Y, si alguna vez has tenido ese compañero de excursión que le dice a tu grupo que habéis llegado a la cima, sólo para que todos tengáis que volver a subir, sabes que estas colinas no eran más que alturas máximas locales que alcanzasteis.
¿Dónde está la altura máxima de tu excursión? Bueno, al igual que dónde empiezas y terminas tu caminata, una función que está en un intervalo cerrado tiene un punto inicial y otro final. Y, al igual que puedes ver un mapa de elevación de tu excursión, ¡puedes mirar la gráfica de una función y determinar los máximos y mínimos absolutos que tiene!
Máximos y mínimos absolutos: definiciones
Si has estudiado el artículo sobre máximos y mínimos, entonces ya sabes que
el máximo absoluto (también llamado máximo global) de una función es el mayor valor de salida de una función en todo su dominio, y
el mínimo absoluto (también llamado mínimo global) de una función es el menor valor de salida de una función en todo su dominio.
Pero, ¿qué hay de una definición más formal?
Para definir formalmente los máximos y mínimos absolutos, considera las funciones
\[ f(x) = x^{2} + 1 \]
y
\[ g(x) = -x^{2} -1, \]
cada una sobre el intervalo de \( ( - \infty, \infty ) \).
Considera también sus gráficas:
Fig. 1. La función \( f(x) \) tiene un mínimo absoluto en \( (0, 1) \) y no tiene un máximo absoluto. La función \( g(x) \) tiene un máximo absoluto en \( (0, -1) \) y no tiene un mínimo absoluto.
Para \( f(x) \):
Como \( x \a \pm \infty, f(x) \a \infty \).
Esto te demuestra que \( f(x) \) no tiene valor máximo absoluto.
Pero, como \( x^{2} \geq 1 \) para todos los números reales de \( x \) y \( x^{2} + 1 = 1 \) cuando \( x = 0 \), sabes que \( f(x) \) tiene un valor más pequeño -un mínimo absoluto - de \( 1 \) cuando \( x = 0 \).
Para \( g(x) \):
Como \( x \to \pm \infty, g(x) \to - \infty \).
Esto te demuestra que \( g(x) \) no tiene valor mínimo absoluto.
Pero, como \( -x^{2} \leq -1 \) para todos los números reales de \( x \) y \( -x^{2} - 1 = -1 \) cuando \( x = 0 \), sabes que \( g(x) \) tiene un valor mayor -un máximo absoluto- de \( -1 \) cuando \( x = 0 \).
Esto te lleva a concluir que la definición formal de máximo absoluto, mínimo absoluto y extremo absoluto es la siguiente:
Sea una función \( f \) definida sobre un intervalo \( I \) con un valor \( c \) que es un subconjunto de \( I \).
- Dices que f tiene un máximo absoluto en I en c si f(c) es f(x) para todo x que sea un subconjunto de I.
- Dices que \( f \) tiene un mínimo absoluto en \( I \) en \( c \) si \( f(c) \le f(x) \) para todo \( x \) que sea un subconjunto de \( I \).
- Por último, si \( f \) tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en \( I \) en \( c \), se dice que \( f \) tiene un extremo absoluto en \( I \) en \( c \).
Pero, antes de seguir adelante, hay dos cuestiones a tener en cuenta en relación con estas definiciones:
- El término absoluto no significa valor absoluto.
- Los extremos absolutos pueden ser positivos, negativos o cero.
- Si una función tiene un extremo absoluto sobre \( I \) en \( c \), entonces el extremo absoluto es \( f(c) \).
- El número real \( c \) es un punto del dominio de la función en el que se produce el extremo absoluto.
Considera la función
\[ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \]
en el intervalo \( ( - \infty, \infty) \).
Fig. 2. La función \( f(x) \) sobre el intervalo de \( (-\infty, \infty) \) tiene un máximo absoluto de \( 1 \) en \( x = 0 \) y ningún mínimo absoluto.
Porque
\[ f(0) = 1 \ge \frac{1}{x^{2}} + 1} = f(x) \]
para todos los números reales \( x \), se dice que \( f(x) \) tiene un máximo absoluto en el intervalo \( ( - \infty, \infty) \) en \( x = 0 \). El máximo absoluto es \( f(0) = 1 \), y se da en \( x = 0 \).
Gráficos de máximos y mínimos absolutos
Una función puede tener
- tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto,
- un máximo absoluto o un mínimo absoluto, o
- ni máximo ni mínimo absolutos.
Las gráficas siguientes muestran varias posibilidades respecto a cuántos extremos absolutos puede tener una función.
(a) La función \( f(x) = x^{3} \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto.
Fig. 3. (a) La función \( f(x) = x^{3} \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto.
(b) La función \( f(x) = \frac{-1}{x^{2}+1} \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) tiene un mínimo absoluto de \( -1 \) en \( x = 0 \) y ningún máximo absoluto.
Fig. 4. (b) La función \( f(x) = \frac{-1}{x^{2}+1} \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) tiene un mínimo absoluto de \( -1 \) en \( x = 0 \) y ningún máximo absoluto.
(c) La función \( f(x) = cos(x) \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) tiene un máximo absoluto de \( 1 \) en \( x = 0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \dots \) y un mínimo absoluto de \( -1 \) en \( x = \pm \pi, \pm 3 \pi, \dots \).
Fig. 5. (c) La función \( f(x) = cos(x) \) en el intervalo \( (-\infty, \infty) \) tiene un máximo absoluto de \( 1 \) en \( x = 0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \dots \) y un mínimo absoluto de \( -1 \) en \( x = \pm \pi, \pm 3 \pi, \dots \)
(d) La función \f(x) = inicio 2-x^2} & 0 x < 2 x-3 & 2 x 4 fin \] tiene un máximo absoluto de \( 2 \) en \( x = 0 \) y ningún mínimo absoluto.
Fig. 6. (d) La función \( f(x) = 2-x^{2} & 0 \leq x < 2 \leq x-3 & 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \) tiene un máximo absoluto de \( 2 \) en \( x = 0 \) y ningún mínimo absoluto.
(e) La función \( f(x) = (x-2)^{2} \) en el intervalo \( [1, 4] \) tiene un máximo absoluto de \( 4 \) en \( x = 4 \) y un mínimo absoluto de \( 0 \) en \( x = 2 \).
Fig. 7. (e) La función \( f(x) = (x-2)^{2} \) en el intervalo \( [1, 4] \) tiene un máximo absoluto de \( 4 \) en \( x = 4 \) y un mínimo absoluto de \( 0 \) en \( x = 2 \).
(f) La función \( f(x) = \frac{x}{2-x} \) en el intervalo \( [0, 2) \) tiene un mínimo absoluto de \( 0 \) en \( x = 0 \) y ningún máximo absoluto.
Los tres primeros gráficos, los gráficos (a), (b) y (c), muestran cómo una función con dominio \( (-\infty, \infty) \) puede tener cualquiera de los dos:
ningún extremo absoluto
un extremo absoluto, o
tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto.
Las tres segundas gráficas, las gráficas (d), (e) y (f), muestran cómo una función en un intervalo acotado puede tener
un único extremo absoluto, o
tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto.
¡Una función NO puede tener más de un máximo absoluto ni más de un mínimo absoluto! Sin embargo, como en el gráfico (c) anterior, el máximo absoluto y el mínimo absoluto pueden darse en más de un valor de \( x \).
Teorema del valor extremo
ElTeorema del Valor Extremo afirma que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto. El enunciado formal del Teorema del Valor Extremo es el siguiente.
Si una función \( f \) es continua sobre un intervalo cerrado y acotado \( [a, b] \), entonces
- existe un punto en el intervalo \( [a, b] \) donde \( f \) tiene un máximo absoluto y
- hay un punto en el intervalo \( [a, b] \) donde \( f \) tiene un mínimo absoluto.
Para que se aplique el teorema del valor extremo, la función debe ser continua en un intervalo cerrado y acotado. Si, por ejemplo, el intervalo es abierto, o la función tiene un solo punto de discontinuidad, es posible que la función no tenga un máximo absoluto o un mínimo absoluto.
Reconsidera las funciones mostradas en los tres segundos gráficos anteriores: gráficos (d), (e) y (f).
Estas tres funciones están definidas sobre intervalos acotados, pero no necesariamente cerrados.
- Por eso, la función del gráfico (e) es la única que tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en su dominio.
El teorema del valor extremo no puede aplicarse a las funciones de las gráficas (d) y (f) porque ninguna de ellas es continua sobre un intervalo cerrado y acotado.
- Consideremos el gráfico (d):
- Aunque la función está definida sobre el intervalo cerrado y acotado de \( [0, 4] \), tiene una discontinuidad en \( x = 2 \).
- Por tanto, la función tiene un máximo absoluto sobre el intervalo cerrado y acotado de \( [0, 4] \), pero no tiene un mínimo absoluto.
- Aunque la función está definida sobre el intervalo cerrado y acotado de \( [0, 4] \), tiene una discontinuidad en \( x = 2 \).
- Considerando la gráfica (f):
- La función es continua sobre el intervalo semiabierto de \( [0, 2) \), pero no está definida en \( x = 2 \).
- Por tanto, no es continua sobre un intervalo cerrado y acotado.
- La función tiene un mínimo absoluto sobre el intervalo de \( [0, 2) \), pero no tiene un máximo absoluto sobre el intervalo de \( [0, 2) \).
- La función es continua sobre el intervalo semiabierto de \( [0, 2) \), pero no está definida en \( x = 2 \).
- Las gráficas (d) y (f) ilustran por qué una función sobre un intervalo acotado puede no tener un máximo y/o un mínimo absolutos.
Máximos y mínimos absolutos en regiones acotadas cerradas
El teorema del valor extremo dice que una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado debe tener un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
Como se muestra en los gráficos anteriores, uno o ambos de estos extremos absolutos podrían darse en un punto final de la función.
Sin embargo, si un extremo absoluto no se produce en un punto final de la función, debe producirse en un punto interior.
Esto significa que el extremo absoluto es también un extremo local.
Por tanto, por el Teorema de Fermat, el punto \( c \) en el que se produce el extremo local debe ser un punto crítico.
Teorema - Localización de los extremos absolutos
Sea una función \( f \) continua en un intervalo cerrado y acotado \( I \).
- El máximo absoluto de \( f \) sobre \( I \) debe darse o bien en un extremo de \( I \) o bien en un punto crítico de \( f \) en \( I \).
- El mínimo absoluto de \( f \) sobre \( I \) debe darse o bien en un punto final de \( I \) o bien en un punto crítico de \( f \) en \( I \).
Teniendo esto en cuenta, vamos a desarrollar la estrategia para encontrar los extremos absolutos de una función.
Estrategia: Localización de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado
Para localizar el extremo absoluto de una función, ésta debe ser continua y estar definida sobre un intervalo cerrado y acotado \( [a, b] \).
Resuelve la función en sus puntos extremos, es decir, donde \( x = a \) y \( x = b \).
Encuentra todos los puntos críticos de la función que estén en el intervalo abierto \( (a, b) \) y resuelve la función en cada punto crítico.
Toma la primera derivada de la función dada.
Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve para \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.
Toma la segunda derivada de la función dada.
Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.
Si \( f''(c) < 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un máximo.
Si \( f''(c) > 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un mínimo.
Compara todos los valores de los pasos \( 1 \) y \( 2 \).
El mayor de los valores es el máximo absoluto de la función.
El menor de los valores es el mínimo absoluto de la función.
Todos los demás valores son extremos relativos/locales de la función.
Repasemos estos pasos con un ejemplo.
Halla el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función
\[ f(x) = x^{2} + 2 \]
en el intervalo \( [-2, 3] \).
Solución:
Así pues, en este caso, \( f(x) \) es continua y está definida sobre el intervalo cerrado y acotado de \( [-2, 3] \).
- Esto significa que \( a = -2 \) y \( b = 3 \).
Resuelve la función en sus puntos extremos, es decir, donde \( x = a \) y \( x = b \).
Para \( x = a = -2 \):\[ f(a) = f(-2) = (-2)^{2} + 2 = 6 \]
Para \( x = b = 3 \):\[ f(b) = f(3) = (3)^{2} + 2 = 11 \]
Encuentra todos los puntos críticos de la función que estén en el intervalo abierto \( (a, b) \) y resuelve la función en cada punto crítico.
Toma la primera derivada de la función dada.\[ f'(x) = 2x \]
Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}f'(x) = 0 &= 2x \0 &= 2x \x &= 0\end{align} \]
Toma la segunda derivada de la función dada.\[ f''(x) = 2 \]
Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.\[ f''(0) = 2 \]
Si \( f''(c) < 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un máximo.
Si \( f''(c) > 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un mínimo.
Compara todos los valores de los pasos \( 1 \) y \( 2 \).
El mayor de los valores es el máximo absoluto de la función.
El menor de los valores es el mínimo absoluto de la función.
Todos los demás valores son extremos relativos/locales de la función.
\( x \) \( f(x) \) Conclusión \( -2 \) \( 6 \) máximo relativo \( 0 \) \( 2 \) mínimo absoluto \( 3 \) \( 11 \) máximo absoluto
Puedes representar gráficamente la función en su intervalo cerrado y acotado para validar tus conclusiones de la tabla anterior:
Fig. 9. La función \(f(x)\) tiene un máximo relativo en \( (-2, 6) \), un mínimo absoluto en \( (0, 2) \), y un máximo absoluto en \( (3, 11) \).
Por tanto,
- El máximo absoluto de \( f(x) \) es \( 11 \) y se da donde \( x = 3 \).
- El mínimo absoluto de \( f(x) \) es \( 2 \) y se da donde \( x = 0 \).
Máximo y mínimo absolutos de una función
La mayoría de las funciones que tratas en cálculo no tienen un valor máximo absoluto ni un valor mínimo absoluto en todo su dominio.
Sin embargo, algunas funciones sí tienen un extremo absoluto en todo su dominio. Por ejemplo, la función
\f(x) = xe^{3x}. \]
Si tomas la derivada de esta función, obtienes
\[ f'(x) = e^{3x}(1+3x). \]El único punto crítico de esta función está donde \( x = -\frac{1}{3} \).
Fig. 10. La función \( f(x) = xe^{3x} \), en todo su dominio, tiene un mínimo absoluto en \( x = -\frac{1}{3} \), pero no tiene un máximo absoluto.
Si observas la gráfica de esta función, verás que, en todo su dominio, tiene un mínimo absoluto en \( x = -\frac{1}{3} \), pero no tiene un máximo absoluto.
Estrategia: Localizar máximos y mínimos absolutos en todo el dominio de una función
Para localizar máximos y mínimos absolutos en todo el dominio de una función, sigue el mismo proceso que para encontrar máximos y mínimos locales, ya que no hay puntos finales. Los pasos se resumen a continuación.
Toma la primera derivada de la función dada.
Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve por \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.
Toma la segunda derivada de la función dada.
Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.
Si \( f''(c) < 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un máximo.
Si \( f''(c) > 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un mínimo.
Repasemos estos pasos con un ejemplo.
Encuentra cualquier extremo absoluto de la función
\[ f(x) = xe^{x} \].
Solución:
Toma la primera derivada de la función dada.\[ f'(x) = e^{x}(1 + x) \]
Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve por \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}f'(x) = 0 &= e^{x}(1 + x) \0 &= 1 + x \x &= -1\end{align} \]
Toma la segunda derivada de la función dada.\[ f''(x) = e^{x}(x + 2) \]
Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.\[ \begin{align}f''(-1) &= e^{-1}(-1 + 2) \&= e^{-1}(1) \&= e^{-1} = 0,37\end{align} \]
Si \( f''(c) < 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un máximo.
Si \( f''(c) > 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un mínimo.
Puedes representar gráficamente la función para validar tus conclusiones:
Fig. 11. La función tiene un mínimo absoluto en \( (-1, -0,37) \) y ningún otro extremo relativo o absoluto.
Por tanto, el único extremo absoluto de la función es un mínimo absoluto de \( -0,37 \) que se produce donde \( x = -1 \).
Máximos y mínimos absolutos: ejemplos
Halla el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función
\[ f(x) = -2x^{2} + 3x - 2 \]
en el intervalo \( [-1, 3] \).
Indica dónde está el extremo absoluto.
Solución:
Resuelve la función en sus puntos extremos, es decir, donde \( x = -1 \) y \( x = 3 \).
Para \( x = -1 \):\[ f(-1) = -2(-1)^{2} + 3(-1) - 2 = -7 \]
Para \( x = 3 \):\[ f(3) = -2(3)^{2} + 3(3) - 2 = -11 \]
Encuentra todos los puntos críticos de la función que estén en el intervalo abierto \( (1, 3) \) y resuelve la función en cada punto crítico.
Toma la primera derivada de la función dada.\[ f'(x) = -4x + 3 \]
Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve por \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}f'(x) = 0 &= -4x + 3 \\4x &= 3 \x &= \frac{3}{4}\end{align} \]
Toma la segunda derivada de la función dada.\[ f''(x) = -4 \]
Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.\[ f''(\frac{3}{4}) = -4 \]
Como \( f''(\frac{3}{4}) < 0 \), entonces el punto crítico de \( f(x) \) es un máximo.
Compara todos los valores de los pasos \( 1 \) y \( 2 \).
\( x \) \( f(x) \) Conclusión \( -1 \) \( -7 \) \(frac {3} {4}) \( \frac{7}{8} \) máximo absoluto \( 3 \) \( -11 \) mínimo absoluto
Fig. 12. La función \( f(x) \) tiene un máximo absoluto en \( x = \frac{3}{4} \) y un mínimo absoluto en \( x = 3 \).
Por tanto,
- El máximo absoluto de \( f(x) \) es \( \frac{7}{8} \) y se da donde \( x = \frac{3}{4} \).
- El mínimo absoluto de \( f(x) \) es \( -11 \) y se da donde \( x = 3 \).
Máximos y mínimos absolutos - Puntos clave
- El máximo absoluto (también llamado máximo global) de una función es el mayor valor de salida de una función en todo su dominio.
- El mínimo absoluto (también llamado mínimo global) de una función es el menor valor de salida de una función en todo su dominio.
- Una función puede tener
- tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto,
- un máximo absoluto o un mínimo absoluto, o
- ni un máximo absoluto ni un mínimo absoluto.
- El Teorema del Valor Extremo establece que una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado debe tener un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
- Estos extremos absolutos deben producirse en un punto crítico o en un punto final de la función.
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