Modelos de Crecimiento Poblacional: 'Lineales', 'Exponenciales'

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En general, los ecólogos y expertos en población utilizan modelos de cambio de población para describir la población y predecir cómo cambiará.

En Cálculo AP, trabajarás principalmente con dos modelos de cambio de población: exponencial y logístico.

Modelos de crecimiento de la población en Cálculo

En Cálculo AP, trabajarás principalmente con dos modelos de cambio de población: exponencial y logístico.

Las principales diferencias entre ambos modelos son

El crecimiento exponencial tiene forma de J, mientras que el crecimiento logístico es sigmoide (forma de S)
El crecimiento exponencial depende exclusivamente del tamaño de la población, mientras que el crecimiento logístico depende del tamaño de la población, la competencia y el número de recursos
El crecimiento exponencial es aplicable a una población que no tiene limitaciones para crecer, mientras que el crecimiento logístico es más aplicable en el sentido de que se aplica a cualquier población con capacidad de carga

En los siguientes apartados, aprenderás más sobre los dos modelos en profundidad.

El modelo exponencial de crecimiento de la población

El crecimientoexponencial describe un patrón particular de datos que aumenta cada vez más con el tiempo. Elgráfico de los datos refleja una función exponencial y crea una forma de J.

Modelos de crecimiento demográfico ejemplo de gráfico crecimiento exponencial StudySmarter El crecimiento exponencial del tiempo frente al tamaño de la población es una función en forma de J - StudySmarter Originals

En lo que respecta al cambio demográfico, el crecimiento exponencial se produce cuando la población dispone de una cantidad infinita de recursos. Considera nuestro ejemplo del jardín. La población de plagas crecerá exponencialmente si no hay límites a la cantidad de comida que las plagas pueden comer de tu jardín infinitamente enorme.

Actualmente, la población humana crece a un ritmo exponencial. Sin embargo, la Tierra no tiene una cantidad infinita de recursos. Los científicos plantean la hipótesis de que acabaremos alcanzando una "capacidad de carga", de la que hablaremos en la próxima sección.

La fórmula del crecimiento exponencial es

$P = C e^{k t}$

donde $C$ es una constante determinada por la población inicial $k$ es la constante de crecimiento y es mayor que 0, y $t$ es el tiempo.

Para más detalles sobre el crecimiento exponencial, consulta nuestro artículo sobre Crecimiento exponencial y decaimiento

El modelo logístico para el crecimiento de la población

Elcrecimiento logístico describe un patrón de datos cuya tasa de crecimiento se hace cada vez más pequeña a medida que la población se acerca a un cierto máximo, a menudo denominado capacidad de carga. La gráfica del crecimiento logístico es una curva sigmoidea.

Modelos de crecimiento demográfico ejemplo de gráfico de crecimiento logístico StudySmarter El crecimiento logístico del tiempo frente al tamaño de la población es una función sigmoidea (en forma de S) - StudySmarter Originals

Con respecto al cambio de población, el crecimiento logístico se produce cuando hay recursos limitados disponibles o cuando hay competencia entre animales. La población de plagas crecerá hasta que introduzcamos pesticidas. La capacidad de carga permite que nuestro jardín prospere asegurando que la población de plagas no crezca demasiado y limitando al mismo tiempo nuestro uso de pesticidas tóxicos.

La fórmula del crecimiento logístico es

$N = \frac{M C}{C + e^{- k t}}$

donde $M$ es la capacidad de carga, $C$ es una constante determinada por la población inicial $k$ es la constante de crecimiento, y $t$ es el tiempo. Todos los valores son positivos.

Para más detalles sobre el crecimiento logístico de la población, consulta nuestro artículo sobre La ecuación diferencial logística

Modelos de fórmulas de crecimiento de la población

Crecimiento exponencial

La tasa de variación de una función de crecimiento exponencial $P$ puede modelizarse mediante la ecuación diferencial

$\frac{d P}{d t} = k P$

Crecimiento y decrecimiento logístico

La tasa de variación de una función de crecimiento logístico $N$ puede modelizarse mediante la ecuación diferencial

$\frac{d N}{d t} = k N (1 - \frac{N}{M})$

Ejemplos de modelo de crecimiento de la población

Ejemplo 1

El ritmo de cambio de un cultivo de bacterias es proporcional a la propia población. Cuando $t = 0$ hay 100 bacterias. Dos minutos después, a $t = 2$ hay 300 bacterias. ¿Cuántas bacterias hay a los 4 minutos?

Paso 1: Decide qué modelo sigue el crecimiento de la población

En este problema no se nos indica ningún posible límite de capacidad de carga, y la tasa de crecimiento es proporcional a la población de bacterias, por lo que es seguro suponer que estas bacterias seguirán un modelo de crecimiento exponencial.

Paso 2: Utiliza la condición inicial para hallar C

Como la población sigue un modelo de crecimiento exponencial, sabemos que la población $P$ puede modelizarse mediante

$P = C e^{k t}$

Para hallar $C$ podemos introducir nuestra condición inicial (0, 100).

$100 = C e^{(0) k} 100 = C (1) 100 = C$

Paso 3: Utiliza la segunda condición para hallar la tasa de crecimiento k

Para hallar $k$ podemos introducir la segunda condición (2, 300).

$300 = 100 e^{2 k} 3 = e^{2 k} \ln (3) = 2 k \frac{\ln (3)}{2} = k$

Paso 4: Introduce t = 4 para hallar la población

$P (4) = 100 e^{\frac{\ln (3)}{2} (4)} P (4) = 900$

Por tanto, a los 4 minutos, la población de bacterias es de 900.

Ejemplo 2

Una población de conejos tiene una tasa de variación de

$\frac{d N}{d t} = 0.05 N (1 - \frac{N}{500})$

donde t es una medida en años.

¿Cuál es el tamaño de la población de conejos a los 4 años?
¿Cuántos conejos habrá a los 10 años?
¿Cuándo llegará la población de conejos a 400?

Paso 1: Extraer variables de la forma diferencial

A partir de la definición de la forma diferencial del modelo de crecimiento logístico, sabemos que $k = 0.05$ , $M = 500$ y en $t = 0$ , $N = 100$ .

Paso 2: Introduce las variables en la ecuación de crecimiento logístico

$N = \frac{500 C}{C + e^{- 0.05 t}}$

Paso 3: Resolver para C con el valor inicial

$100 = \frac{500 C}{C + e^{- 0.05 (0)}} 100 = \frac{500 C}{C + 1}$

Podemos utilizar la multiplicación cruzada para resolver $C$ .

$100 (C + 1) = 500 C C + 1 = 5 C C = \frac{1}{4}$

Paso 4: Introduce t = 4 y t = 10

Introduciendo $C$ y a $N$

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}}$

Ahora podemos introducir $t = 4$ y $t = 10$ .

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 (4)}} N = 116.961$

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 (10)}} N = 145.948$

Al cabo de 4 años, la población de conejos será de unos 117. Al cabo de 10 años, la población de conejos será de unos 146.

Paso 5: Deja que N = 400 y resuelve para t

$400 = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}} 400 (\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}) = 125 100 + 400 e^{- 0.05 t} = 125 e^{- 0.05 t} = \frac{1}{16} - 0.05 t = \ln (\frac{1}{16}) t = 55.452$

Por tanto, la población de conejos tardará unos 55,5 años en alcanzar una población de 400.

Modelos de crecimiento demográfico - Puntos clave

El crecimiento de la población puede adoptar dos modelos: exponencial o logístico
- El crecimiento exponencial de la población se produce cuando hay recursos ilimitados: el índice de cambio de la población se basa estrictamente en el tamaño de la población.
- El crecimiento logístico de la población se produce cuando los recursos disponibles son limitados y hay competencia para acceder a ellos: el ritmo de cambio de la población se basa en el tamaño de la población, la competencia y el número de recursos.

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Preguntas frecuentes sobre Modelos de Crecimiento Poblacional

¿Qué es un modelo de crecimiento poblacional?

Un modelo de crecimiento poblacional es una representación matemática utilizada para describir cómo cambia una población a lo largo del tiempo.

¿Cuáles son los tipos de modelos de crecimiento poblacional?

Los tipos principales son el modelo de crecimiento exponencial y el modelo logístico. El primero asume crecimiento ilimitado y el segundo considera la capacidad de carga.

¿Cómo se calcula el crecimiento exponencial?

El crecimiento exponencial se calcula usando la fórmula P(t) = P0 * e^(rt), donde P0 es la población inicial, r es la tasa de crecimiento y t es el tiempo.

¿Qué representa la capacidad de carga en el modelo logístico?

La capacidad de carga representa el máximo tamaño de la población que el entorno puede sostener de manera sostenible.

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El modelo exponencial de crecimiento de la población

El modelo logístico para el crecimiento de la población