Prueba de Divergencia

Pruebas de divergencia de series

Aquí verás una prueba que sólo sirve para saber si una serie diverge. Considera la serie

\[suma_{n=1}^{\infty} a_n,\\]

y llama a las sumas parciales de esta serie \(s_n\). A veces puedes fijarte en el límite de la secuencia \({a_n}\) para saber si la serie diverge. Es lo que se llama la prueba del término \(n^ésimo}) para la divergencia.

\Prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia.

Si

\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n\]

no existe, o si existe pero no es igual a cero, entonces la serie

\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\]

diverge.

Demostración de la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia

Veamos si es cierta la prueba del término \(n^ésimo}) para la divergencia. A veces, en matemáticas, se demuestra una afirmación como "si A es verdadera, entonces B es verdadera", y a veces es más fácil demostrar la contrapositiva, que es "si B es falsa, entonces A es falsa".

Para laprueba del término \(n^ésima) de la divergencia, es más fácil demostrar la contrapositiva.

Entonces, ¿cuál es el contrapositivo de la prueba de divergencia de un término (n^ésimo) ?

La afirmación B es "la serie diverge", y decir que "B es falso" es lo mismo que decir "la serie converge".

La afirmación A es "el límite de la sucesión o no existe o existe y no es cero", y "A es falso" es lo mismo que decir "el límite de la sucesión es cero". Eso significa que veremos la prueba de:

Si \(\suma\limites_{n=1}^{\infty}a_n\) converge, entonces

\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0.\]

Para ello, tendrás que mirar las sumas parciales de la serie. La sucesión de sumas parciales viene definida por \[s_n=\suma_{k=1}^{n}a_k.\].

El término anterior de la secuencia de sumas parciales sería \[s_{n-1}=\suma_{k=1}^{n-1}a_k].

Restándolos se obtiene

\[\begin{align} s_{n}-s_{n-1}&=\sum_{k=1}^{n} a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\\&=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1})\\&=a_{n}.\end{align}\]

Ya sabes que la serie converge, lo que implica que la secuencia de sumas parciales también converge, o dicho de otro modo

\[\lim\limits_{n\to\infty}s_n=L\]

para algún número real \(L\). Tomando ahora el límite de la resta de sumas parciales,

\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}[s_n-s_{n-1}]&=\lim\limits_{n\to \infty}s_n-\lim\limits_{n\to\infty}s_{n-1}\\&=L-L\\&=0.\end{align}\]

Pero también sabes que

\[\lim\limits_{n\to\infty}[s_{n}-s_{n-1}]=\lim\limits_{n\to\infty} a_n,\]

lo que significa que

\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.\]

Ejemplos de uso de la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia

Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar correctamente la prueba del término \(n^ésimo) para la divergencia.

Veamos otro ejemplo.

Prueba de divergencia integral

Como ya se ha mencionado, la Prueba Integral tiene una parte que habla de la divergencia. Así que para obtener más información sobre la divergencia al utilizar la Prueba Integral, consulta Prueba Integral.