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Una forma de hallar el área del donut sería verlo como un círculo dentro de otro círculo. Así puedes hallar el área del círculo más pequeño y restarla del área del círculo más grande.
¡Puedes utilizar una idea similar para hallar el volumen de un sólido de revolución! Mediante una sencilla generalización del método del disco, puedes eliminar una parte del disco para hallar el volumen de un sólido hueco de revolución.
Definición del método de la arandela
El método de la arandela es un método de integración que divide un sólido de revolución en una serie de arandelas tridimensionales o rosquillas planas. El volumen de cada arandela se suma para hallar el volumen total del sólido.
El método de las arandelas es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución que se forma girando una región que no está limitada por el eje de rotación.
Normalmente, se rota la región limitada entre dos curvas. Como en el método del disco, la integración es paralela al eje de rotación.
Este método es una modificación del método del disco para sólidos que son huecos en cierto modo. Se llama "método de la arandela" porque las secciones transversales parecen arandelas.
Figura 1. Sección transversal de una arandela vista desde arriba
El método de la arandela es especialmente útil para hallar el volumen de un sólido de revolución cuando el eje de rotación no limita la región giratoria. Como el eje de revolución no es un límite de la región que gira, el sólido de revolución resultante es hueco.
El método de la arandela y el cálculo
Para comprender mejor el método de la arandela, observa la siguiente imagen.
La sección transversal de una arandela está formada por dos círculos concéntricos. Para hallar el área de esta sección transversal, \( A_\text{arandela} \), tienes que restar el área del círculo menor del área del círculo mayor, es decir
\[ \begin{align} A_{\text{washer}} &= \pi R^2 - \pi r^2 \\pi (R^2-r^2), \end{align}]
donde \( R \) es el radio del círculo mayor, y \( r \) es el radio del círculo menor.
Para hallar el volumen de la arandela, \( V_\text{arandela} \), multiplica el área de la sección transversal anterior por su grosor, de modo que
\[ V_{text{washer}} = \pi (R^2-r^2) \, \Delta x, \]
donde \( \Delta x \) es el grosor de la arandela.
Ahora que has hallado el volumen de una arandela individual, el siguiente paso es sumar los volúmenes de todas las arandelas.
Para obtener el volumen exacto del sólido hay que hacer algunas consideraciones. En primer lugar, supongamos que el sólido de revolución se obtiene girando el área delimitada entre \( f(x) \) y \( g(x),\) donde \( |f(x)| > |g(x)|.\)
Tanto el radio grande como el pequeño de la sección transversal de una arandela se convierten en funciones, por lo que \(R\) se convierte en \( f(x) \) y \( r \) se convierte en \( g(x).\)
Las arandelas se vuelven muy finas, así que \( \Delta x \) se convierte en \( \mathrm{d}x.\)
En lugar de sumar todas las arandelas, integras, lo que significa suma, \( \Sigma, \) se convierte en integración, \( \int.\)
Puedes averiguar qué función representa los círculos interiores observando qué función está más cerca del eje \(x-\)-.
Como las arandelas son muy finas, su longitud se convierte en una diferencial. Estas diferenciales se suman mediante integración. ¡Aquí es donde entra en juego el cálculo!
Puedes obtener la fórmula para hallar el volumen de un sólido de revolución obtenido con el método de la arandela siguiendo las consideraciones anteriores.
Fórmula del método de la arandela
Supongamos que la región delimitada por dos funciones, \( f(x) \) y \( g(x),\) gira alrededor del eje \(x-\)en un intervalo \( [a,b]. \) La fórmula para hallar el volumen del sólido de revolución con el método de la arandela es
\[V=\int_a^{b} \pi \left[ \left( f(x) \right) ^2 - \left( g(x) \right)^2 \right] \mathrm{d}x, \].
donde \( |f(x)| > |g(x)| \) en el intervalo de integración.
Si la revolución se hace alrededor del eje \(y-\)entonces la fórmula se adapta como
\[ V =\int_a^b \pi \left[ \left( f(y) \right) ^2 - \left( g(y) \right) ^2 \right] \, \mathrm{d}y. \]
En este caso, \( g(y) \) es la función que está más cerca del eje \( y-\)y.
Puedes utilizar las propiedades de las integrales para escribir las fórmulas anteriores como
\[ V = \int_a^b \pi \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x - \int_a^b \pi \left[ g(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x, \]
y
\[ V = \int_a^b \pi \left[ f(y) \right]^2 \i, \mathrm{d}y - \int_a^b \pi \left[ g(y) \right]^2 \i, \mathrm{d}y, \i].
Esencialmente haciendo las fórmulas como si hicieras el método del disco para dos funciones, y luego restaras el volumen interior del volumen exterior.
Pasos para el cálculo por el método de la arandela
Aunque el método de la arandela se basa en el método del disco, es algo más complicado. Estos son los pasos generales que debes seguir para obtener el volumen de un sólido mediante el método del disco.
Paso 1: Representar gráficamente la región
Para asegurarte de que estás visualizando la región correctamente, grafícala mientras identificas el eje de rotación. Esto te ayudará en el siguiente paso.
Paso 2: Halla los radios exterior e interior
A continuación, tienes que averiguar qué función corresponde al radio exterior y cuál al radio interior. Los radios se determinan en función de la distancia entre las funciones y el eje de rotación, de modo que la función que esté más cerca del eje debe ser el radio interior, \( r(x),\) y la otra debe ser el radio exterior, \( R(x).\)
Esto significa que el radio exterior será la función que sea mayor en valor absoluto, lo que significa que \( |R(x)| > |r(x)|.\) El valor absoluto sólo sirve para identificar qué función es cuál. No es necesario calcular realmente el valor absoluto en la integración.
Paso 3: Utiliza la fórmula del método de la arandela
Sólo te queda introducir los límites, los dos radios, y te queda una integral definida que puedes resolver utilizando cualquier método de tu elección.
Ejemplos del método de la arandela
Aquí tienes algunos ejemplos del método de la arandela para hallar el volumen de sólidos de revolución.
Considera las funciones
\[ f(x) = -x^2 + 3 \cuadrado \text{para} \cuadrado 0 \leq x \leq 1,\]
y
\g(x) = -x^2 + 2 cuadrado texto para cuadrado 0 cuadrado x cuadrado 1].
Halla el volumen del sólido de revolución obtenido al girar el área limitada entre las dos curvas a lo largo del eje \(x-\)-.
Contesta:
1. Grafica la región.
Empieza por representar gráficamente las dos funciones. \( f(x) \) es una parábola con vértice en \( (0,3) \) y \( g(x) \) es una parábola con vértice en \( (0,2).\) Ambas parábolas se abren hacia abajo.
Figura 4. Gráfica de las parábolas en el intervalo dado
El sólido de revolución se obtendrá por rotación de la siguiente zona delimitada entre ambas curvas.
Figura 5. Área delimitada entre las dos parábolas
El sólido resultante tiene el siguiente aspecto.
Figura 6. Sólido obtenido al rotar la región anterior alrededor del eje \(x-\)^.
2. Halla los radios exterior e interior.
Observa que \( f(x) \) está por encima de \( g(x) \) en el intervalo dado, por lo que \(f(x)=R\) y \( g(x)=r.\)
3. Utiliza la fórmula del método de la arandela.
Tendrás que elevar al cuadrado ambas funciones, así
\[ \begin{align} R^2 &= ( f(x) )^2 \\ \\ &= (-x^2+3)^2 \\ \\ &= x^4-6x^2+9 \end{align} \]
y
\r^2 &=( g(x) )^2 \N-(-x^2+2)^2 \N-(-x^2+2)^2 \N-(-x^2+2)\N-(-x^2+2) &= x^4-4x^2+4. \fin \]
A continuación, restas el cuadrado de la función del radio interior, \( r^2,\) del cuadrado de la función del radio exterior, \( R^2,\) es decir
\[ \begin{align} R^2-r^2 &= \ izquierda( x^4-6x^2+9 \ derecha) - \ izquierda( x^4-4x^2+4\ derecha) \ izquierda( x^4-4x^2+4\ derecha) &= -2x^2+5. \end{align}\]
De este modo puedes utilizar la fórmula del método de la arandela, así
\[ \inicio{align} V &= \int_a^b \pi \left( R^2-r^2 \right) \i, \mathrm{d}x \i &= \int_0^2 \pi (-2x^2+5) \i, \mathrm{d}x \i &= \pi \int_0^1 (-2x^2+5) \i, \mathrm{d}x. \fin \]
Puedes evaluar la integral definida resultante hallando primero la integral indefinida mediante la regla de potencias, es decir
\[ \int (-2x^2+5) \, \mathrm{d}x = -\frac{2}{3}x^3+5x,\]
y luego utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo, que te dará
\[ \begin{align} \int_0^1 (-2x^2+5) \, \mathrm{d}x &= \left( -\frac{2}{3}(1)^3+5(1) \right) - \left( -\frac{2}{3}(0)^3+5(0)\right) \\\\ {y:} &= \frac{13}{3}. \end{align}\]
Por último, multiplicas la integral definida anterior por \( \pi, \) obteniendo el volumen del sólido, es decir
\[ V= \frac{13\pi}{3}.\]
¿Qué te parece una función exponencial?
Considera las funciones
\[ p(x) = e^x \text{para} \quad 0 \leq x \leq 2 \]
y
\q(x) = 1 cuadrado para cuadrado 0 cuadrado x cuadrado 2].
Halla el volumen del sólido de revolución obtenido al girar el área delimitada entre las dos curvas a lo largo del eje \(x-\).
Contesta:
1. Haz la gráfica de la región.
Una vez más, tienes que representar gráficamente las funciones dadas. Para \( p(x),\) observa que es una función exponencial, y \( q(x) \) es una función constante, por lo que es una recta horizontal.
Figura 7. Gráfica de la exponencial y la función constante
De este modo, la región a girar viene dada de la siguiente manera.
Figura 8. Área límite entre las dos funciones
Y el sólido de revolución se muestra en la siguiente figura.
Figura 9. Sólido obtenido de la rotación de la región anterior alrededor del eje \(x-\)^.
2. Halla los radios exterior e interior.
De la gráfica anterior puedes observar que \( q(x) \) está más cerca del eje \(x-\)en el intervalo dado, por lo que \( q(x)=r.\) La función restante es entonces \( p(x)=R.\)
3. Utiliza la fórmula del método de la arandela.
Tendrás que tomar la diferencia de los cuadrados de ambas funciones, así que primero eleva al cuadrado \(R,\) obteniendo
\[ \begin{align} R^2 &= (e^x)^2 \\\\= e^{2x}. \end{align}]
El cuadrado de la función constante 1 su justo
\[ \begin{align} r^2 &=1^2 \\\=1, \end{align}\]
de este modo, la diferencia de los cuadrados se convierte en
\R^2-r^2=e^{2x}-1.]
Ahora puedes introducir la expresión anterior en la fórmula del método de la lavadora, es decir
\[ \int_a^b \pi (R^2-r^2)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 \pi \left( e^{2x}-1 \right) \, \mathrm{d}x.\]
Para evaluar la integral definida, empieza por hallar la integral indefinida
\[ \int (e^{2x}-1) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^{2x}-x,\]
y luego utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar ambos extremos, es decir
\[ \begin{align} \¾int_0^2 (e^{2x}-1)¾,¾mathrm{d}x &= ¾ izquierda(¾frac{1}{2}e^{2(2)}-2¾ derecha) - ¾ izquierda( ¾frac{1}{2}e^{2(0)}-0¾ derecha) ¾ &= izquierda( \frac{1}{2}e^4-2\derecha) - izquierda(\frac{1}{2}\derecha) \frac{1}{2}e^4-\frac{5}{2} \\ χ χ &= χfrac{1}{2}(e^4-5) .χend{align}]
Por último, multiplicando por \(\pi\) el resultado anterior, se obtiene el volumen del sólido, así
\[ V = \frac{\pi}{2}(e^4-5).\]
Observa que los sólidos de revolución son huecos en ambos ejemplos.
Método de la arandela - Puntos clave
- El método de la arandela es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución cuando la región a rotar no está limitada por el eje de rotación.
- Es una modificación del Método del Disco para sólidos con un agujero en el centro
- Se llama "método de la arandela" porque las secciones transversales parecen arandelas
- La fórmuladel método de la arandela es
\[V=\int_a^{b}(R^{2}-r^{2})dx\]
donde \(R\) es el radio exterior del sólido y \(r\) es el radio interior del sólido
Si una región gira alrededor del eje \(x\)-o de cualquier otra línea horizontal, entonces los cortes son verticales - debemos integrar con respecto a \(x\)
Si una región gira alrededor del eje \(y\) o de cualquier otra línea vertical, los cortes son horizontales - debemos integrar con respecto a \(y\)
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