Líneas tangentes: 'Cálculo', 'Geometría'

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Definición y fórmula de una recta tangente

Una recta tangente es una recta que "sólo toca" el punto $P$ . También puede definirse como una recta que une 2 puntos infinitamente próximos de una curva.

La recta tangente a una curva $f (x)$ en un punto $P$ con coordenadas $(a, f (a))$ , es la recta que pasa por $P$ con pendiente

$m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

si existe el límite.

Ecuación de una recta tangente

Una vez hallada la pendiente $m$ la ecuación de una recta tangente es la misma que la de cualquier recta en forma punto-pendiente que pasa por un punto $(a, f (a))$ :

$(y - f (a)) = m (x - a)$

Líneas tangentes en una gráfica

En el gráfico siguiente, decimos que $y$ es una recta tangente a la curva $f$ en el punto $P$ . O podemos decir que $y$ es tangente a la curva $f$ en el punto $P$ .

Interpretación geométrica de la recta tangente StudySmarter La recta tangente en verde simplemente toca la curva f en el punto P - StudySmarter Original

Observa cómo la línea tangente "sólo toca" la curva en el punto P.

La pendiente de una recta tangente

Geometría

La pendiente de la recta tangente en un punto de una curva es igual a la pendiente de la curva en ese punto. El supuesto en el que se basan las rectas tangentes es que, al mirar la gráfica de una curva, si te acercas lo suficiente a un segmento de la curva, ésta parecerá indistinguible de la recta tangente.

Por ejemplo, acerquemos el zoom a la gráfica anterior.

Líneas tangentes pendiente de la línea tangente igual a la curva StudySmarter Acercarse al punto donde la recta tangente toca la curva - StudySmarter Original

Ampliando un poco más...

Líneas tangentes pendiente de la línea tangente igual a la curva StudySmarter

Aquí podemos ver que la recta tangente y el punto de la curva donde toca la recta tangente son indistinguibles - StudySmarter Original

Observa cómo la recta tangente resulta de unir dos puntos infinitamente próximos de una curva.

Ecuación adicional de la pendiente de la recta tangente

Hay otra versión de la ecuación de la pendiente de la recta tangente con la que puede resultar más fácil trabajar. Esta ecuación dice que la pendiente de la recta tangente $m$ es

$m = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Esta ecuación establece $h = x - a$ y $x = h + a$ . A medida que $x$ se aproxima a $a$ , $h$ se aproxima a 0. Así se forma la ecuación suplementaria de la recta tangente.

Esta ecuación de la pendiente de la recta tangente debería resultarte familiar .... Es la ecuación de la derivada de una función en un punto (a, f(a)). ¡Por tanto, podemos decir que la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto P es igual a la derivada de la curva en el punto P !

Ejemplos para hallar la ecuación de la recta tangente

Ejemplo 1

Halla la ecuación de la recta tangente a $f (x) = x^{2}$ en el punto (2, 4).

Como nos dan $f (x)$ y un punto, lo único que necesitamos para formar la ecuación de la recta tangente es la pendiente. Para hallar la pendiente, utilizaremos la ecuación suplementaria de la recta tangente.

La pendiente de la tangente en (2, 4) es

$\begin{array}{rcl} m & = & \lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2} - 4}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 4 h + 4 - 4}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 4 h}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h (h + 4)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} h + 4 \\ = & 4 \end{array}$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente a f(x) en (2, 4) es $y = 4 (x - 2) + 4$ .

Recuerda que la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la derivada. Por tanto, también podríamos tomar simplemente la derivada de $f (x)$ e introducir $x = 2$ para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto $(2, 4)$ .

$f' (x) = 2 x f' (2) = 4$

Líneas tangentes gráfica de la línea tangente y ejemplo de función StudySmarter La gráfica de f(x) y la recta tangente a f(x) en (2, 4) - StudySmarter Original

Ejemplo 2

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f (x) = x - x^{3}$ en el punto (1, 0).

De nuevo, como nos dan $f (x)$ y un punto, lo único que necesitamos para formar la ecuación de la recta tangente es la pendiente. Para hallar la pendiente, utilizaremos la ecuación suplementaria de la recta tangente.

Con , la pendiente de la tangente en (1, 0) es:

$\begin{array}{rcl} m & = & \lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{[(1 + h) - {(1 + h)}^{3}] - 0}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h) - (h^{3} + 3 h^{2} + 3 h + 1)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{3} - 3 h^{2} - 2 h}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} h^{2} - 3 h - 2 \\ = & - 2 \end{array}$

Entonces, la ecuación de la recta tangente a f(x) en (1, 0) es $y = - 2 (x - 1)$ .

De nuevo, recuerda que la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la derivada. Por tanto, también podríamos tomar simplemente la derivada de $f (x)$ e introducir 1 para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto $(1, 0)$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2} f' (1) = 1 - 3 (1) = - 2$

Gráfica de la recta tangente a la curva ejemplo StudySmarter La gráfica de f(x) y la recta tangente a f(x) en (1, 0) - StudySmarter Original

Líneas tangentes a una circunferencia

Se dice que una recta es tangente a una circunferencia si toca a la circunferencia exactamente en un punto. Si una recta es tangente a una circunferencia en un punto $P$ entonces la recta tangente es perpendicular al radio trazado hasta el punto $P$ .

Líneas tangentes línea tangente círculo perpendicular radio StudySmarter Una recta tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio trazado hasta el punto P - StudySmarter Originals

Para obtener más información sobre las rectas tangentes a una circunferencia, ¡consulta nuestro artículo sobre Tangente de una circunferencia!

Líneas tangentes - Puntos clave

Una recta tangente es una recta que toca a una curva en un punto fijo $P$
- La ecuación de una recta tangente en forma punto-pendiente es $(y - f (a)) = m (x - a)$
La pendiente de la recta tangente en un punto de una curva es igual a la pendiente de la curva en ese punto
- Si te acercas lo suficiente a un segmento de una curva, la recta tangente en el segmento y la curva parecerán indistinguibles
En un círculo, la recta tangente trazada en cualquier punto es perpendicular al radio en ese punto.

Tarjetas en Líneas tangentes 2

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La pendiente de la recta tangente en un punto P es...

equivalente a la pendiente de la curva en P

La recta tangente toca la curva en el punto ___________.

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Preguntas frecuentes sobre Líneas tangentes

¿Qué es una línea tangente?

Una línea tangente es una línea recta que toca una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

¿Cómo se encuentra la línea tangente a una curva?

Para encontrar la línea tangente se calcula la derivada de la función en el punto de interés, que proporciona la pendiente, y luego se utiliza la fórmula de la recta.

¿Cuál es la derivada en el contexto de una línea tangente?

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto.

¿Qué aplicaciones tienen las líneas tangentes?

Las líneas tangentes se utilizan en física, ingeniería y economía para aproximar el comportamiento de funciones no lineales en un punto específico.

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