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Podrías ir llamando a la puerta de cada casa de tu pueblo preguntando cuánto tiempo lleva viviendo allí cada residente. O, simplemente, podrías utilizar una integral definida para interpretar la acumulación de personas durante el tiempo que has sido alcalde.
El Teorema Fundamental del Cálculo dice que para una función continua \(f\) sobre el intervalo \([a,b] \),
\[ \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) \]
donde \(F\) es la antiderivada de \(f\).
En cuanto a nuestro ejemplo de la población, para hallar la población de la ciudad desde tu primer año como alcalde hasta el cuarto, el Teorema Fundamental del Cálculo dice que debes calcular
\[ \int_0^4 f(x)\, dx = F(4) - F(0) \]
donde \(f\) es una función de la población de tu ciudad. En otras palabras, lo único que tienes que hacer es restar la población de tu primer año como alcalde a la población de tu cuarto año como alcalde.
El significado de los problemas de acumulación
Empecemos por definir qué es un problema de acumulación.
Un problema de acumulación es un problema en el que se da la tasa de cambio de una cantidad, y se te encarga encontrar el cambio neto de la cantidad a lo largo del tiempo.
Supongamos que hay una pequeña fuga debajo de tu fregadero de tal forma que vierte agua a un ritmo constante de 1 mililitro por minuto, y colocas un cubo debajo del fregadero durante la noche, para que no se ensucie hasta que venga un fontanero a arreglarlo. Aquí, el agua empezará a acumularse en el cubo, y como sabes que la velocidad de cambio es constante, ¡puedes calcular realmente cuánta agua habrá en el cubo!
Por ejemplo, supongamos que colocas el cubo a las 10 de la noche y el fontanero vendrá a las 8 de la mañana del día siguiente. Esto significa que el cubo se llenará durante \(10\) horas, que en minutos es
\[ 10(60\text{ min})=600\text{ min.}]
A continuación, multiplica este tiempo por la velocidad a la que se llena el cubo, es decir
\[600\text{ min} \izquierda( \frac{1\text{ml}}\text{min}}\derecha) = 600\text{ ml}\}].
por lo que habrá 600 ml (unas 20 onzas) en el cubo antes de que se arregle el fregadero.
Este cálculo era sencillo porque la velocidad de cambio era constante, pero ¿qué ocurre si la velocidad de cambio no es constante? Estos problemas suelen resolverse con integrales definidas, ¡así que el Cálculo tiene la respuesta!
Problemas de acumulación en Cálculo
Puedes ver un problema de acumulación como una situación en la que estás apilando una cantidad que cambia con el tiempo. El Teorema del Cambio Neto, derivado del Teorema Fundamental del Cálculo, afirma que la integral de una tasa de cambio es el cambio neto,
\[ \int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a).\]
Volviendo al ejemplo de la población de la ciudad, recuerda que necesitas saber cuánto ha aumentado la población de la ciudad desde que te eligieron alcalde. Supongamos que fuiste elegido hace \( 4\) años. Conocer una función \( F(x) \) que te diga la población actual de la ciudad haría que esto fuera una tarea trivial, ya que sólo tendrías que restar la población actual, \( F(4),\) de la población de la ciudad cuando empezaste como alcalde, \( F(0).\) Es decir
\[ F(4) - F(0).\]
Como ya se ha dicho, esto requeriría una encuesta y llevaría mucho tiempo. Sin embargo, ¡recuerda que conoces el ritmo de crecimiento de la ciudad! Supongamos que esta tasa viene dada por la función
\[ f(x) = 1920e^{0,01x}.\]
Como la función anterior describe una tasa de cambio, puedes aplicar el Teorema del Cambio Neto para hallar la acumulación de población \(A\) en los cuatro años de tu gobierno, de modo que
\[ \begin{align} A &= \int_0^4 f(x) \, \mathrm{d}x &= \int_0^4 1920 e^{0,01x}\,\mathrm{d}x. \fin]
La integral anterior es la integral de una función exponencial, que puede resolverse mediante técnicas básicas de integración, por lo que
\Inicio A &= \int_0^4 1920e^{0,01x},\mathrm{d}x &= \left(\frac{1920}{0,01}e^{0,01(4)}right)-\left(\frac{1920}{0.01}e^{0,01(0)}\}derecha) &= 192.000e^{0,04}-192.000 &= 7835,6686, \end{align}\].
por lo que el crecimiento es de unas \(7835\) personas.
Figura 1. El área bajo la curva en el intervalo dado representa el aumento de la población
Esto significa que durante los cuatro años que has sido alcalde, tu ciudad ha crecido en unas \(7835\) personas. Éste es el cambio neto de la población, que también puede verse como la acumulación de la población durante esos cuatro años.
Métodos de los problemas de acumulación
Resolver problemas de acumulación puede resumirse como resolver una integral definida. Sin embargo, normalmente los problemas de acumulación son problemas de palabras, por lo que es importante comprender exactamente qué función debes integrar, ¡o si debes integrar alguna!
El Teorema del Cambio Neto afirma que el cambio neto de una función es la integral definida de la tasa de cambio de la función. Por tanto, si se te proporciona una tasa de cambio, tienes que integrarla. Si no, basta con hallar la diferencia de la función en dos valores distintos.
Si la función representa una tasa de cambio, y en este caso debes integrar, el problema utilizará frases como
Tasa
Derivada
Velocidad
Velocidad
He aquí un ejemplo.
La función
\[ g(t) = \frac{1}{5}t^2 \]
representa la velocidad ( en galones por minuto) a la que se llena un depósito industrial con un producto químico, donde \( t \) viene dado en minutos.
¿Qué cantidad de producto químico se acumula durante los primeros \(10\) minutos del proceso de llenado?
Solución
Empieza por observar que el problema te dice que la función representa una velocidad. Así podrás identificar la función
\[ g(t) = \frac{1}{5}t^2\]
como una velocidad de cambio, por lo que puedes utilizar el Teorema del Cambio Neto para hallar la acumulación \( A\) de producto químico. Como se te pide que halles la acumulación durante los 10 primeros minutos del llenado, los límites de integración serán de 0 a 10, por lo que
\[ \int_0{align} A &= \int_0^{10} g(t) \, \mathrm{d}t \\\t &= \int_0^{10} \frac{1}{5}t^2 \mathrm{d}t. \fin \]
Puedes resolver la integral indefinida implicada utilizando la regla de potencias, es decir
\[ \begin{align} \int \frac{1}{5}t^2 \, \mathrm{d}t &= \frac{1}{5}\left( \frac{1}{3}t^3 \right) \&= \frac{1}{15}t^3. \end{align}\]
Ahora que conoces la integral indefinida, puedes evaluar la integral definida, de modo que
\[ \inicio{align} A &= \int_0^{10} \frac{1}{5}t^2,\mathrm{d}t &= \left( \frac{1}{15}(10)^3 \right) - \left( \frac{1}{15} (0)^3 \ derecha) &= \frac{1000}{15} \\ aproximadamente 66,67. fin]].
Esto significa que se acumulan unos \( 66,67 \) galones de producto químico durante los primeros \(10\) minutos del proceso de llenado.
¡A veces no necesitarás integrar! Tienes que prestar mucha atención a las palabras utilizadas en el problema.
La función
\[ P(t) = 200 e^{0,1t}\]
representa la población de lobos en un santuario de lobos \(t \) años desde su fundación. ¿En cuánto aumentó la población entre el quinto y el décimo año desde la fundación del santuario?
Solución
Esta vez, puedes observar que no hay ninguna palabra que sugiera que la función dada es una tasa de cambio. En su lugar, indica cuántos lobos hay en el santuario en un año determinado. Esto significa que sólo tienes que hallar
\[ A = P(10) - P(5)\]
para hallar la respuesta, así
\A &= 200e^{0}]. A &= 200e^{0,1(10)}-200e^{0,1(5)} &= 200(e-e^{0,5})&= 200(1,06956) &= 213,91, \end{align}. \]
por lo que la población de lobos aumentó en unos \(213\) lobos entre esos años.
Ejemplos de funciones de acumulación
Al estudiar los problemas de acumulación, es posible que te encuentres con el término función de acumulación.
Las funciones de acumulación son funciones utilizadas en finanzas matemáticas, que sirven para representar cosas como el interés simple y el interés compuesto.
Por ejemplo, la función
\[ s(t) = 1+0,05t\]
representa el interés simple, mientras que la función
\[ c(t) = (1+0,05)^t\]
representa el interés compuesto.
Estas funciones se utilizan en un contexto diferente, ¡así que no debes preocuparte por relacionar las funciones anteriores con los problemas de acumulación que se ven en el contexto del cálculo AP!
Ejemplos de problemas de acumulación
Aquí tienes más ejemplos de problemas de acumulación.
En un depósito de agua hay una fuga por la que sale agua por un pequeño agujero. A medida que pasa el tiempo, el agujero se hace más grande. La función
\[ V(t) = \frac{1}{2}\t]
modela la velocidad a la que sale el agua por el agujero, en litros por hora. ¿Cuánta agua salió durante las tres primeras horas de la fuga?
Solución
La función dada modela la velocidad a la que el agua se escapa por el agujero, así que tendrás que integrarla para averiguar cuánta agua se escurrió, de modo que
\[ A = \int_0^3 \frac{1}{2}t\,\mathrm{d}t. \]
Puedes utilizar la Regla de Potencia y el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida anterior, es decir
\[ \begin{align} A &= \int_0^3 \frac{1}{2}t, \mathrm{d}t &= \left(\frac{1}{4}(3)^2 \right) - \left(\frac{1}{4}(0)^2 \right) &= \frac{9}{4}(3)^2 \right) \\ &=2,25 fin{align} \]
Esto significa que se vaciaron \(2,25\) litros de agua del depósito durante las tres primeras horas de la fuga.
¡Hay problemas de acumulación por todas partes!
La función {[S(t) = -t^2+2t \text{for} \quad 0\leq t \leq 2\]modeliza la velocidad a la que llueve una tormenta que dura dos horas, en millones de litros por hora. ¿Cuánta agua se acumula durante la segunda hora de la tormenta?
Solución
Una vez más, observa que la función da la velocidad a la que cae la lluvia del cielo. Esto significa que sólo necesitas hallar la integral definida de la función sobre el intervalo solicitado. Como se te pide que halles la acumulación durante la segunda hora de la tormenta, los límites de integración deben ir de \( 1\) a \(2.\) Esto te dará la integral definida
\[ A = \int_1^2 (-t^2+2t) \, \mathrm{d}t,\]
que también puedes resolver utilizando la Regla de Potencia y el Teorema Fundamental del Cálculo, de modo que
\[ \begin{align} A &= \int_1^2 (-t^2+2t) \, \mathrm{d}t &= \left( -\frac{1}{3}(2)^3+(2)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(1)^3+(1)^2 \right) \ &= \frac{4}{3}-\left(\frac{2}{3}\right) \frac{2}{3} &= \frac{2}{3} \\ &aproximadamente 0,67. fin.
Así pues, durante la última hora de la tormenta llovieron del cielo unos \( 0,67 \) millones de litros de agua.
¡Recuerda siempre comprobar si la función representa un cambio de velocidad o no!
La función
\[ S(m) = 125 + 20m \]
representa cuánto dinero, en dólares, hay en una cuenta de ahorros en función de cuántos meses hayan pasado desde su apertura. ¿Cuánto dinero se depositó entre el 4º y el 8º mes de su apertura?
Solución
Esta vez la función no representa una tasa de variación. En su lugar, te dice cuánto dinero hay en la cuenta de ahorro. Esto significa que puedes averiguar cuánto dinero se depositó hallando la diferencia
\[ S(8) - S(4),\]
lo que te dará
\[\begin{align} S(8) - S(4) &= \left( 125+20(8) \right) - \left( 125+20(4) \right) \\\= (125+160)-(125+80) \\\= 80.\end{align}\}]
Esto significa que se ingresó un total de \( \$ 80 \) durante esos cuatro meses. ¡No necesitaste integrar nada!
Problemas de acumulación - Puntos clave
- Un problema de acumulación es un problema en el que se da la tasa de variación y se te pide que halles la variación neta de la cantidad a lo largo del tiempo.
- Los problemas de acumulación suelen resolverse mediante integrales definidas.
- Para hallar la acumulación, tienes que integrar la tasa de variación de la función en un intervalo dado.
- La tasa de cambio de una función puede identificarse utilizando algunas palabras clave, como tasa, velocidad, rapidez o derivada.
- Es posible que en lugar de darte la tasa de cambio, el problema te dé la cantidad real como función. En tal caso, sólo tienes que hallar la diferencia de la función evaluada en los extremos del intervalo solicitado.
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