Prueba de la raíz en cálculo
Si necesitas saber si una serie converge, pero hay una potencia de \( n \) en ella, entonces la Prueba de la Raíz suele ser la prueba a la que acudir. Puede decirte si una serie es absolutamente convergente o divergente. Esto es diferente de la mayoría de las pruebas que te dicen si una serie converge o diverge, pero no dicen nada sobre la convergencia absoluta.
Uno de los límites que necesitarás con frecuencia para aplicar la Prueba de la Raíz es
\[ \limites_{n \a \infty} \frac{1} {{sqrt[n]{n}} = 1,\}].
pero ¿por qué es eso cierto? Para demostrar que el límite es en realidad igual a 1 se utiliza el hecho de las propiedades de las funciones exponenciales y los logaritmos naturales de que
\e^{-\frac{\ln n}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}}.
Como la función exponencial es continua
\[ \begin{align} \e^{-\frac{\ln}{n}} &= e^{-\limita{n}{a{infty}} \frac {\ln n}{n} \\ &= e^{0} \\ &= 1, \end{align} \]
lo que te da el resultado deseado.
Prueba de la raíz de la serie
En primer lugar, enunciemos la prueba de la raíz.
Prueba de la raíz: Sea
\[ suma_limites_{n=1}^{\infty} a_n \}]
sea una serie y definamos \( L \) por
\L = Límites n a infty \izquierda| a_n |derecha|^{frac{1}{n}}= límites_n |a \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} .\]
Entonces se cumple lo siguiente:
1. Si \( L < 1 \) entonces la serie es absolutamente convergente.
2. 2. Si L > 1, la serie diverge.
3. 3. Si \( L = 1 \), la prueba no es concluyente.
Observa que, a diferencia de muchas pruebas de series, no se exige que los términos de la serie sean positivos. Sin embargo, puede resultar difícil aplicar la Prueba de la Raíz a menos que haya una potencia de \( n \) en los términos de la serie. En el siguiente apartado, verás que la Prueba de la Raíz tampoco es muy útil si la serie es condicionalmente convergente.
Prueba de la raíz y convergencia condicional
Recuerda que si una serie converge absolutamente, entonces es, de hecho, convergente. Por tanto, si la Prueba de la Raíz te dice que una serie converge absolutamente, también te dice que converge. Por desgracia, no te dirá si una serie convergente condicionalmente converge realmente.
De hecho, a menudo la Prueba de la Raíz no puede utilizarse en series condicionalmente convergentes. Tomemos por ejemplo la serie armónica alterna condicionalmente convergente
\suma_limita_de_n a \infty} \frac{(-1)^n}{n} .\]
Si intentas aplicar la prueba de la raíz, obtienes
\[ \begin{align} L &= \limits_{n \a \infty} \izquierda| a_n \ derecha|^{frac{1}{n}} \\ y= límites n a infty \left| \frac{(-1)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \\ &= Límites n a infty \izquierda( \frac{1}}{n} {derecha)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \fin{align} \]
Así que, de hecho, la Prueba de la Raíz no te dice nada sobre la serie. En cambio, para saber si la serie armónica alterna converge tendrías que utilizar la Prueba de las Series Alternas. Para más detalles sobre esa prueba, consulta Series alternas.
Reglas de la prueba de la raíz
La regla más significativa sobre la Prueba de la Raíz es que no te dice nada si \( L = 1 \). En el apartado anterior has visto un ejemplo de serie que converge condicionalmente, pero la Prueba de la Raíz no podía decírtelo porque \( L = 1 \). A continuación, vamos a ver otros dos ejemplos en los que la Prueba de la Raíz no es útil porque \( L = 1 \).
Si es posible, utiliza la Prueba de la Raíz para determinar la convergencia o divergencia de la serie
\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \]
Contesta:
Se trata de una serie P con \( p = 2 \), por lo que ya sabes que converge, y de hecho converge absolutamente. Pero veamos qué te da la Prueba de la Raíz. Si tomas el límite
\[ \begin{align} L &= |limita_{n \a \infty} \left| a_n \right|^{frac{1}{n}} \\ y= límites n a infty \a la izquierda \right|^{\frac{1}{n}} \\ &= límites n a infty \izquierda( \frac{1}{n^2} {derecha)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \fin{align} \]
Así que, de hecho, la Prueba de la Raíz no es concluyente con esta serie.
Si es posible, utiliza la Prueba de la Raíz para determinar la convergencia o divergencia de la serie
\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \]
Contesta:
Se trata de una serie P con \( p = 1 \), o lo que es lo mismo, la serie armónica, por lo que ya sabes que diverge. Si tomas el límite para intentar aplicar la Prueba de la Raíz,
\[ \begin{align} L &= \limits_{n \a \infty} \left| a_n \right|^{frac{1}{n}} \\ y= límites n a infty \izquierda. \right|^{\frac{1}{n}} \\ &= límites del límite entre n e infty \izquierda( \frac{1}}{n} {derecha)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \fin{align} \]
Así que, de hecho, la Prueba de la Raíz no es concluyente con esta serie.
Ejemplos de prueba de la raíz
Veamos un par de ejemplos en los que la Prueba de la Raíz es útil.
Si es posible, determina la convergencia o divergencia de la serie
\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n}. \]
Responde:
Podrías tener la tentación de utilizar la Prueba de la Relación para este problema en lugar de la Prueba de la Raíz. Pero el \( n^n \) en el denominador hace que la Prueba de la Raíz sea un primer intento mucho mejor para analizar esta serie. Tomando el límite
\[ \begin{align} L &= límite_de_n a_infty \izquierda| a_n \ derecha|^{frac{1}{n}} \\ y= límites n a infty \a la izquierda. \right|^{\frac{1}{n}} \\ &= Límites n a infty \izquierda( \frac{5^n}{n^n} {derecha)^{frac{1}{n}} \\ &= límite_n_a_infty} \frac{5}{n} \\ &= 0 . \fin{align} \]
Como \( L <1 \), la Prueba de la Raíz te dice que esta serie es absolutamente convergente.
Si es posible, determina la convergencia o divergencia de la serie
\[ \suma_limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-6)^n}{n}. \]
Contesta:
Dada la potencia de \( n\), la Prueba de la Raíz es una buena prueba para esta serie. Hallar \( L \) da:
\[ \begin{align} L &= \limits_{n \a \infty} \a izquierda| a_n \ derecha|^{frac{1}{n}} \\ y= límites n a infty \left| \frac{(-6)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \\ &= Límites n a infty \izquierda( \frac{6^n}{n} {derecha)^{\frac{1}{n}} \\ &= límites {n}a {infty} \frac{6}{n^{\frac{1}{n}}} \\ &= 6 . \fin{align} \]
Como \( L > 1 \) la Prueba de la Raíz te dice que esta serie es divergente.
Prueba de la raíz - Puntos clave
- \[ \limits_{n \a \infty} \frac{1}{cuadrado[n]{n}} = 1\}]
- Prueba de la raíz: Sea
\[ suma_limits_{n=1}^{\infty} a_n \}]
sea una serie y definamos \( L \) por
\L = Límites n a infty \izquierda| a_n|derecha|^{frac{1}{n}}= límites_n {a \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} .\]
Entonces se cumple lo siguiente:
1. Si \( L < 1 \) entonces la serie es absolutamente convergente.
2. 2. Si L > 1, la serie diverge.
3. 3. Si \( L = 1 \), la prueba no es concluyente.
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