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Supón que estás plantando un huerto lleno de frutas, verduras y flores. Sin embargo, observas agujeros y marcas de mordeduras de hojas en tus plantas. Está claro que tienes una plaga. La respuesta obvia para librar tu jardín de las plagas es utilizar pesticidas. Sin embargo, reconoces los peligros para el medio ambiente y los seres humanos asociados a los pesticidas. Sabes que debes limitar al máximo el uso de pesticidas nocivos. Podrías plantearte utilizar un modelo de población para establecer un umbral de plagas. Si la población de plagas aumenta por encima de tu umbral, sabrás que debes actuar con plaguicidas. Predecir cuándo aumentará la población de plagas por encima de tu umbral teayudaría a minimizar proactivamente los daños de las plagas en tu jardín.
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Enviar comentariosEn general, los ecólogos y expertos en población utilizan modelos de cambio de población para describir la población y predecir cómo cambiará.
En Cálculo AP, trabajarás principalmente con dos modelos de cambio de población: exponencial y logístico.
En Cálculo AP, trabajarás principalmente con dos modelos de cambio de población: exponencial y logístico.
Las principales diferencias entre ambos modelos son
El crecimiento exponencial tiene forma de J, mientras que el crecimiento logístico es sigmoide (forma de S)
El crecimiento exponencial depende exclusivamente del tamaño de la población, mientras que el crecimiento logístico depende del tamaño de la población, la competencia y el número de recursos
El crecimiento exponencial es aplicable a una población que no tiene limitaciones para crecer, mientras que el crecimiento logístico es más aplicable en el sentido de que se aplica a cualquier población con capacidad de carga
En los siguientes apartados, aprenderás más sobre los dos modelos en profundidad.
El crecimientoexponencial describe un patrón particular de datos que aumenta cada vez más con el tiempo. Elgráfico de los datos refleja una función exponencial y crea una forma de J.
El crecimiento exponencial del tiempo frente al tamaño de la población es una función en forma de J - StudySmarter Originals
En lo que respecta al cambio demográfico, el crecimiento exponencial se produce cuando la población dispone de una cantidad infinita de recursos. Considera nuestro ejemplo del jardín. La población de plagas crecerá exponencialmente si no hay límites a la cantidad de comida que las plagas pueden comer de tu jardín infinitamente enorme.
Actualmente, la población humana crece a un ritmo exponencial. Sin embargo, la Tierra no tiene una cantidad infinita de recursos. Los científicos plantean la hipótesis de que acabaremos alcanzando una "capacidad de carga", de la que hablaremos en la próxima sección.
La fórmula del crecimiento exponencial es
donde es una constante determinada por la población inicial es la constante de crecimiento y es mayor que 0, y es el tiempo.
Para más detalles sobre el crecimiento exponencial, consulta nuestro artículo sobre Crecimiento exponencial y decaimiento
Elcrecimiento logístico describe un patrón de datos cuya tasa de crecimiento se hace cada vez más pequeña a medida que la población se acerca a un cierto máximo, a menudo denominado capacidad de carga. La gráfica del crecimiento logístico es una curva sigmoidea.
El crecimiento logístico del tiempo frente al tamaño de la población es una función sigmoidea (en forma de S) - StudySmarter Originals
Con respecto al cambio de población, el crecimiento logístico se produce cuando hay recursos limitados disponibles o cuando hay competencia entre animales. La población de plagas crecerá hasta que introduzcamos pesticidas. La capacidad de carga permite que nuestro jardín prospere asegurando que la población de plagas no crezca demasiado y limitando al mismo tiempo nuestro uso de pesticidas tóxicos.
La fórmula del crecimiento logístico es
donde es la capacidad de carga, es una constante determinada por la población inicial es la constante de crecimiento, y es el tiempo. Todos los valores son positivos.
Para más detalles sobre el crecimiento logístico de la población, consulta nuestro artículo sobre La ecuación diferencial logística
La tasa de variación de una función de crecimiento exponencial puede modelizarse mediante la ecuación diferencial
La tasa de variación de una función de crecimiento logístico puede modelizarse mediante la ecuación diferencial
El ritmo de cambio de un cultivo de bacterias es proporcional a la propia población. Cuando hay 100 bacterias. Dos minutos después, a hay 300 bacterias. ¿Cuántas bacterias hay a los 4 minutos?
En este problema no se nos indica ningún posible límite de capacidad de carga, y la tasa de crecimiento es proporcional a la población de bacterias, por lo que es seguro suponer que estas bacterias seguirán un modelo de crecimiento exponencial.
Como la población sigue un modelo de crecimiento exponencial, sabemos que la población puede modelizarse mediante
Para hallar podemos introducir nuestra condición inicial (0, 100).
Para hallar podemos introducir la segunda condición (2, 300).
Por tanto, a los 4 minutos, la población de bacterias es de 900.
Una población de conejos tiene una tasa de variación de
donde t es una medida en años.
A partir de la definición de la forma diferencial del modelo de crecimiento logístico, sabemos que , y en , .
Podemos utilizar la multiplicación cruzada para resolver .
Introduciendo y a
Ahora podemos introducir y .
Al cabo de 4 años, la población de conejos será de unos 117. Al cabo de 10 años, la población de conejos será de unos 146.
Por tanto, la población de conejos tardará unos 55,5 años en alcanzar una población de 400.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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