Presión Hidrostática

Definición de presión hidrostática

¿Qué es la presión hidrostática?

La presión hidrostática varía en función del fluido y de la profundidad.

Fórmula de la presión hidrostática

A continuación necesitarás algunas variables:

• \(P\) es la presión hidrostática en \ (\text{N}/\text{m}^2\) ;

• \(\rho\) es la densidad del fluido en \ (\text{kg}/\text{m}^3\ );

• \(g\) es la aceleración debida a la gravedad en \(\text{m}/\text{s}^2); y

• \(h\) es la altura de la columna de agua en \(\text{m}\).

Entonces la fórmula de la presión hidrostática es

\[P = \rho gh.\]

Observa que la presión aumenta a medida que aumenta la altura de la columna de agua (también llamada profundidad). Este hecho se ilustra en la imagen siguiente.

Fig. 2: La presión hidrostática, ordenada de menor a mayor, iría \(A, B, C\).

La densidad del agua es \(1000\, \text{kg}/\text{m}^3), y para la gravedad en la Tierra puedes utilizar \(9,81 \, \text{m}/\text{s}^2).

Fuerza hidrostática

Probablemente te preguntes cuál es la diferencia entre fuerza hidrostática y presión.

Si piensas en el ejemplo del buceador del principio del artículo, la fuerza hidrostática sobre el buceador es la fuerza del agua sobre su cuerpo sumergido. Como has visto, la presión aumenta a medida que aumenta la altura de la columna de agua. En otras palabras, cuanto más se sumerge el buceador, mayor es la presión, lo que a su vez significa que también aumenta la fuerza hidrostática que actúa sobre su cuerpo.

Fórmula de la fuerza hidrostática

La fórmula de la fuerza hidrostática es

\[F = PA,\]

donde

• \(F\) es la fuerza hidrostática en \(\text{N}\);

• \(P\) es la presión hidrostática en \ (\text{N}/\text{m}^2); y

• \(A\) es el área de la superficie sumergida en \( \text{m}^2).

Observa que la fórmula funciona para superficies muy complicadas, como la del cuerpo de un buceador. Sin embargo, calcular la fuerza hidrostática exacta sobre un buceador es un problema un poco grande para empezar, así que, en su lugar, analicemos la inmersión de una placa plana en un fluido.

Fig. 3: Una placa plana sumergida \(d\) unidades bajo el agua.

En la imagen anterior, hay una placa hexagonal plana sumergida \(d\) unidades bajo el agua. El rectángulo mostrado tiene altura \(\Delta y\) y anchura \(x_i\), por lo que el área del rectángulo es \(x_i\Delta y\). Eso significa que la fuerza hidrostática sobre el rectángulo es

\[ \begin{align} F_{\text{rectángulo}} &= PA &= (\rho gh)(x_i\Delta y ) &= (1000\cdot 9,81 d_i)(x_i\Delta y) &= 9810d_ix_i\Delta y \, \text{N}. \end{align}\]

Una aproximación de la fuerza hidrostática sobre toda la placa sería la suma de las fuerzas hidrostáticas sobre todos los rectángulos, de modo que si hay \(n\) rectángulos,

\F_{texto}{placa}{aprox}{suma}{limites}{i=i}^n 9810d_ix_i\Delta y .\]

Esto debería resultarte familiar, ¡ya que encontrar áreas de esta forma es una de las aplicaciones de las integrales!

Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas

Sigamos con el ejemplo de la placa iniciado en el apartado anterior. El primer paso es hacer un diagrama debidamente etiquetado con los ejes \(x\) y \(y\) incluidos. Esta placa es verticalmente simétrica, por lo que tiene sentido centrarla en el eje \(y\) con la parte inferior de la placa en el eje \(x\).

La parte superior de la placa está a \(6\) metros por debajo de la superficie del agua. Se puede pensar en la placa en dos secciones: la superior, donde \(y \ge 2\); y la inferior, donde \(y \le 2\).

Fig. 4: La placa colocada sobre el eje de coordenadas con la profundidad y la ecuación de la línea superior de la placa etiquetadas.

Entonces el área total de la placa es la suma del área de la sección superior y el área de la sección inferior. Por tanto, al integrar puedes dividir la integral en \(y=2\) para facilitar los cálculos. De hecho, como el área es simétrica respecto al eje \(y\), puedes hallar el área de la mitad derecha de la placa y luego multiplicar por \(2\) para obtener el área total de la placa.

Cálculos de la parte superior de la placa

Para la parte superior de la placa, la profundidad por debajo de la superficie es \(d_i\). La ecuación de la recta que describe el borde de la placa es \(y = -0,8x + 8\).

El sumatorio de la fuerza hidrostática sobre la parte superior de la placa es

\[ F_{texto{superior} \approx \suma_limits_{i=i}^n 9810d_ix_i\Delta y ,\\}]

que tiene un \(\Delta y\) en él. Esto significa que la integración se hará con respecto a \(y\) y no con respecto a \(x\). Por tanto, resolviendo la ecuación de la recta para \(x\) en términos de \(y\) se obtiene

\x = -1,25y+10,\].

¡Tendrás que tener cuidado, ya que escribiéndolo así sólo obtendrás la mitad derecha de la placa! Como la placa es simétrica, para hallar el área desde el lado izquierdo de la placa hasta el lado derecho de la placa, puedes multiplicar la suma por \(2\). Sustituyendo la ecuación de la recta en el sumatorio y multiplicando por \(2\) se obtiene

\[ F_{texto{superior} \approx 2\suma_limits_i=i}^n 9810d_i(-1,25y_i+10)\Delta y .\]

Sólo queda escribir \(d_i) en términos de \(y_i). Como puedes ver en la imagen anterior

\[y_i = 12-d_i,\]

y ahora el sumatorio se convierte en

\[ F_{texto{superior} \aprox 2\suma límites_i=i}^n 9810(12-y_i)(-1,25y_i+10)\Delta y .\]

Entonces, la fuerza total sobre la mitad superior de la placa es

\[\begin{align} F_{texto{superior}} &= 2{{limites{n} {a{infty}} \sum\limits_{i=1}^n 9810(12-y_i)(-1,25y_i+10) \Delta y &= 2\int_2^6 9810(12-y)(-1,25y+10) \, \mathrm{d}y &= \left. 2(9810)\left(\frac{5y^3-150y^2+1440y}{12}\right)\right|_{y=2}^{y=6} \\ &= 2(9810)|izquierda(\frac{500}{3}derecha) &= 3270000, \text{N}.\end{align} \]

Cálculos de la placa inferior

Veamos la placa inferior. El diagrama siguiente muestra la ecuación de la recta para esa parte de la placa.

Fig. 5: Mitad inferior de la placa sumergida.

La ecuación de la recta es \(y=0,4x-1\). Como en los cálculos de la mitad superior de la placa, tienes que escribir esta ecuación en términos de \(x\) para poder sustituirla. Reescribiendo la ecuación de la recta en términos de \(x\) obtienes \(x = 2,5y+2,5\). Como \(d_i = 12-y_i\), la fuerza hidrostática sobre una franja rectangular horizontal que va desde el eje \(y\)-a la recta es

\π[ \begin{align} F_i &= P_iA_i \_i &= 9810d_i(2,5y_i+2,5)\Delta y \_i &= 9810(12-y_i)(2,5y_i+2,5 ) \Delta y. \end{align}{align}].

La fuerza total sobre la mitad superior de la placa es entonces

\[\begin{align} F_{texto{inferior}} &= 2{{limites}{n}{a{infty}} \suma_limits_i=1}^n 9810(12-y_i)(2,5y_i+2,5 ) delta y &= 2(2,5)(9810)\int_0^2 (12-y)(y+1 ) \}, mathrm{d}y &= \ft. (49050)\frac{-2y^3+33y^2+72y}{6}\right|_{y=0}^{y=2} \\ (49050)|izquierda(\frac{130}{3}derecha) \frac{130}{3}derecha) \frac{130}{3}{3}derecha) \frac{130}{3}{3}&= 2125500, \text{N}.\final{align} \]

Como era de esperar, la fuerza hidrostática sobre la parte inferior de la placa es menor que sobre la parte superior de la placa, porque el área sobre la placa inferior es menor que el área sobre la parte superior de la placa.

Fuerza hidrostática total sobre la placa

Entonces, para obtener la fuerza hidrostática total sobre la placa, sólo tienes que sumar la fuerza hidrostática sobre la parte superior de la placa a la fuerza hidrostática sobre la parte inferior de la placa:

\F_{texto{total} F_{{texto}{total} &= F_{{texto}{superior} + F_{{texto}{inferior} \\ 3270000 + 2125500 &= 5395500, \text{N}.\end{align} \]

Como era de esperar, la fuerza hidrostática sobre la parte inferior de la placa es menor que sobre la parte superior de la placa, porque el área sobre la placa inferior es menor que el área sobre la parte superior de la placa.