Concepto básico de límite en matemáticas
El concepto básico de límite en matemáticas es esencial para entender el cálculo.
Los límites consisten en determinar cómo se comporta una función cuando se aproxima a un punto o valor concreto.
Este concepto existe desde hace miles de años; los primeros matemáticos lo utilizaban para encontrar aproximaciones cada vez mejores del área de un círculo, por ejemplo.
Sin embargo, la definición formal de límite sólo existe desde el sigloXIX. Así que, para comenzar tu viaje hacia la comprensión de los límites, debes empezar por una definición intuitiva.
Definición intuitiva de límite
Para encontrar una definición intuitiva de un límite, primero debes tener una función (o varias funciones) sobre la que desees conocer más detalles.
Observa las gráficas de las siguientes funciones:
\f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}, \; g(x) = \frac{|x-2|}{x-2}, \; \mbox{ y } \; h(x) = \frac{1}{(x-2)^{2}} \]
Te interesa prestar atención al comportamiento de estas gráficas en y acercándose al valor de \( x=2 \).
Presta atención a la gráfica donde \( x = 2 \).
Presta atención a la gráfica donde \( x = 2 \).
Presta atención a la gráfica donde \( x = 2 \).
Las gráficas de estas funciones muestran su comportamiento en y alrededor de \( x=2 \). Después de observarlas, ¿puedes ver qué tienen en común?
¡Todas son indefinidas cuando \( x=2 \)!
- Pero si eso es todo lo que dices sobre ellas, no obtienes mucha información, ¿verdad? Si sólo te dan esta información, entonces, por lo que sabes, las tres funciones podrían parecer idénticas. Sin embargo, basándote en sus gráficas, sabes que no es así.
Entonces, ¿cómo puedes expresar el comportamiento de estas gráficas de forma más completa?
- Mediante el uso de límites, ¡por supuesto!
Ahora, observa más detenidamente cómo se comporta \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} \) cerca de \( x = 2 \). Observa que a medida que los valores de \( x \) se acercan a \( 2 \) desde cualquier lado de \( 2 \), los valores de \( f(x) \) se acercan a \( 4 \).
Para expresar este hecho en términos matemáticos, dirías: "el límite de \( f(x) \) a medida que \( x \) se acerca a \( 2 \) es \( 4 \)".
Esta afirmación se representa en notación matemática como
\[ \lim_{x \a 2} f(x) = 4. \]
A partir de aquí, puedes empezar a desarrollar tu definición intuitiva de límite , pensando que el límite de una función en un número \( a \) es el número real \( L \) al que se aproximan los valores de la función a medida que sus valores \( x \) se aproximan a \( a \), siempre que exista el número \( L \). Más formalmente, esto puede escribirse así:
Sea \( f(x) \) una función que está definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a \( a \) (posiblemente excepto a \( a \)), y sea \( L \) un número real. Si todos los valores de f(x) se aproximan al número real L a medida que los valores de x -excepto x = a- se aproximan al número a, entonces puedes decir que el límite de f(x) a medida que x se aproxima a a es L.
O, más sencillamente:
A medida que \( x \) se acerca cada vez más a \( a \), \( f(x) \) se acerca cada vez más y se mantiene cerca de \( L \).
La idea del límite se representa mediante notación matemática como
\[ \lim_{x \a} f(x) = L \]
Como puedes ver, ¡simplemente acercándose -o aproximándose- a un punto es como funcionan los límites! Para desarrollar y comprender los aspectos clave del cálculo, primero tienes que sentirte cómodo con los límites y con el hecho de que las aproximaciones -o acercarse o acercarse al valor deseado- son la base del cálculo. Así que ahora puedes cambiar el dicho de
- "lo cercano sólo cuentaen herraduras y granadas de mano" a
- "lo cercano sólo cuenta en las herraduras, las granadas de mano y el cálculo".
Resolver límites
Antes de sumergirte en los métodos algebraicos, el siguiente paso que debes dar intuitivamente es desarrollar una forma de resolver límites estimándolos. Puedes hacerlo de dos formas:
Resolviendo un límite mediante una tabla de valores funcionales
Resolviendo un límite mediante una gráfica
Resolver un límite utilizando una tabla de valores funcionales
Para resolver un límite utilizando una tabla de valores funcionales, puedes utilizar esta estrategia de resolución de problemas.
Estrategia - Resolver un límite utilizando una tabla de valores funcionales
- Si quieres resolver el límite \( \lim_{x \a} f(x) \), empieza por hacer una tabla de valores funcionales.
- Debes elegir \( 2 \) conjuntos de valores \( x \)-un conjunto de valores que se aproximen a \( a \) que sean menores que \( a \), y un conjunto de valores que se aproximen a \( a \) que sean mayores que \( a \). La tabla siguiente es un ejemplo de cómo podría ser tu tabla.
Valores que se acercan a \( a \) que son \( < a \) Valores que se acercan a \( a \) que son \( > a \) \Valores que se acercan a (a) que son (> a) \(bf{ f(x)) \) \(f(x)) \(f(x)) \) \( a - 0.1 \) \(f(a - 0,1)) \( a + 0.1 \) \(f(a + 0,1)) \( a - 0.01 \) \(f(a - 0,01)) \( a + 0.01 \) \(f(a + 0,01)) \( a - 0.001 \) \(f(a - 0,001)) \( a + 0.001 \) \(f(a + 0,001)) \( a - 0.0001 \) \(f(a - 0,0001)) \( a + 0.0001 \) \(f(a + 0,0001)) Añade más valores si es necesario. Añade más valores si es necesario.
- Debes elegir \( 2 \) conjuntos de valores \( x \)-un conjunto de valores que se aproximen a \( a \) que sean menores que \( a \), y un conjunto de valores que se aproximen a \( a \) que sean mayores que \( a \). La tabla siguiente es un ejemplo de cómo podría ser tu tabla.
- A continuación, observa los valores de cada una de las columnas etiquetadas como \( f(x) \).
- Determina si los valores se aproximan a un valor único a medida que bajas por cada columna.
- Si ambas columnas se aproximan a un valor común, entonces puedes decir que\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]
Resolver un límite utilizando una gráfica
Puedes ampliar la estrategia de resolución de problemas anterior para resolver un límite utilizando una gráfica.
Estrategia - Resolver un límite utilizando una gráfica
- Después de seguir la estrategia anterior, puedes confirmar el resultado representando gráficamente la función.
- Utilizando una calculadora gráfica (u otro programa informático), grafica la función en cuestión.
- Asegúrate de que los valores funcionales de \( f(x) \) para los valores \( x \)-cercanos a \( a \) aparecen en la ventana de la gráfica.
- Muévete a lo largo de la gráfica de la función y comprueba los valores de y a medida que sus correspondientes valores de x se acercan a a.
- Si los valores y se acercan a L a medida que los valores x se acercan a a desde ambas direcciones, entonces\[ \lim_{x \a} f(x) = L. \]
Para más detalles y ejemplos, consulta los artículos sobre hallar límites y hallar límites utilizando una gráfica o una tabla.
Tipos de límites
Aunque las dos técnicas anteriores son intuitivas, son ineficaces y se basan en demasiadas conjeturas para realizar el trabajo. Pero, ¿cómo puedes progresar más allá de estos métodos?
Pues bien, necesitarás aprender métodos para resolver, o evaluar, límites de naturaleza más algebraica.
¿Y cómo puedes hacerlo? En primer lugar, debes conocer dos límites especiales; proporcionan la base de los métodos algebraicos para resolver límites.
Ah, pero ¿qué tienen de especial estos dos límites? Estos dos límites también se conocen como límites básicos, ya que constituyen la base de las leyes límite. Cuando observas los gráficos siguientes, ¿qué notas?
Sea cual sea el punto de la recta \( y = x \) en que se encuentre el punto \( (a, a) \), el límite cuando \(x\) se acerca a \(a\) es siempre \(a\).
A partir de estas gráficas, puedes escribir, algebraicamente, cuáles son los límites de estas funciones. Sus interpretaciones algebraicas se resumen en el teorema siguiente.
Teorema: Límites básicos
Sea \( a \) un número real. Sea \( c \) una constante. Entonces:
\[ \begin{align}1. \1. La constante es: & & &lim_{x \a} x = a \a2. La constante es: & & &lim_{x \a} x = a \a \c = c end{align} \]
Puedes observar lo siguiente sobre estos dos límites:
- Observa que a medida que \( x \) se acerca a \( a \), también lo hace \( f(x) \).
Esto se debe a que \( f(x) = x \).
Por tanto, \( \lim_{x \a} x = a \)
- Considera la tabla:
Valores que se acercan a \( a \) que son \( < a \) Valores que se aproximan a ( a ) que son ( > a ) \valores que se acercan a (a) que son (> a) \( \bf{ f(x) = c } \) \(f(x) = c) \(f(x) = c) \) \( a - 0.1 \) \( c \) \( a + 0.1 \) \( c \) \( a - 0.01 \) \( c \) \( a + 0.01 \) \( c \) \( a - 0.001 \) \( c \) \( a + 0.001 \) \( c \) \( a - 0.0001 \) \( c \) \( a + 0.0001 \) \( c \) - Observa que para todos los valores de \( x \) -se acerquen o no a \( a \) - los valores de \( f(x) \) permanecen constantes en \( c \).
- Por tanto, \( \lim_{x \a} c = c \)
Reglas límite
Partiendo de estas dos primeras reglas límite básicas, a continuación se enumeran las reglas límite (también llamadas leyes límite).
Teorema: Leyes límite
Definamos \( f(x) \) y \( g(x) \) para todo \( x \neq a \) sobre un intervalo abierto que contenga \( a \). Supongamos que \( L \) y \( M \) son números reales, tales que:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \\]
y\[ \lim_{x \to a} g(x) = M \\]
Sea \( c \) una constante. Entonces son ciertas las siguientes:
Ley de la suma para los límites:
\Lim_a} (f(x) + g(x)) = Lim_a} f(x) + Lim_a} g(x) = L + M].
Ley de diferencia de límites:
\Lim_a} (f(x) - g(x)) = Lim_a} f(x) - Lim_a} g(x) = L - M].
Ley múltiple constante para los límites:
\Lim_a} (c cdot f(x)) = c cdot Lim_a} f(x) = cL].
Ley del producto para los límites:
\Lim_x a a} (f(x) en g(x)) = Lim_x a a} f(x) en g(x) = L en M].
Ley del cociente para los límites:
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_x \a} f(x)}{lim_x \a} g(x)} = \frac{L}{M} \donde M \neq 0\]
Ley de potencia para los límites:
\Izquierda( \lim_{x \a} f(x) \a}derecha)^{n} = L^{n} \para todo número entero positivo n].
Ley raíz de los límites:
\[ \lim_{x \a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \a} f(x)} = \sqrt[n]{L} \para todo L \mbox{ si } n \mbox{ es impar, y para } L \geq 0 \mbox{ si } n \mbox{ es par} \]
Ten en cuenta que existen otras leyes límite: el teorema del estrujamiento y el teorema del valor intermedio. Consulta esos artículos para obtener más información.
La existencia de un límite - ¿Cuándo no existe un límite?
Cuando trabajes con el siguiente ejemplo, recuerda que para que exista el límite, los valores funcionales deben aproximarse a un único valor numérico real; de lo contrario, el límite no existe.
Evaluar un Límite que No Existe (DNE) Debido a Oscilaciones
Intenta evaluar
\[ \lim_{x \a 0} sen \left( \frac{1}{x} \right) \]
utilizando una tabla de valores funcionales.
Solución:
- Crea una tabla de valores.
\(x) \(\bf{sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(x) \(\bf{sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(-0.1\) \(0.54402\) \(0.1\) \(-0.54402\) \(-0.01\) \(0.50636\) \(0.01\) \(-0.50636\) \(-0.001\) \(-0.82688\) \(0.001\) \(0.82688\) \(-0.0001\) \(0.30561\) \(0.0001\) \(-0.30561\) \(-0.00001\) \(-0.03575\) \(0.00001\) \(0.03575\) \(-0.000001\) \(0.34999\) \(0.000001\) \(-0.34999\) - Examina atentamente la tabla. ¿Qué observas?
- Los valores \( y \)-no se acercan a ningún valor. Por tanto, parece que este límite no existe. Sin embargo, antes de llegar a esta conclusión, debes adoptar un enfoque sistemático.
- Considera los siguientes valores \( x \)de esta función que se aproximan a \( 0 \):\[ \frac{2}{pi}, \frac{2}{3\pi}, \frac{2}{5\pi}, \frac{2}{7\pi}, \frac{2}{9\pi}, \frac{2}{11\pi}, \cdots \].
- Sus correspondientes valores \( y \)-son:\[ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \cdots\]
- Los valores \( y \)-no se acercan a ningún valor. Por tanto, parece que este límite no existe. Sin embargo, antes de llegar a esta conclusión, debes adoptar un enfoque sistemático.
- Basándonos en los resultados, podemos concluir que el límite no existe. La forma matemática de escribirlo es:\[ \lim_{x \to 0} sen \left( \frac{1}{x} \right) \, DNE \]Donde DNE significa No Existe.
- Por supuesto, siempre es buena idea representar gráficamente la función para confirmar tu resultado. La gráfica de \( f(x) = sen \left( \frac{1}{x}\right) \) muestra que la función oscila cada vez más entre \( -1 \) y \( 1 \) a medida que \( x \) se acerca a \( 0 \).
El límite: \izquierda( \frac{1}{x} {derecha) \) no existe porque la función oscila salvajemente a medida que \( x \) se acerca al límite de \( 0 \).
Límites unilaterales
Hay veces en que decir que el límite de una función no existe en un punto no proporciona suficiente información sobre ese punto. Para ver esto, echa otro vistazo a la segunda función del principio de este artículo.
\[ g(x) = \frac{|x-2|}{x-2} \]
A medida que eliges valores de \( x \) cada vez más cercanos a \( 2 \), \( g(x) \) no se aproxima a un único valor, sino a dos valores. Por tanto, el límite no existe, es decir
\[ \lim_{x \a 0} g(x) \, DNE. \]
Aunque esta afirmación es cierta, ¿no dirías que no da la imagen completa del comportamiento de \( g(x) \) en \( x = 2 \)?
Con los límites unilaterales, puedes dar una descripción más exacta del comportamiento de esta función en \( x = 2 \).
Para todos los valores de \( x \) a la izquierda de \( 2 \) -o el lado negativo de \( 2 \) - \( g(x) = -1 \).
Así pues, dices que a medida que \( x \) se acerca a \( 2 \) por la izquierda, \( g(x) \) se acerca a \( -1 \). Esto se representa mediante notación matemática como
\[ \lim_{x \a 2^{-}} g(x) = -1 \]
Para todos los valores de \( x \) a la derecha de \( 2 \) -o el lado positivo de \( 2 \) - \( g(x) = 1 \).
Así pues, dices que a medida que \( x \) se acerca a \( 2 \) por la derecha, \( g(x) \) se acerca a \( 1 \). Esto se representa mediante notación matemática como
\[ \lim_{x \a 2^{+}} g(x) = 1 \]
Límites infinitos
Revisando la tercera función del principio de este artículo, verás que es necesario describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos.
\[ h(x) = \frac{1}{(x-2)^{2}} \]
A partir de la gráfica de esta función, puedes ver que a medida que los valores de \( x \) se acercan a \( 2 \), los valores de \( h(x) \) no se acercan a un valor, sino que crecen más y más, hasta hacerse infinitos. Esto se representa mediante notación matemática como:\[ \lim_{x \}a 2^{+}} h(x) = +\infty \]
Es importante comprender que cuando se dice que un límite es infinito, eso no significa que el límite exista. Es simplemente una forma más descriptiva de decir que el límite no existe. \( \pm \infty \) no es un número real, por lo que cualquier límite infinito no es un límite que exista.
En general, los límites al infinito se definen como:
Tres tipos de límites infinitos
- Límite infinito por la izquierda: Sea \( f(x) \) una función definida en todos los valores de un intervalo abierto \( (b, a) \).
- Si los valores de \( f(x) \) aumentan sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x < a \)), se acercan al número \( a \)), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \) por la izquierda es el infinito positivo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a a^{-}} f(x) = +\infty. \]
- Si los valores de \( f(x) \) disminuyen sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x < a \)), se acercan al número \( a \)), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \) por la izquierda es infinito negativo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a a^{-}} f(x) = -\infty. \]
- Límite infinito por la derecha: Sea \( f(x) \) una función definida en todos sus valores en un intervalo abierto \( (a, c) \).
- Si los valores de \( f(x) \) aumentan sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x > a \)), se acercan al número \( a \), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \) por la derecha es el infinito positivo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a a^{+}} f(x) = +\infty. \]
- Si los valores de \( f(x) \) disminuyen sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x > a \)), se acercan al número \( a \)), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \) por la derecha es el infinito negativo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a a^{+}} f(x) = -\infty. \]
- Límite infinito bilateral: Definamos \( f(x) \) para todo \( x \neq a \) en un intervalo abierto que contenga \( a \).
- Si los valores de \( f(x) \) aumentan sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x \neq a \)), se acercan al número \( a \)), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \)) es el infinito positivo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a} f(x) = +\infty. \]
- Si los valores de \( f(x) \) disminuyen sin límite a medida que los valores de \( x \) (donde \( x \neq a \)), se acercan al número \( a \)), entonces el límite a medida que \( x \) se acerca a \( a \)) es infinito negativo. Esto se escribe como:\[ \lim_{x \a} f(x) = -\infty. \]
Ejemplos de límites
Utiliza las leyes de los límites para resolver:
\limite de x a -3 (4x+2).
Solución:
Para resolver este límite, aplica las leyes de los límites de una en una. Ten en cuenta que -en cada paso- debes comprobar que el límite existe antes de aplicar la ley. El nuevo límite debe existir para que se aplique la ley.
- Aplica la ley de la suma.\[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = \lim_{x \to -3} 4x + \lim_{x \to -3} 2 \]
- Aplica la ley de la constante múltiple.|[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = 4 \cdot \lim_{x \to -3} x + \lim_{x \to -3} 2 |].
- Aplica el límite básico.|[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = 4 \cdot (-3) + 2\]
- Simplifica.|lim_{x \to -3} (4x+2) = -10\]
Límites - Puntos clave
- Los límites consisten en determinar cómo se comporta una función a medida que se aproxima a un punto o valor concreto.
- La notación matemática de un límite es:\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \].
- Intuitivamente, los límites pueden evaluarse utilizando una tabla de valores funcionales o la gráfica de la función.
- Hay varias leyes de límites que facilitan mucho la evaluación de límites:
- Dos límites importantes\[ \begin{align}1. \1. Límite; & Límite_x = a2. Límite; & Límite_x = a \c = c\end{align} \]
- Ley de la suma para límites:\[ \lim_{x \a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \a} f(x) + \lim_{x \a} g(x) = L + M \]
- Ley diferencial de los límites:\ {lim_{x \a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \a} f(x) - \lim_{x \a} g(x) = L - M \]
- Ley múltiple constante de los límites:|[ \lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = cL \]
- Ley del producto para los límites:\[ \lim_{x \a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \a} f(x) \cdot \lim_{x \a} g(x) = L \cdot M \]
- Ley del cociente para los límites:|[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_x \a} f(x)}{lim_x \a} g(x)} = \frac{L}{M} \donde M \neq 0\]
- Ley de potencia para los límites:\[ \lim_{x \a}(f(x))^{n} = \left( \lim_{x \a} f(x) \right)^{n} = L^{n} \para todo número entero positivo n].
- Ley de la raíz de los límites:|[ \lim_{x \a} \qrt[n]{f(x)} = \qrt[n]{\lim_{x \a} f(x)} = \qrt[n]{L} \para todo L \mbox{ si } n \mbox{ es impar, y para } L \geq 0 \mbox{ si } n \mbox{ es par} \]
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