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Significado de máximos y mínimos de funciones
Una función es una regla que asigna una salida a cada entrada dada en su dominio. Algunas de estas salidas pueden ser mayores que otras, lo que nos lleva a las siguientes preguntas:
¿Hay alguna salida que sea mayor que todas las demás?
¿Hay alguna salida que sea menor que todas las demás?
Estos valores de salida alto y bajo se conocen como extremos. El valor de salida más alto es un máximo y el valor de salida más bajo es un mínimo. En plural, se conocen como máximos y mínimos, respectivamente.
Hay dos tipos de máximos y mínimos: globales y locales. Exploraremos estos dos tipos de extremos y cómo encontrarlos.
Máximos y mínimos absolutos
El máximo absoluto de una función, o máximo global, es la mayor salida de la función en todo su dominio.
El máximo absoluto , o máximo global , de una función es la mayor salida en el rango de la función. Si es el máximo absoluto de una función
, entonces
para todo
en el dominio de la función.
El mínimo absoluto, o mínimo global, se define de forma similar como la menor salida de la función en todo su dominio.
El Mínimo Absoluto, o Mínimo Global, de una función es la salida más pequeña en el ámbito de la función. Si es el mínimo absoluto de una función
, entonces
para todo
en el dominio de la función.
No todas las funciones tienen un máximo o un mínimo global. Las funciones pueden tener uno, ninguno o ambos.
Las parábolas son un buen ejemplo de funciones que tienen un máximo o un mínimo global. Veamos la gráfica de la función :
Fig. 1: Gráfica de la parábola.
Esta parábola tiene un mínimo en el vértice,. Por tanto, tiene un mínimo global situado en
, y su valor es el valor y del vértice, que es
.
La parábola está definida para todos los números reales, por lo que los resultados seguirán aumentando a medida que aumente o disminuya. Por tanto, la función no tiene un máximo global.
Pero, ¿qué ocurre si la función no está definida sobre todos los números reales? Veamos el siguiente ejemplo.
Considera la siguiente gráfica:
Fig. 2: Gráfica de la parábola sobre un dominio menor.
Se trata de la misma función de antes, , pero ahora su dominio se limita a
. Su máximo se produce en el punto
. Por tanto, tiene un máximo global en
, y su valor es
.
Cabe señalar que la parábola sigue teniendo el mismo valor mínimo global de 1.
¡Algunas funciones pueden no tener ni máximos ni mínimos!
Esta vez veremos la gráfica de la función lineal .
Fig. 3:Gráfica de la función lineal.
Esta función está definida para todos los números reales. Sus salidas seguirán disminuyendo hacia la izquierda y aumentando hacia la derecha. Por tanto, esta función no tiene un máximo ni un mínimo globales.
Máximos y mínimos relativos
El máximo relativo, o máximo local, de una función es una salida que es mayor que las salidas directamente próximas a ella. Esto implica que podemos encontrar un intervalo a su alrededor tal que esta salida sea mayor que todas las demás salidas de los valores del intervalo elegido.
Se dice que una función tiene un Máximo Relativo, o Máximo Local, en
si existe un intervalo
que contiene a
tal que
para todo
en ese intervalo. El valor
es un máximo relativo.
Un mínimo relativo, o mínimo local, se define de forma similar como una salida que es menor que las salidas situadas directamente a su lado.
Se dice que una función tiene un Mínimo Relativo, o Mínimo Local en
si existe un intervalo
que contiene a
tal que
para todo
en ese intervalo. El valor
es un mínimo relativo.
Pero, ¿cómo hallamos el máximo local o el mínimo local? Echemos un vistazo a la gráfica de la función.
Considera la gráfica de una función cúbica.
Fig. 4: Gráfica de una función cúbica con extremos relativos.
Podemos identificar los extremos relativos como los picos y valles de la gráfica. Podemos ver un pico en , por lo que hay un máximo local. También podemos ver un valle en
, lo que significa que allí hay un mínimo local.
Observa que esta función no tiene un mínimo global porque sus valores siguen disminuyendo hacia la izquierda. Tampoco tiene un máximo global porque sus valores siguen aumentando hacia la derecha.
También hay que señalar que la función pasa de creciente (pendiente positiva) a decreciente (pendiente negativa) en un máximo local. Del mismo modo, en un mínimo local, la función pasa de decreciente a creciente. En estos puntos, si la gráfica es una curva suave, la pendiente de la función es igual a 0. Se trata de una observación importante porque nos permitirá utilizar el cálculo, en particular las derivadas, para encontrar extremos relativos cuando no dispongamos de una gráfica.
Utilizar las derivadas para encontrar máximos y mínimos
En el ejemplo anterior, disponíamos de una gráfica y encontrar los extremos relativos era una tarea visual. Sin embargo, no siempre dispondremos de la gráfica de una función. ¿Qué podemos hacer en estos casos?
Podemos utilizar las llamadas pruebas de la primera y la segunda derivadas. Estas pruebas se basan en el Teorema de Fermat sobre los puntos estacionarios.
ElTeorema de Fermat afirma que, si una función tiene un extremo relativo en
y la función es diferenciable en ese punto, entonces
.
Los puntos en los que la derivada de una función es igual a 0 se llaman puntos estacionarios . La pendiente de la función en un punto estacionario es igual a 0.
Si volvemos la vista al ejemplo de la función cúbica, podemos observar que el máximo y el mínimo relativos son también puntos en los que la pendiente de la gráfica es igual a 0. ¡Tracemos rectas tangentes en los extremos relativos!
Fig. 5: Gráfica de una función cúbica con rectas tangentes en sus extremos relativos.
Tiene que haber una relación entre las derivadas y los extremos relativos.
Encontrar los puntos estacionarios es lo que se conoce comoPrueba de la Primera Derivada. Un punto estacionario puede ser un máximo local o un mínimo local, o puede no ser ninguno de los dos. Para determinarlo, utilizamos lo que se conoce como Prueba de la Segunda Derivada .
La prueba de la segunda derivada establece que si es una función con una segunda derivada, y
es un punto estacionario, entonces:
- Si
, entonces
es un máximo local de
.
- Si
, entonces
es un mínimo local de
.
En otras palabras, la Prueba de la Segunda Derivada nos dice lo siguiente:
- Si la segunda derivada en un punto estacionario es negativa, la función tiene un máximo local en ese punto.
- Si la segunda derivada en un punto estacionario es positiva, la función tiene un mínimo local en ese punto.
Intentemos comprender este proceso con un ejemplo.
Encuentra los máximos y mínimos locales de la función , si los hay.
Halla la derivada de f mediante la regla de potencias.
Evalúa en un punto crítico.
Aplica el Teorema de Fermat
Resuelve c mediante factorización. Empieza dividiendo la ecuación por 6.
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
e ntonces y .
Halla la segunda derivada de f.
Evalúa la segunda derivada en cada punto crítico.
y
Como entonces hay un máximo local en .
Su valor es .
Entonces hay un mínimo local en .
Su valor es . Echemos un vistazo a la gráfica de la función para ver si esto tiene algún sentido.
Fig. 6: Gráfica de la función cúbica mostrando sus extremos relativos.
¡Hemos encontrado el extremo relativo exacto de la función!
Es importante tener en cuenta que sila prueba no es concluyente. Esto puede ocurrir porque las gráficas tienen puntos con pendiente cero que no son extremos relativos. En tales casos, puede que merezca la pena inspeccionar la gráfica de la función.
Halla los extremos relativos de la función .
Halla la derivada de utilizando la regla de potencias.
Evalúa en un punto crítico.
Aplica el Teorema de Fermat.
Resuelve c.
Halla la segunda derivada de .
Evalúa la segunda derivada en el punto crítico.
Como no podemos concluir nada a partir de estas pruebas. Veamos ahora la gráfica de la función:
Fig. 7: Gráfica de una función cúbica sin extremos relativos.
Observa que esta función no tiene extremos relativos, aunque hayamos comprobado que su derivada en es igual a cero. Este punto sigue siendo crítico porque la pendiente de la función es igual a 0 en ese punto. ¡Observa que la función tampoco tiene un máximo ni un mínimo globales!
Se puede obtener más información sobre la función encontrando más de sus derivadas, suponiendo que existan. Esto se conoce como la prueba de la derivada de orden superior.
Fórmula de máximos y mínimos
Por desgracia, no existe ninguna fórmula para encontrar los máximos y mínimos de una función. Localizar los extremos depende completamente del tipo de función y de la forma de su gráfica.
¡Observar la gráfica de la función es siempre un buen primer paso! Por ejemplo, si la función es una parábola que se abre hacia abajo, puedes encontrar su máximo global hallando su vértice. Si necesitas encontrar máximos y mínimos locales sin una gráfica, puedes utilizar las pruebas de la primera y segunda derivadas que hemos explorado antes.
Máximos y Mínimos - Puntos clave
- Elmáximo absoluto omáximo global de una función es la mayor salida en su rango.
- Elmínimo absoluto omínimo global de una función es la menor salida en su rango.
- Un máximo relativo omáximo local de una función es una salida mayor que las salidas que la rodean.
- Un mínimo relativo o mínimo local de una función es una salida menor que las salidas que la rodean.
- Mínimo es el plural de mínimo. Máximo es el plural de máximo. Colectivamente se conocen comoextremos.
- La prueba de la primeraderivada puede utilizarse para encontrar un posible máximo o mínimo local. La prueba dela segunda derivada nos dice si el punto es un máximo o un mínimo local.
- La prueba de la segunda derivada no es concluyente si
, en cuyo caso echar un vistazo a la gráfica podría ser una mejor idea.
- La prueba de la segunda derivada no es concluyente si
- No existe una fórmula para encontrar máximos o mínimos. Depende de la función que estés estudiando.
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