Límites de una función

Definición del límite de una función

Así que cuando decidas la definición del límite, de los ejemplos anteriores se desprende que el valor de la función en \(x=a\) no debería importar. De hecho, utilizar \(0<x-a|<\delta\) excluye el punto \(x=a\), por lo que el límite está correctamente definido aunque la función tenga un agujero.

La notación para el límite de una función suele ser

\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L.\]

Esto se lee como "el límite de la función a medida que \(x\) se acerca a \(a\) es igual a \(L\)".

A continuación vamos a ver los pasos para aplicar la definición de límite a una función concreta utilizando una gráfica y una tabla.

Gráfica para hallar el límite de una función

Para este ejemplo, tomemos la función

\[f(x)=\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5),\]

y halla el límite como \(x\a3\).

Paso 1. Propón cuál debe ser el límite de la función. Para ello, grafica la función y haz una tabla de los valores de la función cerca de \(x=3\).

Tabla 1. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) en torno al punto \(x=3\).

Fig. 4. Gráfica y tabla de una función en torno a \(x=3\).

Propón el límite como \(x=3\). Observando la tabla y la gráfica anteriores, puedes ver que el valor de la función en \(x=3\) es \(-4\), y que mientras los valores de \(x\) estén cerca de \(3\), los valores de la función parecen estar cerca de \(-4\). Así que \(L=-4\) es un buen candidato para el límite.

Paso 2. Alguien te da un valor de \(\epsilon\), y tú necesitas encontrar el valor \(\delta\) correspondiente. Para ello, tendrás que encontrar el rango de valores de la función que estén próximos a tu límite propuesto \(L\). Como sólo te interesan los valores de \(x\) cercanos a \(3\) y los valores de la función cercanos a \(L\), traza las líneas de puntos correspondientes a \(y=L+\epsilon\) y \(y=L-\epsilon\).

Tabla 2. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) en torno al punto \(x=3\).

Fig. 5. Gráfica y tabla de una función cerca de \(x=3\), tamaño mayor.

Paso 3. Ahora puedes ver que realmente quieres ampliar la gráfica para tener una mejor idea de lo que está ocurriendo. También puede ayudarte añadir una columna a tu tabla que muestre lo cerca que estás del límite propuesto.

Tabla 3. Datos de la función \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) junto al punto \(x=3\) en un intervalo menor.

Fig. 6. Amplía la gráfica del límite y la tabla de valores de la función.

Observando la tabla de valores, puedes ver que \(|f(x)-L||) es menor cuando estás a la derecha de \(a=3\) que si estás a la izquierda de \(a=3\). Así que puedes pensar en tener dos valores distintos de "lo cerca" que tienes que estar de \(a=3\) para estar en la ventana \(\epsilon\). Llama a esos dos valores diferentes \(\delta_1\) y \(\delta_2\), y grafica también esas líneas.

Fig. 6. Amplía el gráfico de límites y la tabla de valores de la función.

Fig. 7. Gráfica de la función mostrando las ventanas épsilon y delta.

Paso 4. Tienes dos candidatos distintos para lo que debe ser \(\delta\), ¿qué haces? Puesto que quieres ambos

\[0<|x-3|<\delta_1\texto {y} \cuadrado 0<|x-3|<\delta_2.\}].

Para que esto sea cierto, toma \(\delta\) para que sea menor que \(\delta_1\) y \(\delta_2\). Éste será el \(\delta\) que necesitas para terminar de demostrar que

\[\limits_{x\rightarrow 3} f(x)=-4.\]

Ejemplos del límite de una función

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la definición para hallar el límite de una función.

En general, ¡no podrás tomar \(\delta\) por lo que quieras! Suele depender de la función, del valor de \(a\) y del \(\epsilon\) en cuestión.

Así que, como puedes ver, el valor de \(\delta\) en el ejemplo anterior sí dependía de \(a=7, f(7)\) y \(\epsilon.\)