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Hay muchos tipos de aproximaciones, entre ellas están los polinomios de Taylor. En este artículo aprenderás qué es un polinomio de Taylor, cómo se calcula y cómo se puede utilizar.
Visión general de los polinomios de Taylor
A veces, para evitar trabajar con funciones muy complejas, la gente utiliza aproximaciones. La aproximación más utilizada es la aproximación lineal o de primer orden (para más información al respecto, consulta el artículo aproximaciones lineales y diferenciales).
Dada una función \(f(x)\), la aproximación line al de \(f(x)\) en el punto \(x=c\) viene dada por la función
\[L(x)=f(c)+f'(c)(x-c).\\]
Veamos un ejemplo rápido.
Por ejemplo, si \(f(x)=\ln(x)\), la aproximación lineal de \(f(x)\) en el punto \(x=1\) viene dada por
\[\begin{align} L(x)&=\ln(1)+\frac{1}{1}(x-1)\\\frac{1}(x-1)&=x-1. \end{align}\frac(1)+\frac{1}(x-1)&=x-1.]
Figura 1. Gráfica de la función \(\ln(x)\) con su aproximación lineal.
Entonces, ¿cómo puedes conseguir una aproximación mejor que funcione para valores más alejados?
Bueno, puedes pensar en lo siguiente: la aproximación lineal funciona porque conoces la tasa de variación en un punto, si supieras cómo varía la tasa de variación (es decir, la segunda derivada), eso podría proporcionarte más información sobre cómo es la función.
En general, si supieras cómo se comportan "todas" las derivadas de la función, podrías saber exactamente cómo es la función. Ésa es la idea que subyace en los polinomios de Taylor.
Fórmula de los polinomios de Taylor
Enunciemos la definición del polinomio de Taylor.
Sea \(f\) una función con al menos \(n\) derivadas en \(x=c\). Entonces, el polinomio de Taylor de orden \ (n^ésimo) centrado en \(x=c\) viene dado por
\T_n(x)&=T_n(x). T_n(x)&=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dots\\ & \quad +\frac{f^{(n)}(c)(x-c)^n}{n!}.\end{align}\]
Este polinomio de grado \(n\) tiene la propiedad de que
\[T_n^{(k)}(c)=f^{(k)}(c)\]
para \(k=0,\dots,n\), y se aproxima a \(f(x)\) cerca de \(x=c\).
¡Observa que el polinomio de Taylor de primer grado es el mismo que la aproximación lineal (también llamada recta tangente)!
Hay un caso especial cuando \(x=0\) porque es mucho más fácil de escribir.
Sea \(f\) una función con al menos \(n\) derivadas en \(x=0\). Entonces, el polinomio de Maclaurin de orden \(n^ésimo) centrado en \(x=0\) viene dado por
\[\begin{align}M_n(x)&=f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\dots\\ & \quad +\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}.\end{align}\]
Merece la pena mencionar que los polinomios de Taylor te permiten aproximar cualquier función utilizando potencias de \(x\). ¿Es una buena aproximación? Eso dependerá del número de derivadas que calcules, cuantas más derivadas, más precisa será la aproximación.
Para aprender a calcular el error en la aproximación, visita nuestro artículo llamado Límite de error de Lagrange.
Polinomio de Taylor de segundo grado
Un caso particular es cuando quieres aproximar una función utilizando la segunda derivada.
Sea \(f\) una función con al menos \(2\) derivadas en \(x=c\). El polinomio de Taylor de segundo grado, o aproximación cuadrática, centrado en \(x=c\) viene dado por la función\[T_2(x)=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f'(c)(x-c)^{2}{2!}].
Para ver cómo una aproximación cuadrática es mejor que una aproximación lineal, aproximemos la función \(f(x)=\sin x\) a \(x=\dfrac{\pi}{2}\). En primer lugar, calculemos las derivadas y evaluemos las funciones en \(x=\dfrac{\pi}{2}}).
Tabla 1. Valores de la función y la derivada para \(\sin x\) en \(\dfrac{\pi}{2}\).
\(f(x)=sin x) | \(f\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=1\) |
\(f'(x)=cos x) | \(f''(x)=coscos x) =0) |
\(f''(x)=-sin x) | \(f''izquierda( \dfrac{pi}{2}}derecha) =-1) |
Por tanto, el polinomio de Taylor de primer grado para \(f(x)=\sin x\) en \(x=\dfrac{\pi}{2}\) es
\[T_1(x)=1,\\]
y el polinomio de Taylor de segundo grado para \(f(x)=sin x\) en \(x=\dfrac{\pi}{2}\) es
\[T_2(x)=1-\frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{2!}.\]
Figura 2. Gráfica de la función \(f(x)=\sin x\) con su polinomio de Taylor de primer y segundo grado.
Observa que las aproximaciones también te permiten estimar valores de una función en puntos en los que es difícil evaluarla. Por ejemplo, sabes que \(\sin(\frac{\pi}{2})\) es igual a \(1\), pero ¿qué pasa con el valor de \(\sin 2\)? Utilizando la aproximación cuadrática, obtienes
\[\begin{align} \sin 2 &\approx T_2(2) \\frac=1-(2-\frac{\pi}{2})^2}{2!} \\ &aprox 0,9. \end{align}\]
❗❗ Recuerda que un polinomio de Taylor centrado en \(x=a\), sólo te permite estimar valores cercanos a \(x=a\).
Polinomio de Taylor de tercer grado
También puedes aproximar una función utilizando la derivada tercera.
Sea \(f\) una función con al menos \(3\) derivadas en \(x=c\). El polinomio de Taylor de tercer grado, o aproximación cúbica, centrado en \(x=c\) es \[\begin{align} T_3(x)&=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f''(c)(x-c)^{2}}{2!}\\ &\quad +\frac{f'''(c)(x-c)^{3}}{3!}.\end{align}\]
Calculemos el polinomio de Taylor de tercer grado para la función \(g(x)=\sqrt{x}\) en \(x=1\).
Tabla 2. Derivadas y valores de la función para \(g(x) = \sqrt{x}\).
\(g(x)=cuadrado{x}\) | \(g(1)=1\) |
\(g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(g(1)=\dfrac{1}{2}\) |
\(g(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}\) | \(g(1)=-\dfrac{1}{4}\) |
\(g(x)=\dfrac{3}{8x^{5/2}}\) | \(g(1)=\dfrac{3}{8}\) |
Por tanto, su polinomio de Taylor de tercer grado centrado en \(x=1\) es
\[T_3(x)=1+\frac{(x-1)}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+\frac{3(x-1)^3}{48}.\]
Figura 3. Gráfica de la función \(g(x)=\sqrt{x}\) con su polinomio de Taylor de tercer grado.
Ejemplos de polinomios de Taylor
Veamos más ejemplos de cómo utilizar los polinomios de Taylor para estimar los valores de una función.
Calcula el polinomio de Taylor de cuarto grado de la función \(f(x)=\cos x\) en \(x=0\) y úsalo para aproximar \(\cos\ izquierda(\dfrac{\pi}{2}\ derecha)\).
Solución:
¡Recuerda que un polinomio de Taylor en \(x=0\) se llama polinomio de Maclaurin! Primero, calcula las primeras derivadas \(4\) de \(f(x)=\cos x\) y evalúalas en \(x=0\).
Tabla 3. Derivadas y valores de la función para \(\cos x\).
| \(f(x)=\cos{x}\) | \(f(0)=1\) |
| \(f'(x)=-\sin{x}\) | \(f'(0)=0\) |
| \(f''(x)=-coscos{x}) | \(f''(0)=-1\) |
| \(f''(x)=-sin{x}) | \(f'''(0)=0\) |
| \(f^{(iv)}(x)=\cos{x}\) | \(f^{(4)}(0)=1\) |
Entonces, el polinomio de Taylor de cuarto grado alrededor de \(x=0\) es
\[\begin{align}T_4(x) &=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)}{1!}+\frac{f''(0)(x-0)^{2}}{2!}\\ & \quad+\frac{f'''(0)(x-0)^{3}}{3!}+\frac{f^{(4)}(0)(x-0)^{4}}{4!} \\ &= 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!} \\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}.\end{align}\]
Entonces, evaluando en \(x=2\), tienes
\[\inicio \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) &\approx T_4\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=1-\frac{\frac{\pi}{2}}{2!}+\frac{\frac{\pi}{2}^4}{4!} \\ &=0,02.\nd{align}\]
Veamos otro ejemplo.
Calcula el valor de \(\sqrt{24}\) utilizando una aproximación cuadrática.
Solución:
En este caso, necesitas calcular el polinomio de Taylor de segundo grado de la función \(g(x)=\sqrt{x}\), ya que quieres una aproximación cuadrática de \( \sqrt{24}\).
Como los polinomios de Taylor sólo te permiten aproximar valores cercanos al valor en el que están centrados, necesitas un valor cercano a \(24\) en el que puedas encontrar fácilmente la raíz cuadrada. Así que tomemos \(25\) ya que \(\sqrt{25}=5\).
Tabla 4. Tabla de derivadas y valores de la función para \(\sqrt{x}\).
| \(g(x)=cuadrado{x}\) | \(g(25)=\sqrt{25}=5\) |
| \(g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(g'(25)=\dfrac{1}{2\sqrt{25}}=\dfrac{1}{10}\) |
| \(g''(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}\) | \(g''(25)=-\dfrac{1}{4(25)^{3/2}}=-\dfrac{1}{1000}\) |
Por tanto, el polinomio cuadrático (otra forma de decir de segundo grado) de Taylor de \(\sqrt{x}\) centrado en \(x=25\) es
\[T_2(x)=5+\frac{(x-25)}{10}-\frac{(x-25)^2}{1000}.\]
Utilizando la aproximación \(T_2(x)\) se obtiene
\[\begin{align} \sqrt{24}&\approx 5+\frac{(24-25)}{10}-\frac{(24-25)^2}{1000} \\ &= 4,899.\pend{align}\]
❗❗ Observa que el polinomio de Taylor calculado en el ejemplo anterior no se utilizó porque estaba centrado en \(1\), y \(1\) está muy lejos de \(24\), por lo que usarlo te habría dado una aproximación muy mala.
Polinomios de Taylor - Puntos clave
- Sea \(f\) una función con al menos \(n\) derivadas en \(x=c\). Entonces, el polinomio de Taylor de orden n (n-ésimo) centrado en x (x=c) es [inicio] T_n(x)&=f(c)+frac {f'(c)(x-c)} ¡1!}+frac {f'(c)(x-c)^2} ¡2!}+frac {f'(c)(x-c)^n!} +frac {f^(n)}(c)(x-c)^n}{n!}. \end{align}\]
- Si el polinomio de Taylor está centrado en \(x=0\), también se conoce como polinomio de Maclaurin.
- Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones complejas y permiten calcular valores difíciles de calcular.
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