Cuando practicas el lanzamiento de una pelota a una diana, empiezas quedándote en el mismo sitio hasta que das en la diana varias veces. Entonces empiezas a preguntarte a qué distancia puedes moverte de tu punto inicial y seguir dando en la diana. Tal vez puedas alejarte unos 30 cm del punto de partida y seguir dando en la diana, pero si te alejas más, fallarás. Esa distancia desde el punto inicial en la que las cosas siguen funcionando es como el radio de convergencia de una serie, y el espacio real en el que puedes moverte y seguir dando en el blanco es como el intervalo de convergencia.
Un tipo popular de series son las series de potencias, que son series de la forma \(\suma_{n}^infty c_nx^n\), cuya convergencia dependerá del valor de \(x\). En este artículo, verás cómo encontrar los valores de \(x\), para los que converge la serie de potencias. En otras palabras, aprenderás a calcular su radio de convergencia y su intervalo de convergencia.
Definición de radio de convergencia
Como ya hemos dicho, la convergencia de la serie de potencias depende de los valores de \(x\).
Dada una serie de potencias
\[\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n,\]
sólo una de las tres afirmaciones siguientes es cierta:
(a) La serie converge sólo para \(x=x_0\).
(b) La serie converge para todo \(x\).
(c) Existe un número \(R>0\) tal que la serie converge para \(|x-x_0| < R\) y diverge para \(|x-x_0| > R\) .
El número \(R\) en el caso (c) se conoce como radio de convergencia de la serie de potencias, y el intervalo de convergencia es el intervalo compuesto por todos los puntos \(x\) en los que converge la serie.
Para una serie de potencias
\[\suma_limits_{n=1}^\infty c_n(x-x_0)^n ,\]
la relación entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia se muestra en la tabla siguiente.
Tabla 1. Relación entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia.
Radio de convergencia
Intervalo de convergencia
\(R=0\)
\(\{x_0\}\)
\(R=\infty\)
\((-\infty,\infty)\)
\(R>0\)
\((x_0-R,x_0+R)\),\( (x_0-R, x_0+R]\),\( [x_0-R, x_0+R)\), o \( [x_0-R, x_0+R]\)
Radio de convergencia de las series de potencias
Una serie de potencias centrada en \(x_0\) (o una serie de potencias en torno a \(x_0\)) es una serie de la forma
donde \(x\) es una variable, y \(x_0) y \(c_n\) son números reales. Los \(c_n\) se llaman coeficientes de la serie.
Para cada valor de \(x\), la serie puede converger o divergir. El radio de convergencia de una serie es lo que te dirá para qué valores de \(x\) converge.
Prueba de razón y radio de convergencia
Para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias, puedes utilizar la Prueba de la Relación (o a veces la Prueba de la Raíz).
La Prueba de la Relación establece que converge si \(|3x|<1\), es decir, \(|x|<\dfrac{1}{3}\). Por tanto, el radio de convergencia es \(R=\dfrac{1}{3}\).
Radio de convergencia de las series geométricas
Un caso especial de serie de potencias es la serie geométrica dada por
\[\sum\limits_{n=0}^\infty ax^n,\]
donde \(a\) es una constante.
Puedes calcular su radio de convergencia mediante la Prueba de la Razón, igual que para otras series de potencias. En este caso, los términos de la serie vienen dados por \(a_n=ax^n\), por lo que
La Prueba de la Relación dice que converge si \(|x|<1\), y por tanto el radio de convergencia es \(R=1\).
Para saber más sobre este tipo de series, visita el artículo Series geométricas.
Radio de convergencia de \(\sin (x)\)
Para calcular el radio de convergencia de la función \(\sin x\), recuerda que puedes reescribir la función utilizando su serie de Taylor o de Maclaurin. La serie de Maclaurin de la función \(\sin x\) viene dada por
Como el límite es cero independientemente de \(x\), significa que la serie converge para cualquier valor de \(x\), y por tanto la serie de \(\sin x\) tiene radio de convergencia \(R=\infty\).
Ejemplos de radio de convergencia
Aquí tienes algunos ejemplos.
¿Para qué valores de \(x\) la serie
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n}\]
¿converge?
Responde:
Observa que los términos de la serie vienen dados por \(a_n=\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}). Calculando el límite
Puedes factorizar el \(5|x-2| \) delante del límite porque no depende de \(n\). Para recordar por qué el límite de \(\frac{n}{n+1}}) es igual a \(1\), consulta el artículo Límite de una secuencia.
Por la Prueba de la Razón, tienes que la serie converge cuando \(5|x-2|<1\), es decir, cuando
\[\frac{9}{5} < x < \frac{11}{5} .\]
Por último, queda por ver qué ocurre en los puntos finales \(x=\dfrac{9}{5}\) y \(x= \dfrac{11}{5}\). ¡Tienes que comprobarlos por separado!
Por la Prueba de la Relación, la serie converge para \(x\) donde \(\dfrac{|x+3|}{7} < 1\), que es lo mismo que \(|x+3|<7\). Esto puede escribirse como \(-7<x+3<7\), lo que significa que necesitas \(-10<x<4\). Por tanto, el radio de convergencia es \(R=7\).
Cuando encuentres el intervalo de convergencia, ¡no olvides comprobar los puntos extremos! Para \(x=-10\), tienes
Por tanto, el intervalo de convergencia es \((-10,4)\}.
Radio de convergencia - Puntos clave
Sea \(\suma_limites_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\) una serie de potencias sobre \(x_0\).
El radio de convergencia de la serie es un valor real \(R>0\), para el que la serie converge para todo \(x\) tal que \(|x-x_0| < R\) y diverge para todo \(x\) tal que \(|x-x_0| > R\).
Si la serie sólo converge para \(x=x_0\), entonces \(R=0\).
Si la serie converge para todos los valores de \(x\), entonces \(R=\infty\).
El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo compuesto por todos los puntos \(x\) en los que converge la serie.
Para calcular el radio de convergencia, puedes utilizar la Prueba de la Razón o la Prueba de la Raíz.
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Lily Hulatt
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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