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Desplazamiento, velocidad, aceleración. Tres atributos clave de las partículas en movimiento con los que sin duda estás familiarizado. Pero, ¿qué los une? ¿Cómo se relacionan matemáticamente? La respuesta es el cálculo.
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Equipo de profesores de Modelado de movimiento de partículas
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Enviar comentarios¿Qué es exactamente modelizar el movimiento de las partículas?
Modelizar el movimiento deuna partícul a es el proceso de describir el movimiento de un objeto discreto o "partícula" utilizando lenguaje matemático.
Esto puede hacerse de varias formas, como con ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia, pero en matemáticas AP se hará utilizando funciones del tiempo.
Al modelizar el movimiento de una partícula en función del tiempo, debes considerar las dos variables de la función: la variable dependiente y la variable independiente.
El tiempo es siempre la variable independiente, pero ¿cuál es la variable dependiente?
Bueno, eso depende de qué parte del movimiento de la partícula estés modelando: posición, desplazamiento, velocidad o aceleración. ¿Qué aspecto podría tener el desplazamiento de una partícula en función del tiempo? Pues...
\[s(t) = t^3 + 2t^2 + t + 3\]
¿Y su velocidad?
\[v(t) = 3t^2 + 4t + 1 \]
¿Y su aceleración?
\[a(t) = 6t + 4\]
Estos ejemplos son polinomios, pero cualquier función continua del tiempo podría modelizar el movimiento de una partícula.
Utilizando estas funciones, puedes calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula en cualquier momento del tiempo.
Por ejemplo, ¿cuál es el desplazamiento de la partícula en \(3\) segundos? Pues...
\[ \begin{align} s(t) &= t^3 + 2t^2 + t + 3 \\\\ s(3) &= 3^3 + 2\cdot 3^2 + 3 + 3 \\\\ &= 27 + 18 + 6 \\\\ &= 51 \,m \end{align} \]
Para comprender plenamente el modelado del movimiento de las partículas, puede ser útil visualizarlo con diagramas. Al modelizar el movimiento de una partícula en función del tiempo en matemáticas AP, generalmente la partícula se mueve a lo largo de una línea recta, por lo que puede ser como una recta numérica.
El desplazamiento de la partícula se define como su distancia desde algún punto \(0\) especificado. El desplazamiento de la partícula es un valor vectorial, lo que significa que tiene tamaño y dirección.
El diagrama siguiente muestra cómo medir la posición de una partícula a lo largo de una recta numérica. La posición de la partícula se mide a partir de un punto \(0\) determinado.
Fig. 1. Posición de la partícula .
Eldesplazamiento es similar a la posición, pero sutilmente diferente. El desplazamiento describe dónde se encuentra la partícula respecto a su posición inicial. Podemos hallar el desplazamiento restando la posición inicial de la posición actual. Si la posición inicial de la partícula es cero, el desplazamiento y la posición son equivalentes.
Por ejemplo, si la posición inicial es \(-1\), y la posición actual es \(2\), entonces el desplazamiento es
\[s = 2 - (-1) = 3\]
Fig. 2. Desplazamiento de una partícula.
La velocidad de una partícula es la tasa de cambio de su desplazamiento/posición. En otras palabras, la rapidez con la que cambia el desplazamiento/posición de la partícula. Si una partícula tiene una velocidad positiva, se está moviendo en la dirección positiva de la recta numérica (hacia la derecha), si tiene una velocidad negativa se está moviendo en la dirección negativa de la recta numérica (hacia la izquierda).
Fig. 3. Velocidad de una partícula.
La aceleración de una partícula es la tasa de cambio de su velocidad. En otras palabras, la rapidez con la que cambia su velocidad. Si una partícula tiene una aceleración positiva, su velocidad aumenta en sentido positivo, y si una partícula tiene una aceleración negativa, su velocidad aumenta en sentido negativo.
Fig. 4. Aceleración de una partícula.
¡Es importante recordar que la aceleración y la velocidad de una partícula no tienen necesariamente la misma dirección!
Derecha-positivo izquierda-negativo no es una regla rígida, es sólo una práctica aceptada conocida como convención. Los escenarios individuales pueden establecer su propia convención. Pero si la pregunta no lo especifica, debes suponer que la dirección positiva va hacia la derecha. Si la línea de movimiento de la partícula es vertical, entonces la dirección positiva es hacia arriba.
La definición de velocidad es el cambio de desplazamiento o posición con respecto al tiempo, es decir, es el índice de cambio de desplazamiento o posición.
La definición de aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, el índice de variación de la velocidad.
¿Tienes idea de cómo relaciona el cálculo estas propiedades?
Pues bien, la forma de hallar la tasa de cambio de una partícula, es simplemente hallar su derivada respecto al tiempo. es decir
\[Desplazamiento \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Velocidad \xrightarrow{\frac{d}{dt} Aceleración\]
Sí, así es, ¡la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, y la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo!
Esto también significa que el desplazamiento es la integral de la velocidad respecto al tiempo, y la velocidad es la integral de la aceleración respecto al tiempo.
\[Desplazamiento \xleftarrow{\int dt + x_0} Velocidad \xleftarrow{\int dt + v_0} Aceleración\]
Al integrar la aceleración, la constante de integración es la velocidad inicial. Al integrar la velocidad, la constante de integración es la posición inicial.
Veamos un par de ejemplos.
(1 ) El desplazamiento de una partícula en el tiempo se modela como
\[x(t) = t^2 + t\]
Halla la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo.
Solución:
La velocidad de la partícula es la derivada de su desplazamiento respecto al tiempo. Por tanto
\[v(t) = 2t + 1 \]
La aceleración de la partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo. Por tanto
\[a(t) = 2\]
(2) La aceleración de una partícula en el tiempo se modela como
\[a(t) = t \]
Halla la velocidad y el desplazamiento de la partícula en función del tiempo, dadas las condiciones iniciales \(v_0 = 1 \,m/s\) y \(x_0 = 2 \, m \).
Solución:
La velocidad de la partícula es la integral de su aceleración respecto al tiempo. Por tanto,
\[\in{align} v(t) &= \int a(t) \, dt + C \\\\ &= \int t \, dt + v_0 \\\\ &= \frac{1}{2} t^2 + 1 \end{align} \]
El desplazamiento de la partícula es la integral de su velocidad respecto al tiempo. Por tanto
\[\begin{align} s(t) &= \int v(t) \, dt + C \\\\ &= \int \frac{1}{2}t^2 + 1 \, dt + x_0 \\\\ &= \frac{1}{6} t^3 + t + 2 \end{align} \]
Veamos algunos ejemplos más de Modelado del movimiento de partículas.
(1 ) El desplazamiento rectilíneo de una partícula, en metros, puede modelizarse con el siguiente polinomio.
\[s(t) = x^2 + 2x + 3\]
(a) ¿Cuál es la función de la velocidad de la partícula en función del tiempo?
(b) ¿Cuál es la aceleración de la partícula?
(c ) ¿La velocidad de la partícula aumenta o disminuye?
Solución:
(a) La velocidad de la partícula no es más que la derivada de su desplazamiento respecto al tiempo.
\[\begin{align} v(t) &= \frac{d s}{dt} \\\\ v(t) &= 2x + 2 \end{align} \]
(b) La aceleración de la partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo.
\[\in{align} a(t) &= \frac{dv}{dt} \\\\ a(t) &= 2 \end{align}\]
(c ) La velocidad de la partícula aumenta al tener una aceleración positiva.
(2 ) La aceleración en línea recta de una partícula, en metros, puede modelarse con el siguiente polinomio.
\[ a(t) = 4t + 7 \]
La partícula tiene unas condiciones iniciales \(x_0=2\,m\) y \(v_0=3\,m/s\)
(a) ¿Cuál es la función de la velocidad de la partícula en función del tiempo?
(b) ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula en el tiempo \(t = 4\,s\)
Solución:
(a) La velocidad de la partícula no es más que la integral de su aceleración respecto al tiempo.
\[ \begin{align} v(t) &= \int a(t)\,dt+C \\\\ &= \int 4t+7\,dt + v_0 \\\\ &= 2t^2 + 7t + 3 \end{align}\]
(b ) El desplazamiento de la partícula no es más que la integral de su velocidad respecto al tiempo.
\[ \begin{align} s(t) &= \int v(t)\,dt + C \\\\ &= \int 2t^2 + 7t + 3 \,dt + x_0 \\\\ &= \frac{2}{3}t^3 + \frac{7}{2}t^2 + 3t + 2 \end{align}\]
(3 ) La velocidad de una partícula en \(m/s\) se modela como la siguiente función del tiempo.
\[v(t) = t^2 -3t + 4\]
¿Qué distancia recorre la partícula durante el intervalo de tiempo \(t=2\,s\) a \(t=4\,s\)?
Solución:
Para hallar el desplazamiento de la partícula a lo largo del intervalo, halla la integral definida respecto al tiempo de la velocidad a lo largo de dicho intervalo.
\[\begin{align} s &= \int_2^4 v(t)\,dt \\\\ &= \int_2^4 t^2 -3t + 4 \,dt \\\\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 4t \right]_2^4 \\\\ &= \left( \frac{1}{3}4^3 - \frac{3}{2}4^2 + 4\cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{3}2^3 - \frac{3}{2}2^2 + 4\cdot2\right) \\\\ &= 8.67\, m \end{align} \]
(4) La siguiente gráfica muestra la velocidad de una partícula a lo largo del tiempo. Su posición inicial es \(x = 2\,m\).
Fig. 5. Gráfica de la velocidad de la partícula en el tiempo.
(a) ¿Cuál es el desplazamiento total de la partícula después de \(6\,s\)?
(b) ¿Cuál es la posición de la partícula después de \(4\,s\)?
Solución:
(a) El desplazamiento de la velocidad es su integral respecto al tiempo, desgraciadamente, la pregunta no proporciona la velocidad como una función en función del tiempo que pueda integrarse.Al calcular una integral definida, ¿qué magnitud física se está resolviendo? La respuesta es el área bajo la gráfica dentro del intervalo dado.
En este caso, el intervalo es de \(0\,s\) a \(6\,s\). Por tanto, hallar el desplazamiento es un simple caso de hallar el área bajo la gráfica entre estos dos puntos en el tiempo.
\A &= 2\cdot A &= 2\cdot 2 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \\\\ &= 4 + 6 + 2 \\\\ &= 12 \end{align}\}]
Por tanto, el desplazamiento total de la partícula es \(12\,m\).
(b) De forma análoga a la parte (a), el área bajo la gráfica en el intervalo \(0\,s\) a \(4\,s\) es el desplazamiento de la partícula.
\[\begin{align} A &= 2\cdot 2 + 3 \cdot 2 \\\\ &= 4 + 6 \\\\ &= 10 \end{align}\}]
Por tanto, el desplazamiento de la partícula es \(10\,m\).
Dado que la partícula comienza en la posición \(x=2\,m\), su posición en \(4\,s\) es
\[\iniciar{alinear} x&=s-x_0 \\\\ &= 10-2 \\\\ &=8 \,m \final{alinear} \]
\[Desplazamiento \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Velocidad \xrightarrow{\frac{d}{dt} Aceleración]
El desplazamiento es la integral de la velocidad con respecto al tiempo, y la velocidad es la integral de la aceleración con respecto al tiempo.
\[Desplazamiento \xleftarrow{\int dt + x_0} Velocidad \xleftarrow{\int dt + v_0} Aceleración\]
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