Método de Euler

La fórmula del Método de Euler

Repaso de la aproximación lineal

La fórmula del Método de Euler debería resultarte familiar. Recuerda la fórmula de aproximación lineal (la encontrarás en el artículo Aproximaciones lineales y diferenciales) para f(x):

$f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$

donde f(x) es el valor de la función f en el punto x y a es un punto de valor inicial conocido.

La recta tangente se forma a partir de un punto inicial (a, f(a)) y luego se utiliza la pendiente de la recta tangente para aproximar el valor de f(y); aquí, el punto (x, y) es la aproximación mientras que el punto (x, f(y)) es el valor real - StudySmarter Original

Fórmula del método de Euler

Análogamente, la fórmula general del Método de Euler para una ecuación diferencial de la forma $y\text{'}=f(x,y)$. La única diferencia entre el método de Euler y la aproximación lineal es que el método de Euler utiliza múltiples iteraciones de aproximación para encontrar un valor más exacto. Con el método de Euler, utilizamos _x0 e _y0, que suelen darse como valores iniciales, para estimar la pendiente de la tangente en _x1. El resultado es el siguiente

$y_{i+1}\approx y_i+hf(x_i,y_i)$

donde$y_{i+1}$es la aproximación al valor de la solución siguiente,$y_i$es el valor actual,$h$es el intervalo entre pasos, y $f(x_i,y_i)$ es el valor de la ecuación diferencial evaluada en $(x_i,y_i)$.

Desglosemos más esta fórmula.

Derivación del método de Euler

Considera la siguiente imagen.

Intuición de la Fórmula General del Método de Euler - StudySmarter Original

Con un punto inicial $(x_0,y_0)$podemos hallar una recta tangente con una pendiente de $f(x_0,y_0)$. Podemos utilizar estos valores para aproximarnos al punto $(x_1,y_1)$ donde $x_1=x_0+h$ y$y_1\approx y_0+hf(x_0,y_0)$ según la geometría básica de coordenadas. Esta operación puede realizarse tantas veces como sea necesario. Sin embargo, es importante mencionar que utilizar un tamaño de paso h más pequeño producirá una aproximación más precisa. Un tamaño de paso h mayor producirá una aproximación menos precisa.

Importancia del método de Euler

Las ecuaciones diferenciales se utilizan habitualmente para describir fenómenos del mundo natural, con aplicaciones que van desde la sencillez del movimiento de un coche hasta los modelos de trayectoria de las naves espaciales. Por desgracia, estas ecuaciones no pueden resolverse directamente dada su complejidad. Aquí es donde entran en juego el Método de Euler y otros algoritmos de aproximación de ecuaciones diferenciales. Podemos utilizar algoritmos de aproximación de ecuaciones diferenciales, como el Método de Euler, para encontrar una solución aproximada. ¡Una solución aproximada es mucho mejor que ninguna solución!

Limitaciones del método de Euler

Aunque el Método de Euler es un algoritmo sencillo y directo, es menos preciso que muchos algoritmos similares. Como ya se ha dicho, utilizar un tamaño de paso h más pequeño puede aumentar la precisión, pero requiere más iteraciones y, por tanto, un tiempo de cálculo irrazonablemente mayor. Por este motivo, el Método de Euler apenas se utiliza en la práctica. Sin embargo, el Método de Euler constituye una base para algoritmos de aproximación más precisos y útiles.

Ejemplos del método de Euler

Un método paso a paso

Por suerte para nosotros, todos los problemas del Método de Euler siguen el mismo sencillo algoritmo.