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Un puente colgante en medio del bosque
El cálculo tiene una amplia gama de aplicaciones, una de las cuales es hallar las propiedades de las curvas. Hallar la longitud de una curva es un buen ejemplo de cómo utilizar conjuntamente derivadas e integrales. Veamos cómo se combinan las derivadas y las integrales para hallar la longitud de una curva.
Hallar la longitud del arco de una curva
Pensemos por un momento en la longitud de una curva. Si en lugar de una curva tuviéramos una recta, podríamos hallar fácilmente su longitud en un intervalo dado utilizando el teorema de Pitágoras.
Fig. 1. El Teorema de Pitágoras puede utilizarse para hallar la longitud de un segmento recto.
Igual que puedes aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos, puedes aproximar la longitud de una curva utilizando segmentos rectos. Veamos una ilustración de cómo se hace.
Fig. 2. Aproximación de la longitud de la parábola utilizando 4 segmentos.
Si utilizas más segmentos obtendrás una aproximación mejor.
Fig. 3. Aproximación de la longitud de la parábola utilizando 8 segmentos.
¿Te suena? Igual que en las Sumas de Riemann, empiezas haciendo una partición del intervalo, y luego evalúas la función en cada valor de la partición. Esta vez no tienes que ocuparte de los puntos extremos derecho o izquierdo, ya que ambos valores se utilizan para hallar los segmentos. La longitud de cada segmento individual se puede hallar utilizando el teorema de Pitágoras.
Fig. 4. El teorema de Pitágoras puede utilizarse para hallar la longitud de cada segmento.
Por último, se suman todos los segmentos, encontrando una aproximación de la longitud de la curva. Pero, ¿y si queremos el valor exacto de la longitud de la curva? Entonces hay que integrar.
Fórmula para la longitud del arco de una curva
Supongamos que necesitas hallar una aproximación de la longitud de una curva en el intervalo \( [a,b] \). Puedes seguir estos pasos
Haz una partición del intervalo utilizando puntos \(N\).
Halla la longitud de cada segmento que une un par de puntos adyacentes de la partición.
Suma la longitud de todos los segmentos.
Llamemos a cada segmento individual \(s_{i}\) y la aproximación será \(S_N\). La longitud del segmento \(i\text{-})º viene dada por
$$s_i}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y_{i})^2}.$$
Puedes reescribir la expresión anterior como
$$s_i}=\Delta x\sqrt{1+\Big(\frac{\Delta y_{i}}{\Delta x}\Big)^2}$$
con la ayuda de un poco de álgebra. Sumando todos los segmentos se obtiene una aproximación a la longitud de la curva
$$S_N = \suma_{i=1}^{N}s_{i}.$$
Para cada segmento \(s_{i}\), el Teorema del Valor Medio nos dice que hay un punto dentro de cada subintervalo \(x_{i-1}leq x_{i}^*}leq x_{i}\) tal que \(f'(x_{i}^*})=\frac{\Delta y_{i}}{\Delta x_i}\). ¡Aquí es donde entran en juego las derivadas! La longitud de cada segmento individual puede reescribirse como
$$s_{i}=\Delta x\sqrt{1+(f'(x_{i}^{*}))^2}.$$
Tomando el límite como \(N\rightarrow\infty\), la suma se convierte en la integral
Longitud del arco &= suma_i=1}^N}delta x=cuadrado{1+(f'(x_i}^*})^2} &=int_a}^b}cuadrado{1+(f'(x))^2},@mathrm{d}x,@final{align}$$.
lo que te da una expresión para la longitud de la curva. Ésta es la fórmula de la Longitud del Arco.
Sea \(f(x)\) una función diferenciable en el intervalo \( [a,b]\) cuya derivada es continua en el mismo intervalo. La Longitud de Arco de la curva desde el punto \( (a,f(x))\) hasta el punto \((b,f(b))\) viene dada por la siguiente fórmula:
$$\text{Arc Length}=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x.$$
Ten en cuenta que las expresiones para hallar las longitudes de arco a veces son difíciles de integrar. Si necesitas un repaso, no dejes de consultar nuestro artículo Técnicas de integración.
Ejemplos de longitud de arco de una curva
Veamos algunos ejemplos de cómo hallar la longitud de arco de curvas.
Halla la longitud de \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}) en el intervalo \( [0,3]\).
Responde:
Para hallar la longitud de arco de la función dada tendrás que hallar primero su derivada, que se puede hallar utilizando La Regla de Potencia, es decir
$$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}.$$
Como la derivada resultó una función continua, puedes utilizar libremente la fórmula para hallar la Longitud del Arco
$$\text{Longitud del Arco}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2},\mathrm{d}x,$$
y luego sustituye \(a=0\), \(b=3\), y \(f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}) en la fórmula, con lo que obtendrás
$$\begin{align} \text{Arc Length} &= \int_0^3 \sqrt{1+\Big(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\Big)^2}\,\mathrm{d}x \\[0.5em] &=\int_0^3 \sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x. \fin{align}$$
Puedes hallar la antiderivada mediante Integración por sustitución. Empieza dejando que
$$u=1+\frac{9}{4}x,$$
utiliza la Regla de Potencia para hallar su derivada
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{9}{4},$$
y utilizarla para hallar \( \mathrm{d}x \)$$\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\mathrm{d}u.$$
De esta forma puedes escribir la integral en términos de \(u\) y \(\mathrm{d}u\)
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\int\sqrt{u}\,\mathrm{d}u,$$
por lo que puedes integrarlo utilizando la regla de la potencia
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}},$$
y volver a sustituir \(u=1+\frac{9}{4}x\) simplificando
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{8}{27}(1+\frac{9}{4}x)^{\frac{3}{2}}.$$
Ahora puedes volver a la fórmula de la longitud de arco y evaluar la integral definida utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo
$$\text{Arc Length}=\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4}(3)\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4}(0)\right)^{\frac{3}{2}}.$$
La expresión anterior puede evaluarse con una calculadora. Aquí redondearemos a 2 decimales por motivos ilustrativos, de modo que
$$\text{Longitud del arco}\aproximadamente 6,1$$
Si no estás seguro de si una función es continua o no, consulta el artículo Continuidad en un intervalo.
La mayoría de las integrales que tenemos que evaluar para hallar la longitud de arco de una curva son difíciles de hacer. ¡Podemos utilizar un Sistema de Álgebra Computacional para evaluar las integrales definidas resultantes!
Halla la longitud del arco de \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) en el intervalo \( [1,2]\). Evalúa la integral definida resultante utilizando un Sistema Algebraico Computacional o una calculadora gráfica.
Contesta:
Empieza utilizando la regla de potencias para hallar la derivada de la función
$$f'(x)=x,$$
y utiliza la fórmula de la longitud del arco
$$\text{Longitud del arco}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2},\mathrm{d}x.$$
Ahora puedes sustituir \(a=1\), \(b=2\) y \(f'(x)=x\) en la fórmula de la longitud de arco para obtener
$$\text{Longitud del arco}=\int_1^2 \sqrt{1+x^2},\mathrm{d}x,$$
que puede hacerse con la Sustitución Trigonométrica. Por desgracia, es bastante complicado, así que puedes utilizar en su lugar un Sistema Algebraico Informático para evaluar la integral definida:
$$\text{Longitud del Arco}\aprox 1,8101.$$
Longitud de Arco de una Curva descrita por una ecuación
Hasta ahora has estudiado la Longitud de Arco de curvas que pueden describirse mediante funciones. Sin embargo, también es posible hallar la longitud de arco de curvas que se describen mediante ecuaciones, como la ecuación de una circunferencia
$$x^2+y^2=r^2.$$
La ecuación anterior, a pesar de no ser una función, también se puede representar gráficamente en un sistema de coordenadas. ¡También puedes hallar su Longitud de Arco! El planteamiento es bastante similar, pero debes tener en cuenta distintos factores. Echa un vistazo a nuestro artículo Longitud de Arco en Coordenadas Polares para repasar el tema.
Longitud de Arco de una Curva Plana
Una curva plana es una curva que puedes dibujar en un plano. Todos los ejemplos anteriores son curvas sobre un plano.
Es importante subrayar esto porque también es posible tener curvas en el espacio tridimensional, lo que lamentablemente está fuera del alcance de este artículo.
Longitud de arco de una curva paramétrica
Al estudiar la longitud de arco de una curva, es posible que te encuentres con la Longitud de Arco de una Curva Paramétrica. Esto se refiere a otro tema y está fuera del alcance de este artículo. Para más información, consulta nuestros artículos Cálculo de curvas paramétricas y Longitud de curvas paramétricas.
Resumen
Longitud del Arco de una Curva - Puntos clave
- La longitud de una curva puede aproximarse dividiendo la curva en segmentos rectos.
- Para una función \(f(x)\) que es diferenciable, y cuya derivada es continua, la Longitud de Arco exacta de la curva en el intervalo \( [a,b] \) viene dada por $$\text{Longitud de Arco}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2},\mathrm{d}x.$$
- Las integrales definidas que intervienen en el cálculo de la Longitud de Arco son bastante complejas. El uso de sistemas de álgebra computacional puede ser de gran ayuda a la hora de evaluar dichas integrales.
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Preguntas frecuentes sobre Longitud de arco de una curva
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