Límites en el infinito y asíntotas

Conexión entre los límites en el infinito y las Asíntotas Horizontales

Como su nombre indica, las asíntotas horizontales son horizontales, es decir, paralelas al eje \(x\)-. La pendiente de cualquier recta horizontal es \(0\). Veamos de nuevo el ejemplo de una función decreciente:

Figura 2.- La asíntota horizontal de una curva definida por \(y=f(x)\)

Observa que el límite de la función converge a un valor finito como \(x \rightarrow \infty\), lo que da lugar a la asíntota horizontal de la función.

Puede verse que la asíntota (la línea recta) nunca cruza ni se encuentra con la propia curva. Puede parecer que se encuentran en algún punto, pero sólo se acercan cada vez más.

A medida que el valor de \(x\) tiende a \(+\infty\) la función tiende a un determinado valor. A medida que \(x\) se acerca a \(-\infty\), el valor de la función empieza a dispararse, se acerca a \(+\infty\).

Para una curva descrita por la función \(y=f(x)\), si la función converge a un valor constante, \(b\), entonces la ecuación de la asíntota horizontal viene dada por \(y=b\). En otras palabras, \(y=f(x) \flechaderecha b\) como \(x \flechaderecha +\infty\).

La forma correcta de denotar esto es con la notación límite.

\[\lim_{x \to +\infty} f(x)=b \]

Lo único que significa esta ecuación es que el límite de la función \(f(x)\) a medida que \(x\) tiende a infinito es \(b\).

Ahora bien, a partir de esta afirmación \(b\) podría ser una asíntota de \(f(x)\), pero podría no serlo. Entonces, ¿cómo puedes hallar una asíntota horizontal?

¿Cómo hallar las asíntotas horizontales de una función?

No existe un algoritmo o método universal para encontrar las asíntotas horizontales, pero hay algunas reglas que puedes utilizar para identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales. Si una función racional está formada por un polinomio tanto en el numerador como en el denominador, puedes encontrar las asíntotas siguiendo los pasos siguientes:

• Si el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el denominador, entonces no existe asíntota horizontal para esa curva.

• Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, entonces la ecuación de la horizontal es siempre \(y=0\).

• Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, divide el coeficiente principal (el número multiplicado por la variable de mayor grado) del numerador por el coeficiente principal del denominador. El cociente de estos coeficientes principales es el valor y de la asíntota horizontal.

Cálculo de asíntotas verticales y límite en el infinito

Lasasíntotasverticales son asíntotas paralelas al eje y. En este caso, para un valor finito de \(x\), la función es indefinida. Veamos otro ejemplo en la función siguiente. En lugar de la variable independiente, la variable dependiente alcanza el valor de \(+\infty\). También puede tender a \(-\infty\) para un valor finito de \(x\).

Figura 3.- La asíntota vertical de una curva definida por \(y=f(x)\)

Aquí, la curva se aproxima a \(x=a\), pero nunca la toca. Por tanto, la recta vertical \(x=a\) es una asíntota vertical. Y de nuevo, si el valor tiende a algo y nunca llega a alcanzarlo, puede expresarse matemáticamente como un límite que diverge:

$$ \lim_{x \a} f(x)= +\infty \text{o} \ límite_de_x_a} f(x)=-\infty$$

donde la asíntota vertical viene dada por \(x=a\).

¿Cómo hallar las Asíntotas Verticales de una función?

Ya has visto cómo se define matemáticamente una asíntota vertical, la función necesita acercarse a algún valor \(x=a\) para que \(y\) se acerque a \(+infty\) o \(-infty\). Necesitas tener un valor tal de \(a\) que los límites se vuelvan indefinidos \((+\infty \texto{o} \ -\infty)\).

¿Has visto ejemplos de esto cuando estudiabas matemáticas? ¡Los has visto! Dividir por cero es un gran error matemático.

Así, para cada función racional , debes encontrar un valor de \(x\) tal que el denominador se convierta en \(0\). Por ejemplo

\[y = \frac{5x}{x-3}.\}

es indefinida cuando \(x=3\).

Algunas funciones nunca alcanzan el valor \(0\) para ningún valor real de \(x\), por ejemplo, una clase de funciones exponenciales nunca alcanzan el valor \(0\). Esto implica que esas funciones no tienen asíntotas verticales. Veamos un ejemplo para ver cómo es en la práctica el proceso anterior:

Relación entre los límites en el infinito y las asíntotas inclinadas

Las asíntotas no siempre tienen que ser exactamente horizontales o verticales, pueden tener cualquier orientación. Las asíntotas que forman un ángulo agudo con el eje x se conocen comoasíntotas oblicuas.

Figura 4.- La asíntota oblicua de una curva definida por \(y=f(x)\)

La noción es muy similar a la de las asíntotas horizontales, ya que hay que considerar el límite de la función en el infinito.

Si consideras el límite de la función como \(x \arrow \infty\), la curva converge a un determinado valor que puede describirse mediante una línea recta, que es la Asíntota oblicua a la curva.

Si una función define una curva por \(y=f(x)\), entonces la asíntota oblicua a la curva viene dada por \(y=mx+b\), si y sólo si se cumplen los límites siguientes:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=m y \ Lim_x hasta +infty}|f(x)-mx|=b$$

Si los límites anteriores no son finitos, entonces no hay asíntotas oblicuas a la curva.

Límites en el infinito y asíntotas Ejemplos