Manipulación de Funciones

Manipulación de funciones: Álgebra - Un repaso rápido

Aunque las funciones son el núcleo del cálculo, el álgebra, y por tanto la manipulación algebraica, es el lenguaje del cálculo. ¡No podemos hacer cálculo sin álgebra! Así que, si no recuerdas bien las reglas de las fracciones, los valores absolutos, las potencias, las raíces, los logaritmos, la factorización y la resolución de ecuaciones cuadráticas, aquí las repasaremos.

Manipulación de fracciones

Las fracciones están por todas partes en el cálculo. Por mucho que queramos, no podemos escapar de ellas. Aquí tienes algunas reglas, propiedades y técnicas para utilizar fracciones que debemos recordar:

• Reglas:

  • ¡Nunca dividas por cero! Si el denominador de una fracción es cero, entonces es indefinida.

  • PERO, el numerador de una fracción puede ser cero.

    • Cualquier fracción con un cero en el numerador es igual a cero, siempre que el cero no esté en el denominador.

  • Al sumar o restar fracciones, los denominadores deben ser iguales.

    • Para sumar o restar fracciones, hay que encontrar el mínimo común denominador (MCD).

  • Si el denominador de una fracción es 1, la fracción se simplifica a un número entero.

  • Si el numerador y el denominador de una fracción son iguales, entonces la fracción se simplifica a 1.

  • Regla de las fracciones equivalentes:

    • Dos fracciones $\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$b$}\right.$ y $\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$d$}\right.$ son iguales y pueden escribirse como $\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$b$}\right.=\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$d$}\right.$ si $a\times d=b\times c$

  • Recuerda el recíproco. Si damos la vuelta a una fracción, obtenemos su recíproco.

    • Multiplicar una fracción por su recíproco siempre nos da 1, siempre que el numerador de la fracción original no sea cero.

• Propiedades:

  • Conmutatividad de la suma con fracciones:

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

  • Conmutatividad de la multiplicación con fracciones:

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\times \frac{a}{b}$

  • Asociatividad de la suma con fracciones:

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$

  • Asociatividad de la multiplicación con fracciones:

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)\times \frac{e}{f}=\frac{a}{b}\times \left(\frac{c}{d}\times \frac{e}{f}\right)$

  • Distributividad de la multiplicación sobre la suma con fracciones:

    • $\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times \frac{e}{f}\right)$

• Técnicas:

  • Podemos utilizar la multiplicación o la división para hacer fracciones equivalentes:

    • $\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c},wherec\ne 0$

    • $\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c},wherec\ne 0$

  • Podemos escribir números enteros como fracciones:

    • $a=\frac{a\times c}{c},wherec\ne 0$

  • Suma de fracciones:

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$, para fracciones con el mismo denominador

    • $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{d}{d}+\frac{b}{d}\times \frac{c}{c}=\frac{a\times d}{c\times d}+\frac{b\times c}{d\times c}=\frac{a\times d+b\times c}{c\times d}$para fracciones con distinto denominador

  • Restando fracciones:

    • $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$para fracciones con el mismo denominador

    • $\frac{a}{c}-\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{d}{d}-\frac{b}{d}\times \frac{c}{c}=\frac{a\times d}{c\times d}-\frac{b\times c}{d\times c}=\frac{a\times d-b\times c}{c\times d}$para fracciones con distinto denominador

  • Multiplicar fracciones:

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

  • Dividiendo fracciones:

    • $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

  • Simplificando (también llamado cancelando) fracciones:

    • Es importante recordar que sólo podemos cancelar una fracción cuando tiene una cadena de multiplicación ininterrumpida en todo el numerador y el denominador.

    • $\frac{\cancel{ab}c}{\cancel{ab}d}$puede simplificarse a $\frac{c}{d}$pero $\frac{abc+d}{abd}$está en su forma más simple (aquíno se puede cancelar $a,b,ord$).

Valores absolutos

Tomar el valor absoluto de un número significa convertir en positivo un número negativo y no hacer nada con un número positivo o cero. Por ejemplo:

$\left|-4\right|=4$

$\left|4\right|=4$

$\left|0\right|=0$

Las líneas rectas que rodean al número significan "el valor absoluto de". Así que cuando vemos esta notación, sabemos que hay que tomar el valor absoluto del número o variable que hay dentro.

Manipulación de potencias

Las reglas de las potencias (también conocidas como exponentes) resultan muy útiles en nuestro estudio del Cálculo AP. Facilitan mucho la resolución de problemas. Y no olvides que estas reglas también funcionan a la inversa. Pero antes, repasemos un par de definiciones.

Ahora, recapitulemos las reglas de las potencias. Para ello, tenemos que hacer un par de suposiciones:

1. Suponemos que X e Y son números reales distintos de cero.

2. Suponemos que m y n son números enteros.

Las reglas de las potencias son las siguientes:

• Regla del producto: $x^m{x}^n=x^{m+n}$

• Regla del cociente: $x^m÷x^n=\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$

• Regla del exponente negativo: $x^{-m}=\frac{1}{x^m}$

• Regla de la potencia cero: $x^0=1,wherex\ne 0$

• Regla de la potencia de una potencia: ${\left(x^m\right)}^n=x^{m\times n}$

• Producto de una regla de potencia: $x^n{y}^n={\left(xy\right)}^n$

• Cociente a una regla de potencias: $\frac{x^n}{y^n}={\left(\frac{x}{y}\right)}^n$

• Regla de la potencia fraccionaria: $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m$

Manipular raíces

Como habrás observado en las reglas de potencias, las potencias y las raíces están relacionadas. Esta relación es extremadamente útil a la hora de resolver y simplificar problemas de Cálculo AP. Básicamente, cualquier raíz puede convertirse en una potencia, y viceversa. A continuación se resumen las reglas de las raíces.

• El número bajo una raíz par (2, 4, 6, etc.) ¡no puede ser negativo!

• Pero el número bajo una raíz impar (3, 5, 7, etc.) sí puede sernegativo.

• Para raíces en las que n es un número par $\sqrt[n]{x^n}=\left|x\right|$

• Para raíces donde n es un número impar: $\sqrt[n]{x^n}=x$

• Regla de la raíz cero: $\sqrt{0}=0$

• Regla de la raíz de identidad: $\sqrt{1}=1$

• Regla de producto: $\left(\sqrt[n]{x}\right)\left(\sqrt[n]{y}\right)=\sqrt[n]{xy}$

• Regla del cociente: $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$

• Regla de raíz a raíz: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\times n]{x}$

• Racionalizar el denominador:

  • Por convención, no queremos raíces en el denominador de una fracción. Podemos eliminarlas mediante un proceso llamado racionalización, en el que multiplicamos la fracción con una raíz en su denominador por otra fracción (que de otro modo se simplificaría a 1) con esa misma raíz en su denominador, de modo que la raíz se anula. Por ejemplo:

    • $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Manipulación de logaritmos

Una expresión logarítmica es otra forma de escribir una expresión exponencial. La base de una expresión logarítmica puede ser cualquier número positivo, excepto 1. Si queremos utilizar e como base de una expresión logarítmica, escribimos ln en lugar de log. Si queremos utilizar 10 como base de una expresión logarítmica, por convención, no lo escribimos. Las reglas para las expresiones logarítmicas se resumen a continuación.

• Regla de registro cero: ${\log }_{n}1=0,wheren>0butn\ne 1$

• Regla de registro de identidad: ${\log }_{n}n=1$

• Regla de producto: ${\log }_{n}xy={\log }_{n}x+{\log }_{n}y$

• Regla del cociente: ${\log }_n\frac{x}{y}={\log }_{n}x-{\log }_{n}y$

• Regla de la potencia: ${\log }_n{x}^m=m\left({\log }_{n}x\right)$

• Log de una regla de potencia: ${\log }_n{n}^m=m$

• Potencia de una regla logarítmica: $n^{{\log }_{n}m}=m$

Factorización

Otra herramienta superútil para el cálculo AP es la factorización. Factorizar es como dividir un número en sus factores primos, pero para expresiones algebraicas. Factorizar una expresión implica reescribir una suma de términos como producto de términos. Para ello, extraemos -o factorizamos- el Máximo Común Factor (MCC) de todos los términos de la expresión.

Una vez extraído el FCM, el siguiente paso es buscar uno de los siguientes patrones:

• Diferencia de cuadrados: ¡es absolutamente necesario saber factorizarla!

  • $x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)$

  • Una diferencia de cuadrados se puede factorizar, pero una suma de cuadrados no.

• Suma de cubos

  • $x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$

• Diferencia de cubos

  • $x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

• Cuadrado de la suma de dos números

  • ${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$

• Cuadrado de la diferencia de dos números

  • ${\left(x-y\right)}^2=x^2-2xy+y^2$

• Cubo de la suma de dos números

  • ${\left(x+y\right)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

• Cubo de la diferencia de dos números

  • ${\left(x-y\right)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$

• Cuadrado de la suma de tres números

  • ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

• Cuadrado de la diferencia de tres números

  • ${\left(x-y-z\right)}^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz$

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Volviendo a los tiempos del álgebra, una ecuación cuadrática es un polinomio de segundo grado. Las ecuaciones cuadráticas pueden resolverse mediante uno de los métodos siguientes.

Factorización de una ecuación cuadrática

Si es posible, factorizar una ecuación cuadrática es quizá la forma más fácil y rápida de resolver una ecuación cuadrática. Podemos comprobar si una ecuación cuadrática es factorizable hallando su discriminante. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, la ecuación de segundo grado es factorizable.

La fórmula cuadrática

Independientemente de si una ecuación cuadrática es factorizable, siempre podemos resolverla utilizando la fórmula cuadrática. Para una ecuación cuadrática de la forma

$a{x}^2+bx+c=0$

Podemos hallar las soluciones utilizando la fórmula cuadrática:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Completar el cuadrado

Este método para resolver una ecuación cuadrática se llama así porque consiste en tomar la fórmula cuadrática en cuestión y convertirla en un cuadrado perfecto para que se pueda resolver sacando la raíz cuadrada. Siempre podemos utilizar este método para resolver también una ecuación cuadrática, independientemente de si es factorizable.

Manipulación de funciones: Un repaso a las funciones trigonométricas

Muchos de los problemas que encontraremos en el Cálculo AP implican la manipulación de funciones trigonométricas. Así que, para los que no queremos tener que volver a aprender trigonometría al mismo tiempo que aprendemos Cálculo AP, este repaso es clave.

La trigonometría empieza con los triángulos, concretamente con los triángulos rectángulos. La imagen y la tabla siguientes resumen los términos clave de los triángulos rectángulos y las seis funciones trigonométricas principales.

Un triángulo rectángulo con sus lados etiquetados - StudySmarter Originals

Una forma de recordar las proporciones Sin, Cos y Tan

Las principales funciones trigonométricas se definen mediante cocientes de los lados de un triángulo rectángulo en un orden determinado. El lado denominado Hipotenusa (o simplemente H ) es siempre el lado más largo del triángulo. El lado denominado Adyacente (o simplemente A ) es el lado que toca el ángulo del triángulo que estamos considerando (que es θ en la imagen anterior). El lado etiquetado como Opuesto (o simplemente O ) es el lado que está enfrente del ángulo. SohCahToa (pronunciado "So-Kah-Toe-Ah") es un dispositivo mnemotécnico utilizado para ayudarnos a recordar las razones que componen las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

A partir de ahí, podemos recordar la cosecante, la secante y la cotangente como los recíprocos del seno, el coseno y la tangente.

Teniendo esto en cuenta, hay dos triángulos rectángulos especiales con los que nos enfrentamos en muchos problemas de Cálculo AP que merecen ser mencionados.

Triángulos rectángulos especiales

También llamado triángulo rectángulo isósceles, el triángulo 45-45-90 es exactamente lo que parece: un triángulo rectángulo cuyos otros dos ángulos son de 45 grados. Lo especial de este triángulo es que los dos catetos del triángulo que tocan el ángulo recto son siempre del mismo tamaño, y la hipotenusa es siempre $\sqrt{2}$ veces más larga que los dos catetos. Es buena idea memorizar las funciones trigonométricas de este triángulo.

$$\begin{gathered} sin\left(45°\right)=\frac{O}{H}=\frac{a}{\sqrt{2}\times a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}csc\left(45°\right)=\frac{H}{O}=\frac{\sqrt{2}\times a}{a}=\sqrt{2} \\ cos\left(45°\right)=\frac{A}{H}=\frac{a}{\sqrt{2}\times a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}sec\left(45°\right)=\frac{H}{A}=\frac{\sqrt{2}\times a}{a}=\sqrt{2} \\ tan\left(45°\right)=\frac{O}{A}=\frac{a}{a}=1cot\left(45°\right)=\frac{A}{O}=\frac{a}{a}=1 \end{gathered}$$

El triángulo rectángulo 30-60-90 también recibe un nombre adecuado. Lo especial de este triángulo es que la hipotenusa siempre es el doble de larga que el cateto más corto, y el cateto más largo siempre es $\sqrt{3}$ veces más largo que el cateto más corto. También es bueno memorizar las funciones trigonométricas de este triángulo tanto para la $30°$ y $60°$ángulos.

$$\begin{gathered} sin\left(30°\right)=\frac{O}{H}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}csc\left(30°\right)=\frac{H}{O}=\frac{2a}{a}=2 \\ cos\left(30°\right)=\frac{A}{H}=\frac{\sqrt{3}\times a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}sec\left(30°\right)=\frac{H}{A}=\frac{2a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ tan\left(30°\right)=\frac{O}{A}=\frac{a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}cot\left(30°\right)=\frac{A}{O}=\frac{\sqrt{3}\times a}{a}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} sin\left(60°\right)=\frac{O}{H}=\frac{\sqrt{3}\times a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}csc\left(60°\right)=\frac{H}{O}=\frac{2a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ cos\left(60°\right)=\frac{A}{H}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}sec\left(60°\right)=\frac{H}{A}=\frac{2a}{a}=2 \\ tan\left(60°\right)=\frac{O}{A}=\frac{\sqrt{3}\times a}{a}=\sqrt{3}cot\left(60°\right)=\frac{A}{O}=\frac{a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Una forma más cómoda de ver las funciones trigonométricas de estos ángulos (más los ángulos de 0 y 90 grados) es con una tabla.

El Círculo de la Unidad

Aunque el dispositivo mneumónico SohCahToa es estupendo para triángulos rectángulos, no funciona para ángulos iguales o superiores a 90 grados. Para esos, necesitamos el círculo unitario. El círculo unitario nos permite hallar valores trigonométricos para cualquier ángulo, no sólo los agudos. El círculo unitario tiene un radio de una unidad (de ahí su nombre) y se sitúa en el plano de coordenadas x-y.

La imagen anterior nos dice muchas cosas. Así que vamos a repasarla un poco. Para empezar, cuando medimos ángulos utilizando el círculo unitario, empezamos en el eje x positivo y giramos en el sentido contrario a las agujas del reloj (ver el ángulo $150°$ ángulo en la imagen). Si giráramos en el sentido de las agujas del reloj, obtendríamos un ángulo negativo (ver el ángulo de la imagen). $-70°$ ángulo de la imagen). Esto es así independientemente de si medimos el ángulo en grados o en radianes. En Cálculo AP, los radianes son casi siempre la forma preferida de medir ángulos. Recuerda que la medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco a lo largo de la circunferencia del círculo unitario (véase el borde en negrita del círculo marcado como $Length=\frac{\pi }{6}$). La forma más sencilla de convertir entre grados y radianes es la fórmula:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\pi }}{180}=\frac{R}{\theta }\Rightarrow R=\frac{\mathrm{\pi \theta }}{180}and\theta =\frac{180R}{\mathrm{\pi }} \\ where, \\ \theta istheangleindegrees \\ Ristheangleinradians \end{gathered}$$

Si observas detenidamente el círculo unitario anterior, verás que hay dos triángulos rectángulos 30-60-90. Uno de ellos está en el primer cuadrante del círculo unitario. Uno está en el primer cuadrante del círculo, el otro en el segundo cuadrante. Basándonos en estos dos triángulos, podemos deducir que las coordenadas en el círculo unitario nos indican los valores del coseno y el seno del ángulo.

Teniendo esto en cuenta, veamos el círculo unitario con todos los valores de coseno y seno trazados para los triángulos 30-60-90 y 45-45-90.

Es importante observar que los valores de todas las funciones trigonométricas principales son positivos en el primer cuadrante, sólo el seno y la cosecante son positivos en el segundo cuadrante, sólo la tangente y la cotangente son positivos en el tercer cuadrante, y sólo el coseno y la secante son positivos en el cuarto cuadrante del círculo unidad. Otro recurso mnemotécnico útil para recordar qué funciones son positivas en qué cuadrantes es Todos los alumnos hacen Cálculo.

• Todas - Las 6 funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

• Estudiantes - sólo Seno (y su recíproca, cosecante) son positivas en el segundo cuadrante.

• Toma - sólo Tangente (y su recíproca, cotangente) son positivas en el tercer cuadrante.

• Cálculo - sólo el Coseno (y su recíproco,la secante) son positivos en elcuarto cuadrante.

Gráfica de las funciones trigonométricas

Las principales funciones trigonométricas -seno, coseno y tangente- y sus recíprocas -cosecante, secante y cotangente- son funciones periódicas. Esto significa que sus gráficas tienen la misma forma repetida una y otra vez, indefinidamente. El periodo de estas funciones es la longitud de uno de sus ciclos.

Las gráficas de las 6 funciones trigonométricas - StudySmarter Originals

Ahora que hemos refrescado el círculo unitario, podemos dibujar fácilmente las gráficas del seno, el coseno y la tangente observando algunos hechos importantes:

• Para el seno y el coseno:

  • Las gráficas del seno y del coseno tienen la misma forma.

    • La gráfica del coseno sólo está desplazada 90 grados a la izquierda.

  • Las gráficas del seno y del coseno tienen un máximo de 1 y un mínimo de -1.

  • Las gráficas del seno y del coseno repiten sus formas indefinidamente a izquierda y derecha.

    • Sus formas se repiten cada 360 grados, por lo que su periodo es de 360 grados (que es el mismo número de grados que tiene un círculo).

  • Nos lo dice el círculo unitario:

    • $\sin \left(0°\right)=0and\cos \left(0°\right)=1$

    • $\sin \left(90°\right)=1and\cos \left(90°\right)=0$

    • $\sin \left(180°\right)=0and\cos \left(180°\right)=-1$

    • $\sin \left(270°\right)=-1and\cos \left(270°\right)=0$

    • $\sin \left(360°\right)=0and\cos \left(360°\right)=1$

  • Utilizando estos 5 puntos, podemos esbozar un ciclo de las funciones seno y coseno.

• Para la tangente:

  • La forma básica de la gráfica es una S hacia atrás

    • Esta forma se repite indefinidamente a izquierda y derecha.

      • Se repite cada 180 grados, por lo que su periodo es de 180 grados.

  • Como $\tan \left(\theta \right)=\frac{\sin \left(\theta \right)}{\cos \left(\theta \right)}=\frac{y}{x}$, podemos utilizar la circunferencia unitaria para dibujar la gráfica:

    • $\tan \left(-45°\right)=-1$

    • $\tan \left(0°\right)=0$

    • $\tan \left(45°\right)=1$

    • Porque $\tan \left(-90°\right)=undefinedand\tan \left(90°\right)=undefined$dibujamos asíntotas verticales en esos puntos.

Fórmulas e identidades trigonométricas

La forma más habitual de resolver problemas de Cálculo AP en los que intervienen funciones trigonométricas es utilizar identidades trigonométricas. En el Cálculo AP hay muchos momentos en los que nos "pillan", ¡porque tenemos que recordar que estas identidades existen! Además, las identidades trigonométricas nos ayudan a resolver problemas de cálculo más complejos con mucha más rapidez y facilidad. Así que vamos a enumerarlas aquí.

Identidades trigonométricas de razón

En primer lugar, recuerda que la tangente es una razón de seno/coseno, y por tanto la cotangente es la razón de coseno/seno.

$\tan \left(\theta \right)=\frac{\sin \left(\theta \right)}{\cos \left(\theta \right)}andcot\left(\theta \right)=\frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}$

Identidades trigonométricas recíprocas

Recuerda qué funciones son recíprocas entre sí.

$$\begin{gathered} \sin \left(\theta \right)=\frac{1}{csc\left(\theta \right)}andcsc\left(\theta \right)=\frac{1}{\sin \left(\theta \right)} \\ \cos \left(\theta \right)=\frac{1}{sec\left(\theta \right)}andsec\left(\theta \right)=\frac{1}{\cos \left(\theta \right)} \\ \tan \left(\theta \right)=\frac{1}{cot\left(\theta \right)}andcot\left(\theta \right)=\frac{1}{\tan \left(\theta \right)} \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas pitagóricas

Las identidades trigonométricas pitagóricas son probablemente algunas de las identidades trigonométricas más útiles. Se basan en el Teorema de Pitágoras.

$$\begin{gathered} 1.{\sin }^2\left(\theta \right)+{\cos }^2\left(\theta \right)=1 \\ 2.{\tan }^2\left(\theta \right)+1=se{c}^2\left(\theta \right) \\ 3.1+co{t}^2\left(\theta \right)=cs{c}^2\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de ángulo opuesto

También se conocen como identidades pares/impares. Como puedes ver, el coseno y la secante son las dos únicas funciones pares, el resto de las funciones trigonométricas son funciones impares.

$$\begin{gathered} \sin \left(-\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)andcsc\left(-\theta \right)=-csc\left(\theta \right) \\ \cos \left(-\theta \right)=\cos \left(\theta \right)andsec\left(-\theta \right)=sec\left(\theta \right) \\ \tan \left(-\theta \right)=-\tan \left(\theta \right)andcot\left(-\theta \right)=-cot\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identidades Trig periódicas

Si n es cualquier número entero, se cumplen las siguientes identidades.

$$\begin{gathered} \sin \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\sin \left(\theta \right)andcsc\left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=csc\left(\theta \right) \\ \cos \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\cos \left(\theta \right)and\cos \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\cos \left(\theta \right) \\ \tan \left(\theta +\mathrm{\pi n}\right)=\tan \left(\theta \right)andcot\left(\theta +\mathrm{\pi n}\right)=cot\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de cofunción

Muestran qué funciones trigonométricas son complementarias entre sí.

• El seno y el cosenoson complementos, por lo que soncofunciones entre sí.

  • $$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\cos \left(\theta \right) \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\sin \left(\theta \right) \end{gathered}$$

• La tangente y la cotangenteson complementos, por lo que son cofuncionesentre sí.

  • $$\begin{gathered} \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\mathrm{co}t\left(\theta \right) \\ \mathrm{co}t\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\tan \left(\theta \right) \end{gathered}$$

• Secante y cosecanteson complementos, por lo que son cofuncionesentre sí.

  • $$\begin{gathered} sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\mathrm{cs}c\left(\theta \right) \\ \mathrm{cs}c\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=sec\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de doble ángulo

También es muy útil recordar las identidades trigonométricas de ángulo doble.

$$\begin{gathered} \sin \left(2\theta \right)=2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right) \\ \cos \left(2\theta \right)={\cos }^2\left(\theta \right)-{\sin }^2\left(\theta \right) \\ =2{\cos }^2\left(\theta \right)-1 \\ =1-2{\sin }^2\left(\theta \right) \\ \tan \left(2\theta \right)=\frac{2\tan \left(\theta \right)}{1-{\tan }^2\left(\theta \right)} \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de medio ángulo

También es muy útil recordar las identidades trigonométricas de medio ángulo. El más o el menos depende de en qué cuadrante se encuentre el valor original dado.

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{2}}or{\sin }^2\left(\theta \right)=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{2} \\ \cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \left(\theta \right)}{2}}or{\cos }^2\left(\theta \right)=\frac{1+\cos \left(2\theta \right)}{2} \\ \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{1+\cos \left(\theta \right)}}=\frac{\sin \left(\theta \right)}{1+\cos \left(\theta \right)}=\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}or{\tan }^2\left(\theta \right)=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{1+\cos \left(2\theta \right)} \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos

Las identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos son útiles para simplificar expresiones de aspecto complejo.

$$\begin{gathered} \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\cos \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de suma a producto

Las identidades trigonométricas de suma a producto toman una suma de dos funciones trigonométricas y las convierten en un producto de funciones trigonométricas.

$$\begin{gathered} \sin \left(x\right)+\sin \left(y\right)=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \cos \left(x\right)+\cos \left(y\right)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \cos \left(x\right)-\cos \left(y\right)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)=\frac{\sin \left(x+y\right)}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)} \\ \tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)} \end{gathered}$$

Identidades trigonométricas de producto a suma

Las identidades trigonométricas producto-suma toman un producto de dos funciones trigonométricas y lo convierten en una suma de funciones trigonométricas.

$$\begin{gathered} \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right)}{2} \\ \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos \left(x-y\right)+\cos \left(x+y\right)}{2} \\ \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right)}{2} \\ \tan \left(x\right)\tan \left(y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{cot\left(x\right)+cot\left(y\right)} \\ \sin \left(x\right)cot\left(y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+cot\left(y\right)}{cot\left(x\right)+\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Las leyes de los senos, cosenos y tangentes

Para los triángulos que no son rectángulos, también tenemos la Ley de los Senos, la Ley de los Cosenos y la Ley de las Tangentes.

Un triángulo sin ángulo recto - StudySmarter Originals

Manipulación de funciones: Introducción

Ahora que ya nos hemos quitado de encima todo el repaso, vamos a presentar las formas en que podemos manipular funciones. Hay cuatro formas principales de manipular funciones:

1. Álgebra de funciones (manipulación algebraica): ecuaciones algebraicas y funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

   • Piensa: suma, resta, multiplicación y división
2. Transformaciones de funciones

   • Piensa: manipulación de una gráfica
3. Combinación de funciones
4. Simetría de funciones

Álgebra de funciones o manipulación algebraica

La primera forma en que podemos manipular funciones es mediante la manipulación algebraica. Esto suele significar sumar, restar, multiplicar y/o dividir un valor de una función, o sumar, restar, multiplicar y/o dividir dos o más funciones. También puede significar llevar una función a una potencia, raíz, logaritmo, etc. La manipulación algebraica puede significar incluso simplificar una expresión, ecuación o función. Podemos manipular algebraicamente ecuaciones algebraicas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas.

Manipulación de ecuaciones algebraicas

Antes de entrar en la manipulación de ecuaciones algebraicas, repasemos qué es exactamente una ecuación algebraica.

Esencialmente, lo que tenemos que hacer aquí es asegurarnos de que mantenemos iguales ambos lados del signo igual, como haríamos con una balanza. Lo que hacemos en un lado de la ecuación, debemos hacerlo en el otro para mantener el equilibrio.

Manipulación de funciones exponenciales

Antes de entrar en la manipulación de funciones exponenciales, repasemos qué es exactamente una función exponencial.

De nuevo, lo que tenemos que hacer aquí es asegurarnos de que tratamos el signo igual como una escala, igual que hicimos con las ecuaciones algebraicas.

Manipulación de funciones logarítmicas

Antes de entrar en la manipulación de funciones logarítmicas, repasemos qué es exactamente una función logarítmica.

De nuevo, lo que tenemos que hacer aquí es asegurarnos de que tratamos el signo igual como una escala, igual que hicimos con las ecuaciones algebraicas.

Manipulación de funciones trigonométricas

Antes de entrar en la manipulación de las funciones trigonométricas, repasemos qué es exactamente una función trigonométrica.

De nuevo, lo que tenemos que hacer aquí es asegurarnos de que tratamos el signo igual como una escala, igual que hicimos con las ecuaciones algebraicas.

Para más información, consulta nuestro artículo Álgebra de funciones. Allí tratamos estos temas mucho más a fondo y con multitud de ejemplos.

Transformaciones de funciones

Todas las transformaciones de funciones que has aprendido hasta ahora siguen aplicándose en el Cálculo AP. Cualquier función puede transformarse, tanto horizontal como verticalmente, desplazándola, reflejándola, estirándola o encogiéndola. Las transformaciones horizontales sólo cambian las coordenadas x de los puntos. Las transformaciones verticales sólo cambian las coordenadas y de los puntos.

Transformaciones horizontales de gráficos

Las transformaciones horizontales se realizan cuando sumamos/restamos un número de la variable de entrada de una función, normalmente x, o multiplicamos x por un número. Las transformaciones horizontales, excepto la reflexión, funcionan de forma opuesta a como esperaríamos que lo hicieran. He aquí un resumen de cómo funcionan las transformaciones horizontales:

• Desplazamientos - Sumar un número a x desplaza la función hacia la izquierda, restarla la desplaza hacia la derecha.

• Encogimientos - Multiplicar x por un número mayor que 1 encoge la función horizontalmente (piensa en compresión horizontal).

• Estiramientos - Multiplicar x por un número menor que 1 estira la función horizontalmente.

• Reflejos - Multiplicar x por -1 refleja la función horizontalmente (sobre el eje y).

Transformaciones verticales de gráficas

Las transformaciones verticales se realizan cuando sumamos/restamos un número de toda la función, o multiplicamos toda la función por un número. A diferencia de las transformaciones horizontales, las verticales funcionan como esperamos que lo hagan (¡bien!). He aquí un resumen de cómo funcionan las transformaciones verticales:

• Desplazamientos - Sumar un número a toda la función la desplaza hacia arriba, restarla la desplaza hacia abajo.

• Reducción - Multiplicar toda la función por un número menor que 1 reduce la función verticalmente (piensa en compresión vertical).

• Estiramientos - Multiplicar toda la función por un número mayor que 1 estira la función verticalmente.

• Reflejos - Multiplicar toda la función por -1 la refleja verticalmente (sobre el eje x).

Para más información, consulta nuestro artículo Transformaciones de funciones. Allí tratamos el tema mucho más a fondo y con multitud de ejemplos.

Combinar funciones

Combinar funciones es otra forma de manipular funciones en Cálculo AP. Hay dos formas principales de combinar funciones:

1. Utilizando la manipulación algebraica (como se ha descrito anteriormente) para sumar/restar/multiplicar/dividir dos o más funciones.

2. Sustituyendo la variable independiente de una función por otra función en un proceso llamado composición de funciones.

Como ya hemos hablado de la manipulación algebraica de funciones, vamos a hablar aquí de la composición de funciones. La composición de funciones consiste en tomar una función, por ejemplo $g\left(x\right)$e introducirla en otra función, por ejemplo $f\left(x\right)$y resolverla, normalmente para un valor de x.

Esto también tiene su propia notación: $f\left(g\left(x\right)\right)or\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ ambas se leen como "f de g de x".

En otras palabras, $f\left(g\left(x\right)\right)\ne g\left(f\left(x\right)\right)$.

Para más información, consulta nuestro artículo Combinar funciones. Allí tratamos el tema mucho más a fondo y con multitud de ejemplos.

Simetría de funciones

Algunas funciones presentan propiedades de simetría que nos ayudan a entenderlas y a comprender las formas de sus gráficas. Hay dos tipos de simetría cuando hablamos de funciones y sus gráficas:

• Par - Si una función tiene simetría par , significa que es simétrica respecto al eje y.
• Impar - Si una función tiene simetría impar , significa que es simétrica respecto al origen.

Para más información, consulta nuestro artículo Simetría de funciones. Allí tratamos el tema mucho más a fondo y con multitud de ejemplos.