Pruebas de divergencia en Cálculo
Muchas de las pruebas que se utilizan para las series tienen una parte que también habla de la divergencia.
Por ejemplo, la Prueba de Comparación Directa y la Prueba de Comparación Límite tienen una parte que habla de convergencia y otra que habla de divergencia. La Prueba Integral, la Prueba de la Relación y la Prueba de la Raíz también la tienen. Algunas series, como la serie P, la serie geométrica y la serie aritmética, tienen condiciones conocidas para cuando divergen y convergen. Por tanto, cuando busques pruebas de divergencia, asegúrate de consultar también las pruebas de convergencia.
Pruebas de divergencia de series
Aquí verás una prueba que sólo sirve para saber si una serie diverge. Considera la serie
\[suma_{n=1}^{\infty} a_n,\\]
y llama a las sumas parciales de esta serie \(s_n\). A veces puedes fijarte en el límite de la secuencia \({a_n}\) para saber si la serie diverge. Es lo que se llama la prueba del término \(n^ésimo}) para la divergencia.
\Prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia.
Si
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n\]
no existe, o si existe pero no es igual a cero, entonces la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\]
diverge.
¿Cuál es la forma incorrecta de utilizar la prueba?
El error más común es decir que si el límite de la sucesión es cero, la serie converge. Veamos un ejemplo para demostrar por qué esto no es cierto.
¿Puedes utilizar la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia para decir que si
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0\]
¿la serie converge?
Solución
Veamos dos ejemplos.
Primero observa la serie armónica
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.\]
Para esta serie, tenemos
\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\]
pero sabes que la serie diverge.
Observa a continuación la serie P con \(p=2\),
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.\]
Si observas el límite de la secuencia de términos de esta serie, obtienes
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}a_n&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\\ &=0\end{align}\]
pero esta serie converge.
De hecho, si el límite es cero, la serie puede converger o divergir, pero no se sabe.
Demostración de la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia
Veamos si es cierta la prueba del término \(n^ésimo}) para la divergencia. A veces, en matemáticas, se demuestra una afirmación como "si A es verdadera, entonces B es verdadera", y a veces es más fácil demostrar la contrapositiva, que es "si B es falsa, entonces A es falsa".
Para laprueba del término \(n^ésima) de la divergencia, es más fácil demostrar la contrapositiva.
Entonces, ¿cuál es el contrapositivo de la prueba de divergencia de un término (n^ésimo) ?
La afirmación B es "la serie diverge", y decir que "B es falso" es lo mismo que decir "la serie converge".
La afirmación A es "el límite de la sucesión o no existe o existe y no es cero", y "A es falso" es lo mismo que decir "el límite de la sucesión es cero". Eso significa que veremos la prueba de:
Si \(\suma\limites_{n=1}^{\infty}a_n\) converge, entonces
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0.\]
Para ello, tendrás que mirar las sumas parciales de la serie. La sucesión de sumas parciales viene definida por \[s_n=\suma_{k=1}^{n}a_k.\].
El término anterior de la secuencia de sumas parciales sería \[s_{n-1}=\suma_{k=1}^{n-1}a_k].
Restándolos se obtiene
\[\begin{align} s_{n}-s_{n-1}&=\sum_{k=1}^{n} a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\\&=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1})\\&=a_{n}.\end{align}\]
Ya sabes que la serie converge, lo que implica que la secuencia de sumas parciales también converge, o dicho de otro modo
\[\lim\limits_{n\to\infty}s_n=L\]
para algún número real \(L\). Tomando ahora el límite de la resta de sumas parciales,
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}[s_n-s_{n-1}]&=\lim\limits_{n\to \infty}s_n-\lim\limits_{n\to\infty}s_{n-1}\\&=L-L\\&=0.\end{align}\]
Pero también sabes que
\[\lim\limits_{n\to\infty}[s_{n}-s_{n-1}]=\lim\limits_{n\to\infty} a_n,\]
lo que significa que
\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.\]
Ejemplos de uso de la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia
Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar correctamente la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia.
¿Qué puedes decir sobre la convergencia o divergencia de la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{7n-1}\]
utilizando laprueba del término\(n^{th})para la divergencia?
Solución
Para esta serie, \[a_{n}=\frac{2n+3}{7n-1},\]
y
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}a_n &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n+3}{7n-1} \\ &=\frac{2}{7}.\end{align}\]
Entonces la secuencia converge, pero el límite no es cero. Entonces, por laprueba del término \ (n^ésima) de divergencia, la serie diverge.
Veamos otro ejemplo.
¿Qué puedes decir sobre la convergencia o divergencia de la serie \[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n,\n]?
utilizando laprueba del término\(n^ésima) para la divergencia?
Solución
Para esta serie, \(a_{n}=(-1)^n\), y el límite de esta secuencia no existe. Por tanto, según la prueba dedivergencia del término , la serie diverge.
Prueba de divergencia integral
Como ya se ha mencionado, la Prueba Integral tiene una parte que habla de la divergencia. Así que para obtener más información sobre la divergencia al utilizar la Prueba Integral, consulta Prueba Integral.
Prueba de Divergencia - Puntos clave
- Se pueden utilizar muchas pruebas para saber si una serie converge o diverge, como la Prueba Integral o la Prueba de Comparación de Límites.
- La prueba del término \(n^ésima) para la divergencia es una buena primera prueba para utilizar en una serie, porque es una comprobación relativamente sencilla de hacer, y si la serie resulta ser divergente, ya has terminado la prueba.
Si \[\suma_limites_{n=1}^{infty}a_{n}}] converge, entonces \[\limits_{n\to\infty}a_n=0.\]
\(n^ésima) prueba de divergencia: Si |limits_{n\a\infty}a_{n}]
no existe, o si existe pero no es igual a cero, entonces la serie \[\suma_{n=1}^{infty} a_n] diverge.
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