Método de Euler: Conceptos, Aplicaciones

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Katherine Johnson, una de las primeras mujeres afroamericanas que trabajó como científica para la NASA, utilizó el Método de Euler en 1961 para capacitar el primer vuelo espacial humano de Estados Unidos. El Método de Euler permitió a Johnson calcular el momento en que la nave espacial debía frenar para iniciar su descenso a la atmósfera, ¡y dio como resultado un vuelo y un aterrizaje exitosos!

La fórmula del Método de Euler

Repaso de la aproximación lineal

La fórmula del Método de Euler debería resultarte familiar. Recuerda la fórmula de aproximación lineal (la encontrarás en el artículo Aproximaciones lineales y diferenciales) para f(x):

$f (x) \approx f (a) + f' (a) (x - a)$

donde f(x) es el valor de la función f en el punto x y a es un punto de valor inicial conocido.

Método de Euler aproximación lineal recta tangente visualización StudySmarter La recta tangente se forma a partir de un punto inicial (a, f(a)) y luego se utiliza la pendiente de la recta tangente para aproximar el valor de f(y); aquí, el punto (x, y) es la aproximación mientras que el punto (x, f(y)) es el valor real - StudySmarter Original

Fórmula del método de Euler

Análogamente, la fórmula general del Método de Euler para una ecuación diferencial de la forma $y' = f (x, y)$ . La única diferencia entre el método de Euler y la aproximación lineal es que el método de Euler utiliza múltiples iteraciones de aproximación para encontrar un valor más exacto. Con el método de Euler, utilizamos _x0 e _y0, que suelen darse como valores iniciales, para estimar la pendiente de la tangente en _x1. El resultado es el siguiente

$y_{i + 1} \approx y_{i} + h f (x_{i}, y_{i})$

donde $y_{i + 1}$ es la aproximación al valor de la solución siguiente, $y_{i}$ es el valor actual, $h$ es el intervalo entre pasos, y $f (x_{i}, y_{i})$ es el valor de la ecuación diferencial evaluada en $(x_{i}, y_{i})$ .

Desglosemos más esta fórmula.

Derivación del método de Euler

Considera la siguiente imagen.

Gráfico de aproximación del método de Euler StudySmarter Intuición de la Fórmula General del Método de Euler - StudySmarter Original

Con un punto inicial $(x_{0}, y_{0})$ podemos hallar una recta tangente con una pendiente de $f (x_{0}, y_{0})$ . Podemos utilizar estos valores para aproximarnos al punto $(x_{1}, y_{1})$ donde $x_{1} = x_{0} + h$ y $y_{1} \approx y_{0} + h f (x_{0}, y_{0})$ según la geometría básica de coordenadas. Esta operación puede realizarse tantas veces como sea necesario. Sin embargo, es importante mencionar que utilizar un tamaño de paso h más pequeño producirá una aproximación más precisa. Un tamaño de paso h mayor producirá una aproximación menos precisa.

Si _y1 es una buena aproximación, el método de Euler nos dará una buena estimación de la solución real. Sin embargo, si _y1 no es una buena aproximación, ¡la solución obtenida con este método tampoco será exacta!

Importancia del método de Euler

Las ecuaciones diferenciales se utilizan habitualmente para describir fenómenos del mundo natural, con aplicaciones que van desde la sencillez del movimiento de un coche hasta los modelos de trayectoria de las naves espaciales. Por desgracia, estas ecuaciones no pueden resolverse directamente dada su complejidad. Aquí es donde entran en juego el Método de Euler y otros algoritmos de aproximación de ecuaciones diferenciales. Podemos utilizar algoritmos de aproximación de ecuaciones diferenciales, como el Método de Euler, para encontrar una solución aproximada. ¡Una solución aproximada es mucho mejor que ninguna solución!

Limitaciones del método de Euler

Aunque el Método de Euler es un algoritmo sencillo y directo, es menos preciso que muchos algoritmos similares. Como ya se ha dicho, utilizar un tamaño de paso h más pequeño puede aumentar la precisión, pero requiere más iteraciones y, por tanto, un tiempo de cálculo irrazonablemente mayor. Por este motivo, el Método de Euler apenas se utiliza en la práctica. Sin embargo, el Método de Euler constituye una base para algoritmos de aproximación más precisos y útiles.

Ejemplos del método de Euler

Un método paso a paso

Considera la ecuación diferencial $\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \frac{y}{x}$ con un valor inicial de $y (3) = 1$ . Utiliza $h = 0.2$ para aproximar $y (4)$ .

Paso 1: Halla la pendiente de la recta tangente en el punto inicial

Para hallar la pendiente tangencial en $(3, 1)$ basta con introducirla en la ecuación diferencial para obtener

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 (\frac{1}{3}) = \frac{16}{3}$

Paso 2: Encontrar nuestro nuevo valor x

Para hallar nuestro siguiente valor x, añadimos h al valor x inicial para obtener

$x_{1} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$

Paso 3: Introduce nuestros valores para obtener nuestra nueva aproximación al valor y

Así pues, tenemos

Tamaño del paso, $h = 0.2 = \frac{1}{5}$
Valor y inicial, $y_{0} = 1$
La pendiente de la recta tangente al valor inicial, $f (x_{0}, y_{0}) = \frac{16}{3}$

Introduciendo todos nuestros valores, obtenemos

$\begin{array}{rcl} y_{1} & \approx & y_{0} + h \cdot f (x_{0}, y_{0}) \\ y_{1} & \approx & 1 + (\frac{1}{5}) (\frac{16}{3}) \\ \approx & 1 + \frac{16}{15} \\ \approx & \frac{31}{15} \end{array}$

Por tanto, la aproximación a la solución en $x = 3 + 0.2 = 3.2$ es $\frac{31}{15}$ o

$y (3.2) \approx \frac{31}{15}$

Paso 4: Repite el algoritmo tantas veces como sea necesario para obtener y(4)

Dado que nuestro tamaño de paso es 0,2, tendremos que repetir el algoritmo 4 veces más:

Utilizando $(\frac{16}{5}, \frac{31}{15})$ : $f (\frac{16}{5}, \frac{31}{15}) = 6 - 2 \frac{\frac{31}{15}}{\frac{16}{5}} = \frac{113}{24}, x_{2} = \frac{17}{5}, y_{2} \approx \frac{31}{15} + (\frac{1}{5}) (\frac{113}{24}) = \frac{361}{120}$
Usando $(\frac{17}{5}, \frac{361}{120})$ : $f (\frac{17}{5}, \frac{361}{120}) = 6 - 2 \frac{\frac{361}{120}}{\frac{17}{5}} = \frac{863}{204}, x_{3} = \frac{18}{5}, y_{3} \approx \frac{361}{120} + (\frac{1}{5}) (\frac{863}{204}) = \frac{2621}{680}$
Usando $f (\frac{18}{5}, \frac{2621}{680})$ : $f (\frac{18}{5}, \frac{2621}{680}) = 6 - 2 \frac{\frac{2621}{680}}{\frac{18}{5}} = \frac{4723}{1224}, x_{4} = \frac{19}{5}, y_{4} \approx \frac{2621}{680} + (\frac{1}{5}) (\frac{4723}{1224}) = \frac{3539}{765}$
Utilización $f (\frac{19}{5}, \frac{3539}{765})$ : $f (\frac{19}{5}, \frac{3539}{765}) = 6 - 2 \frac{\frac{3539}{765}}{\frac{19}{5}} = \frac{10364}{2907}, x_{5} = 4, y_{5} \approx \frac{3539}{765} + (\frac{1}{5}) (\frac{10364}{2907}) = \frac{913}{171}$

Finalmente, hemos obtenido nuestra aproximación a $y (4) \approx \frac{913}{171} \approx 5.339$ ¡!

Cuando resuelvas múltiples iteraciones del Método de Euler, ¡puede ser útil construir una tabla para cada uno de tus valores! En problemas iterativos como éste, las tablas pueden ayudar a organizar nuestros números.

Para este problema, una tabla podría tener el siguiente aspecto

(_xi, _yi)	dy/dx	h = 0.2	_xi+1	_yi+1
$(3, 1)$	$\frac{16}{3}$		$\frac{16}{5}$	$\frac{31}{15}$
$(\frac{16}{5}, \frac{31}{15})$	$\frac{113}{24}$		$\frac{17}{5}$	$\frac{361}{120}$
$(\frac{17}{5}, \frac{361}{120})$	$\frac{863}{204}$		$\frac{18}{5}$	$\frac{2621}{680}$
$(\frac{18}{5}, \frac{2621}{680})$	$\frac{4723}{1224}$		$\frac{19}{5}$	$\frac{3539}{765}$
$(\frac{19}{5}, \frac{3539}{765})$	$\frac{10364}{2907}$		$4$	$\frac{913}{171}$

Paso 5: Comprueba el error

Como este ejemplo concreto puede resolverse directamente, podemos comprobar el error global de nuestra respuesta.

La solución directa de la ecuación diferencial es $y = \frac{- 45}{x^{2}} + 2 x$ . Introduciendo x = 4, obtenemos

$\begin{array}{rcl} y & = & \frac{- 45}{16} + 8 \\ = & \frac{83}{16} \\ = & 5.1875 \end{array}$

Para comprobar el porcentaje de error, simplemente calculamos

$\begin{array}{rcl} % e r r o r & = & \frac{| e x a c t - a p p r o x i m a t i o n |}{e x a c t} \times 100 % \\ = & \frac{|\frac{83}{16} - \frac{913}{171}|}{\frac{83}{16}} \times 100 \\ \approx & 2.92 % \end{array}$

¡Nuestro error es relativamente bajo!

Utilizamos valores absolutos en el cálculo del porcentaje de error porque no nos importa si nuestra aproximación está por encima o por debajo del valor real, ¡sólo queremos saber a qué distancia está!

Por suerte para nosotros, todos los problemas del Método de Euler siguen el mismo sencillo algoritmo.

Método de Euler - Puntos clave

El Método de Euler es una herramienta de aproximación para resolver ecuaciones diferenciales basada en la aproximación lineal
La fórmula general del método de Euler es yi+1≈yi+h·f(xi, yi)donde
- $y_{i + 1}$ es la aproximación al valor de la solución siguiente
- $y_{i}$ es el valor actual
- $h$ es el intervalo entre pasos, y
- $f (x_{i}, y_{i})$ es el valor de la ecuación diferencial evaluada en $(x_{i}, y_{i})$
El método de Euler apenas se utiliza en aplicaciones reales, ya que el algoritmo suele tener poca precisión y requiere mucho tiempo de cálculo.

Tarjetas en Método de Euler 1

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Un valor de paso h mayor produce una aproximación precisa ____, mientras que un valor de paso h menor produce una aproximación precisa ____.

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Preguntas frecuentes sobre Método de Euler

¿Qué es el Método de Euler?

El Método de Euler es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando una aproximación secuencial de valores.

¿Cómo se aplica el Método de Euler?

Para aplicar el Método de Euler, se usa un punto inicial y un paso fijo para calcular aproximaciones sucesivas de la solución.

¿Cuáles son las ventajas del Método de Euler?

El Método de Euler es simple de implementar y útil para obtener una visión general de la solución de una ecuación diferencial.

¿Cuáles son las limitaciones del Método de Euler?

Las limitaciones incluyen baja precisión para pasos grandes y posibilidad de inestabilidades en soluciones complejas.

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