Límites unilaterales en cálculo
Generalmente, los llamamos límite por la izquierda o límite por la derecha porque miras específicamente a la izquierda o a la derecha de un punto concreto.
Para repasar la definición de límite de una función, consulta Límites de una función.
Definición de límites unilaterales
¿Cómo podemos definir formalmente los "límites unilaterales" en cálculo? ¡Echemos un vistazo!
Decimos que \(L\) es el límite izquierdo de una función \(f(x)\) en \(a\) si podemos obtener \(f(x)\) tan cerca de \(L\) como queramos tomando \(x\) en el lado izquierdo de \(a\), y cerca de \(a\) pero no igual a \(a\). Se escribe
\[lim_{x \rightarrow a^-}f(x)\].
.
También se llama límite por la izquierda de una función. También puedes ver el límite por la derecha de una función.
Decimos que \(L\) es el límite derecho de una función \(f(x)\) en \(a\) si podemos obtener \(f(x)\) tan cerca de \(L\) como queramos tomando \(x\) en el lado derecho de \(a\), y cerca de \(a\) pero no igual a \(a\). Se escribe
\[ lim_{x \rightarrow a^-} f(x) \]
Lo bueno es que si el límite de la función existe, entonces tanto el límite de la izquierda como el de la derecha existen y son iguales.
Cada uno de los resultados que aparecen a continuación se derivan simplemente de la definición del límite, del límite de la izquierda y del límite de la derecha. Son una consecuencia inmediata de las definiciones y, por tanto, no requieren una demostración rebuscada.
1. Supongamos que
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\]
donde \(L\) es un número real. Entonces
\[lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L\]
y
\lim_x \rightarrow a^-} f(x)=L\].
2. Del mismo modo, si
\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L= lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\}].
entonces\lim_x \rightarrow a} f(x)=L].
Observa que esto te proporciona una forma práctica de saber si el límite no existe, simplemente utilizando el contrapositivo de la parte 2.
3. Si
lim_{x \rightarrow a^+} f(x) \neq lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\neq lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\neq lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\}
entonces
\no existe.
no existe.
Puedes leer \(x flecha derecha a^+\) como "\(x\) acercándose a \(a\) por la derecha", y \(x flecha derecha a^-\) como "\(x\) acercándose a \(a\) por la izquierda".
Encontrar límites unilaterales
Entonces, ¿cómo puedes averiguar cuál es el límite izquierdo o derecho de una función? Puedes determinar los límites unilaterales observando
La gráfica de una función, O
Una tabla de valores de la función
Veamos un ejemplo concreto.
Utilizando la función
\[ f(x) \Biggl\{ {comienza{matriz}1 x< 2 \3 x \geq 2\final{matriz} \]
encontrar
\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)\}]
y
\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)\}
¿Qué te dice esto sobre
\¿[lim_{x \rightarrow 2} f(x)?\}
Respuesta:
En primer lugar, observemos el límite desde la izquierda. En la gráfica de abajo, puedes ver la función, y también una tabla de valores de la función que se acercan a \(x=2\) desde la izquierda, y los puntos de la tabla trazados en la gráfica.
| \(x\) | \(f(x)\) |
| 1 | 1 |
| 1.5 | 1 |
| 1.75 | 1 |
| 1.9 | 1 |
| 1.95 | 1 |
| 1.99 | 1 |
Tabla 1. Datos del ejemplo límite.
Fig. 1. Límite por la izquierda utilizando una gráfica y una tabla.
Como puedes ver en la gráfica anterior, a medida que \(x \-arrow 2^-\), todos los valores de la función son iguales a \(1\). Por tanto,
\[lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)=1\]
Ahora, en cambio, observemos el límite por la derecha. En la gráfica siguiente, puedes ver la función, una tabla de valores de la función que se acercan a \(x=2\) desde la derecha, y los puntos de la tabla trazados en la gráfica.
| \(x\) | \(f(x)\) |
| 3 | 3 |
| 2.5 | 3 |
| 2.25 | 3 |
| 2.1 | 3 |
| 2.05 | 3 |
| 2.01 | 3 |
Tabla 2. Datos de la función de ejemplo.
Fig. 2. Límite de una función por la derecha mediante una gráfica y una tabla.
Como puedes ver en la gráfica anterior, como \(x \rightarrow 2^+\), todos los valores de la función son iguales a \(3\). Por tanto,
\[lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)=3\\]
Por último, como sabes que
\lim_x \rightarrow 2^-} f(x) \neq lim_x \rightarrow 2^+} f(x)\}
también sabes que
\no existe.
no existe.
Ejemplos de límites unilaterales
Veamos más ejemplos de determinación de límites unilaterales.
Considera la función
\[f(x)= \dfrac{|x|}{x}\]
Halla los límites por la izquierda y por la derecha de \(x=0\).
Contesta:
En lugar de pensar en esta función como si tuviera un valor absoluto, puede ser útil pensar en los posibles valores de \(x\). Veamos aquí los casos posibles de \(3\):
- Cuando \(x=0\), esta función no está definida.
- Cuando \(x\) es negativo, \(f(x)=-1\).
- Cuando \(x\) es positivo, \(f(x)=1\).
Así que puedes pensar en esto como en la función definida a trozos
\[ f(x) \Biggl\ {\inicio{matriz}-1, x< 0 \\1, x > 0\final{matriz} \}].
Esto es muy parecido al ejemplo anterior. De hecho
\[lim_{x \rightarrow 0^-+ f(x)=1\]
y
\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1]
Para la función de la imagen siguiente, determina lo siguiente (si existe):
1. \(f(1)\), \(f(3)\), y \(f(4)\).
2. el límite por la izquierda en \(x=-3\), \(x=1\), \(x=3\) y \(x=4\).
3. el límite por la derecha en \(x=-3\), \(x=1\), \(x=3\) y \(x=4\).
4. El límite en (x=3), (x=1), (x=3) y (x=4).
Fig. 3. Hallar límites unilaterales a partir de una gráfica.
Contesta:
1. En esta parte sólo se buscan los valores de la función en esos puntos. Así, mirando la gráfica, \(f(1)=2\), \(f(3)=4\) y \(f(4)=1\).
2. Recuerda que cuando hallas el límite por la izquierda, sólo miras los puntos de la gráfica que están a la izquierda del punto que te interesa. Así que usando la gráfica
\lim_{x \rightarrow -3^-} f(x)=3\]].
\[lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)=-5]
[lim_x \rightarrow 3^-} f(x)=4\]
[lim_{x \rightarrow 4^-} f(x)=4\}]
3. Cuando hallas el límite por la derecha, sólo miras los puntos de la gráfica que están a la derecha del punto que te interesa. Por tanto, utilizando la gráfica
\lim_{x \rightarrow -3^+} f(x)=3\]].
\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)=2]
\lim_x \rightarrow 3^+} f(x)=3\]
\lim_x \rightarrow 4^+} f(x)=4\]4. El límite sólo existirá en los casos en que el límite por la izquierda y el límite por la derecha sean iguales. En caso contrario, el límite no existe. Teniendo en cuenta la información de las partes 2 y 3 anteriores, eso significa que el límite existe en \(x=-3\) y en \(x=4\). También puedes decir que
\[lim_{x \rightarrow -3} f(x)=3\]
y
\límite 4 f(x)=4].
Observa que el hecho de que exista el límite es independiente del valor real de la función en el punto, o incluso de si la función está definida allí.
Además, el límite no existe en \(x=1\) ni en \(x=3\).
Límites unilaterales y asíntotas verticales
Queda una pregunta por responder. ¿Cómo evaluamos los límites izquierdo y derecho de una función en una asíntota vertical? El proceso para hallar los límites por la izquierda y por la derecha cuando hay una asíntota vertical es exactamente el mismo que en cualquier otro punto. Veamos un ejemplo.
Considera la función
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Encuentra
\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)\}
y
\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)|].
Respuesta:
Primero, pensemos en el límite de la izquierda. Observa la gráfica y la tabla siguientes.
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -0.5 | -2 |
| -0.45 | -2.22 |
| -0.4 | -2.2 |
| -0.35 | -2.86 |
| -0.3 | -3.33 |
| -0.25 | -4 |
| -0.2 | -5 |
| -0.15 | -6.67 |
| -0.1 | -10 |
| -0.05 | -20 |
Tabla 3. Datos del ejemplo límite.
Fig. 4. Límite por la izquierda en una asíntota vertical.
Como puedes ver tanto en la gráfica como en la tabla, a medida que tomas valores de \(x\) que se acercan cada vez más a \(x=0\) por la izquierda, los valores de la función se alejan cada vez más del eje \(x\), y son todos negativos. Entonces dirías que, de hecho, no hay ningún número que sea el límite por la izquierda. Cuando esto ocurre, puedes decir que "el límite por la izquierda diverge hacia el infinito negativo", y escribirlo como
\[lim_{x \rightarrow o^-} \dfrac{1}{x}=-\infty\].
Esto puede parecer extraño, dado que los límites normalmente tienen que ser números, pero la notación sólo está diciendo que los valores de la función situados a la izquierda de cero, pero cerca de cero, pueden tener un valor negativo tan grande como quieras.
Cuando decimos que el límite es igual a \(+ \infty\) o \(-\infty\), no es más que otra forma de decir que el límite no existe, ¡sólo que siendo un poco más específicos!
Pensemos ahora en el límite por la derecha. Mira la gráfica y la tabla siguientes
| \(x\) | \(f(x)\) |
| 0.5 | 2 |
| 0.45 | 2.22 |
| 0.4 | 2.5 |
| 0.35 | 2.86 |
| 0.3 | 3.33 |
| 0.25 | 4 |
| 0.2 | 5 |
| 0.15 | 6.67 |
| 0.1 | 10 |
| 0.05 | 20 |
Tabla 4. Puntos de datos para el ejemplo del límite lateral.
Fig. 5. El límite por la derecha de una asíntota vertical.
Como puedes ver tanto en la gráfica como en la tabla, a medida que tomas valores de \(x\) que se acercan cada vez más a \ (x=0\ ) por la derecha, los valores de la función se alejan cada vez más del eje \( x\) , y son todos positivos. Entonces dirías que, de hecho, no hay ningún número que sea el límite por la derecha. Cuando esto ocurre, puedes decir que "el límite por la derecha diverge hasta el infinito", y escribirlo como
\[lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x}=\infty\].
Esto puede parecer extraño, dado que los límites normalmente tienen que ser números, pero la notación sólo está diciendo que los valores de la función a la izquierda en cero, pero cercanos a cero, pueden ser un número positivo tan grande como quieras que sean.
Si en lugar de las asíntotas verticales te interesa el límite como \(x \rightarrow \pm \infty\), también conocido como límites en el infinito, consulta Límites infinitos
Puede haber casos en los que el límite de un lado existe, pero no existe del otro lado. Lo vemos en el ejemplo siguiente.
Para la función de la gráfica siguiente, halla
\(lim_x \ flecha derecha 0^+) y (lim_x \ flecha derecha 0^-).
Fig. 6. El límite de un lado existe, pero el del otro no.
En la imagen anterior, vemos que a la izquierda de \(x=0\) los valores de la función se acercan cada vez más a \(3\) a medida que \(x \rightarrow 0^-\). Es decir
\[lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=3\]
Sin embargo, si observas los valores a la derecha de \(x=0\), los valores de la función se hacen cada vez mayores a medida que \(x \rightarrow 0^+\). Es decir
\[lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\infty\]
Observando los ejemplos anteriores, puedes sacar algunas conclusiones útiles:
1. Si
\(lim_{x \rightarrow a^+} f(x)= \pm \infty\) o si \(lim_{x \rightarrow a^-} f(x)= \pm \infty\)
entonces la función tiene una asíntota vertical en \(x=a\).
2. Si la función tiene una asíntota vertical en \(x=a), entonces
\(lim_x \rightarrow a^+} f(x)= \pm \infty\) o (lim_x \rightarrow a^-} f(x)= \pm \infty\)
Límites unilaterales - Puntos clave
- Decimos que \(L\) es el límite izquierdo de una función \(f(x)\) en \(a\) si podemos conseguir \(f(x)\) tan cerca de \(L\) como queramos tomando \(x\) en el lado izquierdo de \(a\), y cerca de \(a\) pero no igual a \(a\). Se escribe
\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\].
.
Decimos que \ ( L\ ) es el límite derecho de una función \(f(x)\) en \(a\) si podemos obtener tan cerca de \ (L\) como queramos tomando \(x\) a la derecha de \(a\), y cerca de \(a\) pero no igual a \(a\). Se escribe
\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)\}]
Supongamos que \(lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\) donde \(L\) es un número real. Entonces:\(lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L\) y \(lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\)
Si \(lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L=lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\) entonces:
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=L\].
Si (lim_x \rightarrow a^+} f(x) \neq lim_x \rightarrow a^-} f(x)\) entonces
\no existe.
Si (lim_x \rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\) o si (lim_x \rightarrow a^-} f(x)= \pm \infty\)
entonces la función tiene una asíntota vertical en \(x=a\).
Si la función tiene una asíntota vertical en \(x=a\) entonces
\(lim_x \rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\) o (lim_x \rightarrow a^-} f(x)= \pm \infty\).
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