Problemas de Máximos y Mínimos

Identifica todos los máximos y mínimos de la gráfica. Debes suponer que la gráfica representa toda la función, es decir, que está en un intervalo cerrado.

Fig. 2 - Gráfica de una función que tiene mínimos y máximos absolutos y relativos.

Solución:

Podemos resolver este ejemplo con sólo mirar la gráfica.

Identifica todos los máximos y mínimos de la gráfica. Debes suponer que la gráfica representa toda la función, es decir, que está en un intervalo cerrado.

Fig. 3 - Gráfica de una función que tiene mínimos y máximos absolutos y relativos.

Solución:

Encuentra los extremos locales (máximos y mínimos) de la función,

\f(x) = x^{3} - 3x + 5.]

Solución:

Aquí debes aplicar la estrategia 1.

1. Toma la primera derivada de la función dada.\[ \begin{align}f'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3} - 3x + 5) \\f'(x) &= 3x^{2} - 3\end{align} \]

2. Establece \( f'(x) = 0 \) y resuelve para \( x \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}f'(x) = 3x^{2}} 3 &= 0 \ - 3 &= 0 \\\\3(x^{2} - 1) &= 0 \\\(x - 1)(x + 1) &= 0 \x &= \pm 1\end{align} \]

3. Toma la segunda derivada de la función dada.|[ \begin{align}f''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f'(x)) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{2} - 3) \ \f''(x) &= 6x\end{align} \]

4. Introduce los puntos críticos del paso 2 en la segunda derivada.

   • Para \( x = -1 \),\[ f''(x) = 6(-1) = -6 \]Como \( -6 \) es negativo, el punto crítico donde \( x = -1 \) es un máximo local.

   • Para \( x = 1 \),\[ f''(x) = 6(1) = 6 \]Como \( 6 \) es positivo, el punto crítico donde \( x = 1 \) es un mínimo local.

Para confirmar tus cálculos, representa gráficamente la función y traza los valores extremos.

Fig. 4 - La gráfica de la función \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \) tiene un máximo local en el punto \( (-1, 7) \) y un mínimo local en el punto \( (1, 3) \).

Por tanto, el punto \( (-1, 7) \) es un máximo local y el punto \( (1, 3) \) es un mínimo local.

Encuentra los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función,

\[ f(x) = x^{3} - 3x + 5 \]

en el intervalo cerrado \( [-3, 3] \).

Solución:

Aquí debes aplicar la estrategia 2.

1. Resuelve la función en sus puntos extremos, es decir, donde \( x = -3 \) y \( x = 3 \).\[ \begin{align}f(-3) &= (-3)^{3} - 3(-3) + 5 = -13 \ {\}f(3) &= (3)^{3} - 3(3) + 5 = 23\end{align} \]
2. Encuentra todos los puntos críticos de la función que estén en el intervalo abierto \( (-3, 3) \) y resuelve la función en cada punto crítico.

   1. Como se trata de la misma función que utilizaste en el ejemplo anterior, consulta los pasos \( 1 \) a \( 4 \) de ese ejemplo.

3. Compara todos los valores de los pasos \( 1 \) y \( 2 \).

Para confirmar tus cálculos y comparaciones, representa gráficamente la función y traza los extremos.

Fig. 5 - Gráfica de la función \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \) en el intervalo cerrado \( [-3, 3] \) tiene dos extremos locales, un mínimo absoluto en el punto \( (-3, -13) \), y un máximo absoluto en el punto \( (3, 23) \).

Por tanto, el punto \( (-3, -13) \) es el mínimo absoluto y el punto \( (3, 23) \) es el máximo absoluto.

Supongamos que lanzas una maqueta de cohete, y sabes que la altura del cohete con respecto al tiempo viene dada por la fórmula

\[ H(t) = -6t^{2} + 120t \]

donde

• \( H \) está en metros,
• \( t \) está en segundos, y
• \( t > 0 \).

1. ¿Cuánto tarda el modelo de cohete en alcanzar su altura máxima?
2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el modelo de cohete?
3. ¿Cuánto tarda el modelo de cohete en aterrizar de nuevo en el suelo?

Solución:

A partir de la información dada, sabes que

• la altura del modelo de cohete viene dada por la variable \( H \),
• el tiempo transcurrido -en segundos- viene dado por la variable \( t \), y
• el tiempo no puede ser negativo.

1. Se te pide que encuentres el valor máximo de la función \( H(t) \).
   1. Toma la primera derivada de la función dada.\[ \begin{align}H'(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-6t^{2} + 120t) \\H'(t) &= -12t + 120\end{align} \]
   2. Establece \( H'(t) = 0 \) y resuelve para \( t \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}H'(t) = -12t + 120 &= 0 \\\-12t &= -120 \\\t &= 10\end{align} \]
   3. Toma la segunda derivada de la función dada.\[ \begin{align}H''(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-12t + 120) \ {\begin{align}H''(t) &= -12\end{align} \]
   4. Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.\[ H''(10) = -12 \]
      • Como \( H''(10) \) es negativo, \( t = 10 \) es el valor máximo de la función.Por tanto, \( t = 10\space s \) es el tiempo que tarda el cohete modelo en alcanzar su altura máxima.
2. Para hallar la altura máxima que alcanza el cohete modelo, toma el tiempo en el que el cohete modelo alcanza su altura máxima, que has hallado en la parte A, e introdúcelo en la función dada \( H(t) \).\[ \begin{align}H(t) &= -6t^{2}} + 120t & \mbox + 120t & \mbox{ la función dada } \\H(10) &= -6(10)^{2} + 120(10) & \mbox { introduce 10 para t } \\&= -6(100) +1200 & \mbox{ simplifica } \\&= -600 + 1200 \\\&= 600\end{align} \]Por tanto, \( H = 600\space m \) es la altura máxima que alcanza el modelo de cohete.
3. Para saber cuándo aterriza el modelo de cohete en el suelo después de ser lanzado, tienes que pensar en lo que ocurre físicamente.
   • En este escenario, hay dos casos en los que el modelo de cohete está en el suelo
     • cuando se lanza el modelo de cohete, y
     • cuando aterriza.
   • ¿Qué hay en común en ambos casos?
     • ¡La altura del modelo de cohete es \( 0 \)!
     • Por lo tanto, para responder a esta pregunta, tienes que establecer la función original \( H(t) \) igual a \( 0 \) y resolver para \( t \).\[ \begin{align}H(t) = -6t^{2}} + 120t &= 0 \}. + 120t &= 0 \\ \\-6t(t - 20) &= 0 \ \\t = 0 \mbox{ y } t = 20\end{align} \]
     • Sabes que cuando \( t = 0\space s\) es cuando se lanzó inicialmente el cohete modelo, por lo que eso significa que cuando \( t = 20\space s \) es el tiempo que tarda en aterrizar el cohete modelo después de ser lanzado.

Una empresa de fabricación descubre que su beneficio por montar un determinado número de bicicletas al día viene dado por la fórmula

\[ P(n) = -n^{2} + 50n - 100. \]

1. ¿Cuántas bicicletas hay que montar al día para maximizar el beneficio?
2. ¿Cuál es el beneficio máximo?
3. ¿Cuál es la pérdida si no se monta ninguna bicicleta en un día?

Solución:

A partir de la información dada, sabes que

• el beneficio que obtiene la empresa fabricante -en dólares- viene dado por la variable \( P \),
• el número de bicicletas montadas en un día viene dado por la variable \( n \), y
• el número de bicicletas montadas no puede ser negativo.

1. Esto te pide que encuentres el valor máximo de la función \( P(n) \).
   1. Toma la primera derivada de la función dada.\[ \begin{align}P'(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-n^{2} + 50n - 100) \P'(n) &= -2n + 50\end{align} \]
   2. Establece \( P'(n) = 0 \) y resuelve para \( n \) para encontrar todos los puntos críticos.\[ \begin{align}P'(n) = -2n + 50 &= 0 \\ \-2n &= -50 \\\n &= 25\end{align} \]
   3. Toma la segunda derivada de la función dada.\[ \begin{align}P''(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2n + 50) \\\P''(n) &= -2\end{align} \]
   4. Introduce los puntos críticos del paso \( 2 \) en la segunda derivada.\[ P''(25) = -2 \]
      • Como \( P''(25) \) es negativo, \( n = 25 \) es el valor máximo de la función.Por tanto, \( n = 25 \) es el número de bicicletas que hay que montar al día para maximizar el beneficio.
2. Para hallar el beneficio máximo, toma el número de bicicletas que deben montarse al día para maximizar el beneficio, que has hallado en la parte A, e introdúcelo en la función dada \( P(n) \).\[ \begin{align}P(n) &= -n^{2}} + 50n - 100 & \mbox{ la función dada } \\P(25) &= -(25)^{2} + 50(25) - 100 & \mbox { introduce 25 para n } \\&= -(625) + 1250 - 100 & \mbox{ simplifica } \\&= -625 + 1150 \\&= 525\end{align} \]Por tanto, \( P = 525 $\) es el beneficio máximo.
3. ¿Y si no se monta ninguna bicicleta en un día? ¡Exacto, \( n = 0 \)! Así que, para hallar la pérdida si no se montan bicicletas en un día, resuelve la función dada cuando \( n = 0 \).\[ \begin{align}P(n) &= -n^{2}} + 50n - 100 & \mbox{ la función dada } \\P(0) &= -(0)^{2} + 50(0) - 100 & \mbox { introduce 0 para n } \\&= -(0) + 0 - 100 & \mbox{ simplifica } \\&= -100\end{align} \]Por tanto, \( P = -$100 \) es la pérdida si no se monta ninguna bicicleta en un día.