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En este artículo cubrimos las pruebas de convergencia para series.
Pruebas de convergencia en cálculo
Hay muchos tipos diferentes de pruebas de convergencia de series. En cálculo, te fijas en las que son relativamente sencillas de aplicar y en las que se utilizan con frecuencia. Algunas pruebas tienen un resultado que te indica cuándo una serie converge y cuándo diverge. Algunas sirven específicamente para comprobar la divergencia. Aquí verás algunas de las que consisten en comparar una serie con una segunda serie.
Algunos tipos de series son muy útiles cuando haces pruebas de comparación. Consulta Series aritméticas, Series geométricas, Series alternas y Series P para obtener más información sobre esas series concretas y cuándo convergen o divergen.
Pruebas de convergencia de series
Supongamos que quieres saber si la serie \[\suma_{n=1}^{\infty}a_n\] converge o diverge. Si sabes algo sobre otra serie, a veces puedes comparar la que tienes con la que conoces.
Laspruebas de este tipo se llaman Pruebas de Comparación. Aquí verás dos de las más comunes, la Prueba de Comparación Directa y la Prueba de Comparación Límite, y en la siguiente sección de este artículo hay ejemplos que muestran cómo utilizarlas.
Empezaremos primero con la Prueba de Comparación Directa.
Prueba de comparación directa
Sea \[\suma_{n=1}^{\infty} a_n\] una serie con términos no negativos.
1. La serie \[\suma_{n=1}^{infty} a_n\\] converge si existe una serie convergente \[\suma_{n=1}^{infty} c_n\] con \(a_n\leq c_n\) para todo \(n>N\) para algún \(N\in\mathbb{N}.\)
2. La serie \[\suma_{n=1}^{infty} a_n\] diverge si existe una serie divergente
\[\suma_{n=1}^{infty} d_n\] de términos no negativos con \(a_n\geq d_n\) para todo \ (n>N\) para algún \(Nin\mathbb{N}\).
En el enunciado de la Prueba de Comparación Directa, se requiere que la serie
\[\suma_{n=1}^{\infty} a_n\]
tenga términos no negativos. Resulta que eso es muy importante.
Por ejemplo, si tu serie es
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n},\]
que es la serie armónica alterna, e intentaste utilizar la prueba de comparación directa con la serie armónica negativa
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n}\]
que diverge (véase Serie P para más información sobre la serie armónica), te encontrarías con que \(a_n\geq d_n\), lo que te llevaría a concluir que la serie armónica alterna diverge porque la serie armónica lo hace. En realidad, la serie armónica alterna converge (para más detalles, consulta Series alternas), mientras que la serie armónica negativa no. Así que es muy importante asegurarse de que las series con las que trabajas tienen las propiedades correctas antes de aplicar la Prueba de Comparación Directa.
Pasamos ahora a la Prueba de Comparación de Límites.
Prueba de comparación de límites
Supongamos que \(a_n>0\) y \(b_n>0\) para todo \ (n>N\) para algún \(N\ en \mathbb{N}.\)
1. Si \[\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c\] donde \(0<c<infty\), entonces o bien ambas series divergen o bien ambas series convergen.
2. Si \[\limits_{n}{infty}{frac{a_n}{b_n}=0,\}] y \[\suma_{n=1}^{infty}{b_n}] converge, entonces \[\suma_{n=1}^{infty}{a_n}] converge.
3. Si \[\limits_{n\}a \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty] y \[\suma_n=1}^{infty} b_n] diverge, entonces \[\suma_n=1}^{infty} a_n] diverge.
Con la Prueba de Comparación Directa, necesitabas que tu serie tuviera términosno negativos. La Prueba de Comparación Limitada es más estricta, ya que requiere que tu serie tenga términos positivos. Así que la Prueba de Comparación Límite tampoco puede utilizarse en series alternas.
¿Puedes aplicar siempre la Prueba de Comparación de Límites a una serie con términos positivos?
Veamos dos series, la serie Armónica y la serie P con \(p=2\). Ya sabes que la serie Armónica diverge, y cuando \(p=2\) la serie P converge.
Si intentas utilizar la primera parte de la Prueba de Comparación de Límites
\[\lim\limits_{n\a\infty} = límites entre n e infty \frac{n^2}{n}=\infty,\]
y
\limita de n a infty \a \infty], y [\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=limites{n}{a \infty} \¾frac{1}{n}=0,¾]
por lo que no puedes utilizar la primera parte de la Prueba de Comparación de Límites.
¿Y si intentas aplicar la segunda parte de la Prueba de Comparación de Límites? Cuando el límite es cero, la serie armónica está ocupando el lugar de la serie
\[suma_{n=1}^{\infty} b_n.\]
Pero esta serie diverge, y para la segunda parte de la Prueba de Comparación de Límites necesitas que converja. Eso significa que no puedes utilizar la segunda parte de la Prueba de Comparación de Límites.
¿Y la tercera parte de la Prueba de Comparación de Límites? En ese caso el límite es infinito, por lo que la serie P con \(p=2\) ocupa el lugar de la serie
\[suma_{n=1}^{\infty} b_n.\}]
Pero necesitas que esta serie diverja, y sabes que en realidad converge, así que tampoco puedes aplicar esta parte de la Prueba de Comparación de Límites.
Así que, de hecho, que dos series tengan términos positivos no significa que la Prueba de Comparación de Límites te ayude a averiguar la convergencia.
Ejemplos de la prueba de convergencia
Veamos algunos ejemplos de utilización de la Prueba de Comparación Directa y la Prueba de Comparación Límite.
En los casos en que no puedas aplicar ninguno de los dos tipos de pruebas de comparación, puedes utilizar la Prueba de la Raíz o la Prueba de la Proporción. Para más detalles sobre estos dos tipos de pruebas, consulta Prueba de la Raíz y Prueba de la Proporción.
Si es posible, decide si la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+n}\]
converge o diverge
Solución
En primer lugar, observa que cada término de la serie viene dado por
\[a_n=\frac{1}{3^n+n},\]
y que \(a_n>0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Eso significa que es seguro intentar aplicar la Prueba de Comparación Directa o la Prueba de Comparación Límite.
Si ese \(n\) extra no estuviera en el denominador, se trataría de una serie geométrica, por lo que sería una buena candidata para ver si se puede aplicar la Prueba de Comparación Directa. Prueba con
\[\sum_{n=1}^{\infty} c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}.\]
Sabes que esta serie converge, ya que es una serie geométrica cuya razón común es menor que \(1\). Comprobando los términos de ambas series, como \(3^n+n>3\), tienes que
\[a_n=\frac{1}{3^n+n}<\frac{1}{3^n}=c_n.\]
Eso significa que, utilizando la primera parte de la Prueba de Comparación Directa, sabes que
\[suma_{n=1}^{\infty} a_n\]
converge porque
\suma_n=1}^{infty} c_n]
converge.
Si es posible, decide si la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-n}\]
converge o diverge.
Solución
Éste es casi igual que el ejemplo anterior, salvo por la resta en el denominador en lugar de la suma. Aquí
\[a_n=\frac{1}{3^n-n}.\]
Puedes intentar hacer la prueba de comparación directa con la misma serie geométrica
\[\sum_{n=1}^{\infty} c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n},\]
pero \(3^n-n<3^n\), lo que significa \(a_n>c_n\), y la desigualdad va en sentido contrario al que tú quieres. Así que, para este problema, tendrás que probar la Prueba de Comparación de Límites.
Al utilizar la primera parte de la Prueba de Comparación de Límites, en realidad puedes intercambiar los papeles de las series, porque si sabes que una converge y el límite existe y es positivo, entonces ambas convergen. Si intentas tomar el límite de una forma y no funciona, prueba a cambiar los papeles de las series. Entonces prueba a tomar el límite de la primera manera,
\[\begin{align} \límite_a_infty} \y=limites_de_n a {infty}. \frac{3^n}{3^n-n}, \end{align}\]
que no parece muy divertido de evaluar. ¿Y si cambiaras los papeles de las series? Entonces verías
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to \infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\dfrac{1}{3^n}}{\dfrac{1}{3^n-n}}\\ &=limites_de {n} a {infty} {frac} {3^n-n} {3^n} {&=limites_de {n} a {infty} \left[1-\frac{n}{3^n}\right].\end{align}\]
Este límite parece mucho más abordable. Tendrás que utilizar la Regla de L'Hôpital en la segunda parte del límite para evaluarlo, y obtendrás
\[\begin{align}\limits_{n\to \infty} \y = límites entre n e infty. \left[1-\frac{n}{3^n}\right]\\&=1-\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{3^n\ln{(3)}}\\&=1-0\\&=1.\end{align}\]
Como el límite existe y es positivo, según la primera parte de la Prueba de Comparación de Límites, si una serie converge, entonces convergen las dos. Como sabes que la serie geométrica converge, por la prueba de comparación de límites también lo hace
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-n}.\]
Para recordar cómo hacer límites con formas indeterminadas, consulta la Regla de L'Hôpital.
Si es posible, decide si la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{n}\]
converge o diverge.
Solución
Es algo parecido a la serie armónica, salvo que hay un logaritmo natural en el numerador. Como \(n\geq 1\), sabes que
\[a_n=\frac{\ln{n}}{n}\geq 0,\]
por lo que la serie en cuestión tiene términos no negativos. Como es como la serie armónica, es una buena serie con la que comparar primero. Sabes que \(\ln{(n)}>1) para \(n>3), así que
\[\frac{ln{(n)}}{n}>\frac{1}{n}{cuadrado \text{para}{cuadrado n>3.\}].
Recuerda que \(\ln{e}=1\), y \(e\) es menor que 3, por lo que tomar \(n>3\) significa \(\ln{(n)}>1\).
Tomando \(N=3\) en el enunciado de la Prueba de Comparación Directa, y
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},\]
puesto que la serie armónica diverge por la prueba de comparación directa, también lo hace
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{(n)}}{n}.\] xml-ph-0000@deepl.internal
Veamos otro ejemplo.
Si es posible, decide si la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}\]
converge o diverge.
Solución
En este ejemplo
\[a_n=\frac{1}{n3^n}\]
que sin duda es positivo. La cuestión es si utilizas la prueba de comparación de límites con la serie geométrica \[\suma_{n=1}^{infty}c_n=\suma_{n=1}^{infty}\frac{1}{3^n}].
o la serie armónica
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]
Si puedes utilizar la serie armónica y la prueba de comparación de límites, podrás demostrar que la serie original diverge. En cambio, si puedes utilizar la serie Geométrica y la Prueba de Comparación de Límites, demostrarás que la serie original converge. Si no tienes una buena intuición sobre cuál probar, la respuesta es probar una, y si no sirve de nada, utilizar la otra.
Probemos primero con la serie armónica. Entonces
\[\begin{align} \frac{a_n}{d_n}&=limita{n}{a_n}=limita{n}{d_n} \frac{\frac{1}{n3^n}}{\frac{1}{n}}\\&=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n3^n}.n\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{3^n}\\&=0.\end{align}\]
Eso no sirve de nada, porque si el límite es cero necesitas que la segunda serie converja, y ya sabes que la serie Armónica diverge. Así que la serie Armónica no es útil con la Prueba de Comparación de Límites para demostrar que la serie que te interesa diverge.
En su lugar, prueba con la Serie Geométrica. Tomando ese límite
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{c_n}&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n3^n}}{\frac{1}{3^n}}\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n3^n}.3^n\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\\&=0.\end{align}\]
En realidad, esto es útil, porque sabes que la serie geométrica converge. Eso significa que la segunda parte de la Prueba de Comparación de Límites te da que
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}\]
converge, ya que la serie geométrica sí lo hace.
Prueba de convergencia de integrales
Puedes averiguar si una serie converge o diverge si encuentras una integral con la que compararla. Para una explicación y detalles de cómo hacerlo, junto con ejemplos, consulta Prueba de la integral.
Pruebas de convergencia de secuencias
Aunque saber cuándo una secuencia converge o diverge puede ayudarte a la hora de analizar series, aquí se trata la convergencia de series. Para pruebas de convergencia de secuencias, consulta Límite de una secuencia.
Pruebas de convergencia - Puntos clave
Prueba de comparación directa
Sea
\[\suma_{n=1}^{\infty}a_n\] una serie con términos no negativos.
1. La serie \[\suma_{n=1}^{infty}a_n\\] converge si existe una serie convergente \[\suma_{n=1}^{infty} c_n\] con \(a_n\leq c_n\) para todo \(n>N\) para algún \(N\in\mathbb{N}.\)
2. La serie \[suma_{n=1}^{infty}a_n] diverge si existe una serie divergente \[suma_{n=1}^{infty}d_n] de términos no negativos con \(a_ngeq d_n) para todo \ (n>N\) para algún \( N\in \mathbb{N}.\).
Prueba de comparación de límites
Supongamos que \(a_n>0\) y \(b_n>0\) para todo \ (n>N\) para algún \(N\in\mathbb{N}\).
1. Si \[\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=c\] donde \(0<c<infty\) entonces o bien ambas series divergen o bien ambas series convergen.
2. Si \[\limlimits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0 \] y \[\sum_{n=1}^{infty}b_n\] convergen, entonces \[\sum_{n=1}^{infty}a_n\]
converge.
3. Si \[\limits_n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty] y \[\suma_n=1}^{infty}b_n] divergen, entonces \[\suma_n=1}^{infty}a_n]
diverge.
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