frac{1}{t}} \vec{i} + \frac{t^2 + 4t + 8}{t+4} \vec{j} \]
Solución:
Encuentra los límites individuales de las funciones en cada componente, y comprueba si existen. La primera función es
\[ \sin{frac{1}{t}}. \]
A medida que \(t\) se acerque a 0, \(\frac{1}{t}) aumentará a un ritmo más rápido, haciendo que la función seno oscile entre \(-1\) y \(1,\) Dado cualquier \(\epsilon\) entre \(0\) y \(1,\) no existe \(\delta\) tal que \( \| \vec{r}(t) - \vec{L} \| < \epsilon \) es verdadera si \( | t - c | < \delta. \) Como este límite no existe, el límite de la función vectorial entera no debe existir.
Cálculos de límites y continuidad de funciones vectoriales valoradas
Veamos algunos ejemplos en los que debes deducir si una función es continua o no.
Deduce si la siguiente función vectorial es o no continua en el punto \(t = 4:\)
\[ \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \]
donde
f(t) & = 8t g(t) & = \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t^2} \frac{t \frac{t^2-16}{t-4} &\quad t \neq 4 \ 8 &\quad t = 4 \end{casos} \nd{align} \]
Solución:
En primer lugar, halla \(\vec{r}(4).\}. En primer lugar \(f(4)\ será \(8 \cdot 4 = 32.\) Puesto que \(t=4,\) \(g(t) = 8\) por su definición. Por tanto
\[ \vec{r}(4) = 32 \vec{i} + 8 \vec{j}. \]
Ahora, halla \(\limits_t \rightarrow 4} \(t). Puedes hacerlo hallando de nuevo los límites individuales. El límite de \(f(t)\) es simplemente el valor de \(f(t),\), ya que se trata de una ecuación lineal. Por tanto
|limits_{t \rightarrow 4} f(t) = 32,\\}]
El límite
\límite_t flechaderecha 4} g(t)\Nes un poco más complicado.
es un poco más complicada. Como el límite nunca permitirá que \(t\) tome realmente el valor de \(4,\) debe ser que
\[g(t) = \frac{t^2 - 16}{t-4}. \]
Puedes factorizar el polinomio superior para que sea
\[ g(t) = \frac{(t+4)(t-4)}{t-4}, \]
y como \(t\) no es \(4,\) \(t-4 \neq 0,\) Esto significa que puedes cancelar el \(t-4\) superior e inferior.
\[ g(t) = t+4\]
Ahora, como se trata de una función lineal, puedes tomar el límite simplemente sustituyendo el valor de \(4\) para obtener
\límite_{t+4} g(t) = 8.]
Por tanto, el límite de la función es
\Limites t flecha derecha 4 \vec{r}(t) = 32 \vec{i} + 8 \vec{j} = \vec{r}(4). \]
Como son iguales, la función debe ser continua en \(t=4.\)
Veamos otro ejemplo, esta vez en el que debes hallar la continuidad de toda la función vectorial-valorada.
Demuestra que la siguiente función vectorial \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) es continua en el dominio \([-1,1],\) donde:
\[ \begin{align} f(t) & = t^2 + 6t + 2 \ g(t) & = \frac{\tan{t}}{t}. \fin \]
Solución:
Primero, comprueba si las componentes de la función del vector son continuas. La primera función es \(f(t) = t^2 + 6t + 2.\) Los polinomios son siempre continuos en cualquier dominio, por lo que serán continuos en el dominio dado \((-1,1).\)
En segundo lugar está la función \(g(t) = \frac{\tan{t}}{t}.\) Ésta es continua en todas partes del dominio, salvo en el punto \(t = 0.\) El límite en este punto es \(1\), por lo que se podría hacer que fuera continua modificando la función para que fuera
\[ g'(t) \begin{casos} \frac{tan{t}}{t} &\quad t \neq 0 \ 1 &\quad t = 0 \end{casos}, \].
Sin embargo, como se trata de una función distinta, \(g(t)\) no es continua. Como \(g(t)\) no es continua, toda la función de valor vectorial no es continua.
Límite de una función de valor vectorial - Puntos clave
- El límite de \(\vec{r}(t)\) a medida que \(t\) se acerca a \(c\) es un vector \( \limits_{t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \vec{L} \) tal que para cualquier \( \epsilon > 0, \) existe un \( \delta > 0 \) tal que para cualquier \( t \neq c, \) si \( | t - c | < \delta ,\) entonces \( | | \vec{r}(t) - \vec{L}} | < \epsilon. \)
- El límite de una función vectorial \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} + h(t) \vec{k}) existe si y sólo si existen los límites de \(f(t), g(t) \) y \(h(t)\). Si existe, entonces, \ {limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \limits_t \rightarrow c} f(t) \vec{i} + límites t flecha derecha c g(t) j + límites de la flecha derecha h(t). \]
- \(\vec{r}(t)\) es continua en \(c\) si \(\lim\limits_t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \vec{r}(c).\)
- \es continua si en cada punto (t' en I,|) (\limits_t flecha derecha t'}) \vec{r}(t) = \vec{r}(t').\)
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