Límites en el Infinito

Considera la función \(f(x)=e^{-x}+1,\) y decide si

\[\lim_{x\a\infty}f(x)=L \].

existe.

Solución

Primero, veamos la gráfica de la función. Por lo que sabes sobre funciones exponenciales (ver Funciones exponenciales), un buen candidato para el límite es \(L=1\). Así que en la misma gráfica de la función, grafica las rectas \(y=1\), \(y=1-\epsilon=0,98\), y \(y=1+\epsilon=1,02\). Aunque no sabes exactamente qué valor tiene \(\epsilon\), sí sabes que es un pequeño número positivo.

Fig. 1. Gráfica de una función para hallar el límite en el infinito

Así puedes ver que para la gráfica anterior, mientras \(x>4) la gráfica de \(f(x)\)está atrapada entre las rectas \(y=1-\epsilon\) y \(y=1+\epsilon\). Pero, ¿qué ocurre si tienes un valor aún menor de \(\epsilon\)?

En el gráfico siguiente, las líneas originales están ahí, pero ahora hay dos líneas adicionales, \(y=1-\epsilon_{1}=0,0993) y \(y=1+\epsilon_{1}=1,007), donde \(\epsilon_{1}) es algún número menor que \(\epsilon).

Fig. 2. Gráfica con un valor de épsilon menor para hallar el límite en el infinito

Como puedes ver en la gráfica anterior, con este valor menor de \( \epsilon_{1}\), tienes que tomar \(x>7\) para asegurarte de que la función queda atrapada entre \(y=1-\epsilon_{1}\) y \ (y=1+\epsilon_{1}.\)

Normalmente, el valor de \(N\) que encuentres dependerá tanto de la función como del valor de \(\epsilon\), y a medida que tomes valores de \(\epsilon\) menores, necesitarás un valor mayor para \(N\).

Por tanto, el límite a medida que \(x\) se acerca a infinito en esta función sí existe,

\[\lim_{x\to\infty}e^{-x}+1=1.\]

Considera la función \(f(x)=\sin x\) . ¿Existe

\[\lim_{x\to\infty}f(x)\]

¿existe?

Solución

Lo primero que tendrías que hacer para hallar el límite es elegir un candidato para el valor del límite \(L\). Pero si intentas elegir un valor para \(L\), digamos \(L=1\), siempre encontrarás valores de la función \(f(x)=\sin (x)\) que estén a más de \(\dfrac{1}{2}\) de \(L\), porque la función seno oscila entre \(-1\) y \(1\). De hecho, para cualquier \(L\) que intentes elegir, la oscilación de la función seno siempre será un problema. Así que

\[\lim_{x\a\infty} \sin x\]]

no existe.

Toma la función \(f(x)=\sqrt{x}\) y demuestra que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.\]

Solución

Para demostrar que el límite es infinito, toma un \(M>0\) fijo. Quieres que \(x>N\) implique que \(f(x)>M\), o dicho de otro modo, que \(\sqrt{x}>M\).

En este caso, es relativamente fácil resolver para \(x\) y encontrar que \(x>M^2\). Trabajando hacia atrás a partir de esto, si tomas \(N>M^2\), sabes que \(x>N>M^2\) implicará que

\[\sqrt{x}>\sqrt{N}>\sqrt{M^2}=M,\]

y todo esto se cumple porque sabes que \(N\) y \(M\) son positivos. Por tanto, has demostrado que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.\]

Utilizando la función

\[f(x)=\frac{1}{x}\sin x,\]

halla

\Lim_{x}a{infty} f(x).

Solución

Primero haz una gráfica de la función y una tabla de valores de la función. En la gráfica siguiente puedes ver los puntos de la tabla trazados sobre la función.

Fig. 3. Utilización de una gráfica para hallar el límite de una función.

Tabla 1.- Puntos de la gráfica.

Por la tabla y la gráfica parece que los valores de la función se acercan a cero a medida que \(x\a \infty\), pero no puedes estar seguro. Como se trata de buscar un límite en el infinito, en lugar de hacer la gráfica desde \(x=0\) hacia la derecha, empieza con un valor mayor de \(x\) para verlo mejor.

Fig. 4. Vista ampliada de la gráfica.

Tabla 2.- Puntos de la gráfica.

Desplazando la ventana de la gráfica es mucho más fácil ver que los valores de la función sí se acercan a cero a medida que \(x\a\infty\). Ahora puedes decir que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=0.\]

Es importante combinar gráficas y tablas cuando se trata de hallar el límite en el infinito. Por ejemplo, si tomas la función \(f(x)=\sin x,\) puedes hacer la siguiente tabla de valores:

Tabla 3.- Tabla de valores de la función. podría hacerte creer que el límite en el infinito es cero. Sin embargo, si graficas la función, puedes ver que \(f(x)=\sin x\) sigue oscilando independientemente de lo grandes que sean los valores de \(x\). Así que mirar una tabla puede ser engañoso si no tienes cuidado al elegir los valores de \(x\) que pones en ella. Sabiendo lo que sabes sobre la función seno, puedes afirmar con seguridad que\[\lim_{x\to\infty}\sin x\]no existe.

¿La función

\[f(x)=\left(\frac{2}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]

¿tiene una asíntota horizontal? Si es así, halla la ecuación correspondiente.

Solución

Esta función no parece muy divertida en su forma actual, así que démosle un denominador común y convirtámosla primero en una fracción,

\[\begin{align}f(x)&=\left(\frac{2}{x}+1\right) \left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\\&=\left(\frac{2+x}{x}\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\\&=\frac{(2+x)(5x^2-1)}{x^3} .\end{align}\]

Si lo miras, puedes ver que la mayor potencia del numerador es igual a la mayor potencia del denominador. Multiplicando el numerador y dividiéndolo por el denominador se obtiene

\[\begin{align} f(x)&=\frac{(2+x)(5x^2-1)}{x^3}\\&=\frac{10x^2-2+5x^3-x}{x^3}\\&=\frac{5x^3+10x^2-x-2}{x^3}\\&=5+\frac{10}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}.\end{align}\]

Utilizando lo que sabes sobre polinomios, puedes ver que, de hecho, esta función tiene la propiedad de que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=5,\]

y que

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=5,\]

por lo que esta función tiene \(y=5\) como asíntota horizontal.

Para la función

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\]

halla

\[\lim_{x\to\infty}f(x).\]

Solución

Utilizando la Profundización anterior, con \(r=frac{2}{3}\), como \(x^r\) está definida para todo \(x>0\) sabes que

\[|comienza{align} \lim_{x\to\infty}f(x) &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \\ &=lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^r}\ &=0. \end{align}\]

¿Puedes aplicar la regla del cociente anterior para hallar

\[\lim_{x\a\infty}\dfrac{5x+\sin x}{x}? \]

Solución

Si intentas tomar \(f(x)=5x+sin x\) y \(g(x)=x\), entonces ambas funciones tienen un límite infinito en el infinito, por lo que no puedes aplicar la Regla del Cociente. En su lugar, puedes hacer primero un poco de álgebra,

\[\Ncomienza{align} \frac{5x+\sin x}{x} &=\frac{5x}{x}+\frac{1}{x}{sin x\\} &=5+\frac{1}{x}{sin x. \end{align}\}].

Si tomas \(f(x)=5\) y \(g(x)=\frac{1}{x}sin x\), sabes por el trabajo anterior que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}5=5,\]

y

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin(x)=0,\]

por lo que puedes utilizar la Regla de la Suma para obtenerlo,

\[\begin{align} \5+frac{1}{x}{sin x}{x} &=5+0 &=5. \end{align}\}]

Así que no, no puedes usar la Regla del Cociente, pero puedes usar un poco de álgebra y luego la Regla de la Suma para hallar el límite.

Volviendo a \[f(x)=\frac{1}{x}\sin x,\]

sabes que para valores grandes de \(x\),

\[-\frac{1}{x}<\frac{1}{x}\sin x<\frac{1}{x}.\]

Además,

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.\]

Por tanto, por el Teorema del Apriete sabes que

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin x=0.\]

Encuentra

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}\]

si existe.

Solución

A primera vista, este problema puede parecer difícil, pero recuerda que las funciones seno y coseno siempre están acotadas entre \(-1\) y \(1\), lo que significa que su producto también está acotado entre \(-1\) y \(1\). Es decir

\[-5<cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x<5.\]

Esto se debe a que

\[\begin{align} -1<cos(2x)\sin(x^2)<1, \\ -3<3\sin x<3,\end{align} \]

y

\[ -1<cos x<1,\]

y puedes tomar sus valores más positivos y más negativos para obtener un límite superior y otro inferior. Así que ya lo sabes,

\[\frac{-5}{x}<\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}<\frac{5}{x}\]

para valores grandes de \(x\), y puedes aplicar el Teorema del Apriete para obtener que

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}=0.\]