Regla de Simpson

Derivación de la regla de Simpson

La Regla de Simpson utiliza el simple hecho de que podemos construir una ecuación cuadrática a partir de tres puntos cualesquiera. Al igual que la Regla Trapezoidal, la Regla de Simpson crea n subintervalos . Para cada par de subintervalos consecutivos $\left[x_{i-1},x_i\right]$ y $\left[x_i,x_{i+1}\right]$la regla de Simpson construye una ecuación cuadrática de la forma $y=a{x}^2+bx+c$ a través de los tres puntos $(x_{i-1},f(x_{i-1}\left)\right),(x_i,f(x_i\left)\right),(x_{i+1},f(x_{i+1}\left)\right)$.

Utilizando la ecuación de una curva cuadrática, podemos hallar el área bajo la curva que pasa por los puntos $(x_{i-1},f(x_{i-1}\left)\right),(x_i,f(x_i\left)\right),(x_{i+1},f(x_{i+1}\left)\right)$. Dejando que $x_{i-1}=-h,x_i=0,$ y $x_{i+1}=h$ e integrando sobre el intervalo $\left[-h,h\right]$ tenemos

$$\begin{gathered} area={\int }_{-h}^{h}a{x}^2+bx+cdx \\ =\left(\frac{a\left(h^3\right)}{3}+\frac{b{\left(h\right)}^2}{2}+c\left(h\right)\right)-\left(\frac{a(-h^3)}{3}+\frac{b{(-h)}^2}{2}+c(-h)\right) \\ =\frac{2a{h}^3}{3}+2ch \\ =\frac{h}{3}\left(2a{h}^2+6c\right) \end{gathered}$$

La regla de Simpson construye subintervalos de curvas cuadráticas entre tres puntos - StudySmarter Originals

Puesto que los puntos $x_{i-1}=-h,x_i=0,$ y $x_{i+1}=h$ están todos en la parábola, podemos decir

$$\begin{gathered} f(-h)=a{h}^2-bh+c \\ f\left(0\right)=c \\ f\left(h\right)=a{h}^2+bh+c \end{gathered}$$

Observa que

$$\begin{gathered} 2a{h}^2+6c=f(-h)+4f\left(0\right)+f\left(h\right) \\ =a{h}^2-bh+c+4c+a{h}^2+bh+c \\ =2a{h}^2+6c \end{gathered}$$

Por tanto, podemos decir que el área bajo la parábola es

$area=\frac{h}{3}\left(f(-h)+4f\left(0\right)+f\left(h\right)\right)$

Sin embargo, al aplicar la Regla de Simpson, solemos utilizar más de una curva parabólica. Esencialmente, acabamos "integrando" una función cuadrática a trozos. Así, nuestra ecuación del área pasa a ser

$area\approx \frac{∆x}{3}\left(f\left(x_{i-1}\right)+4f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right)+\frac{∆x}{3}\left(f\right(x_{i+2})+f(x_{i+3})+f(x_{i+4})+...+\frac{∆x}{3}(f\left(x_{n-2}\right)+f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right))$

donde $∆x$ es la distancia entre cada $x_i$

La Regla de Simpson construye una parábola a partir de un grupo de tres puntos y suma el área bajo cada curva parabólica para aproximar el área total bajo la curva - StudySmarter Originals

Simplificando esta ecuación, obtenemos una aproximación para la integral definida de una función f(x ) llamada Regla de Simpson, que establece

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{∆x}{3}\left[f\left(x_0\right)+4f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+4f\left(x_3\right)+2f\left(x_4\right)+...+2f\left(x_{n-2}\right)+4f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right]$

donde n es el número de subintervalos, $∆x=\frac{b-a}{n}$y$x_i=a+i∆x$.

Error de la Regla de Simpson

A diferencia de la Regla Trapezoidal, en la que podemos determinar si nuestra aproximación es una sobreestimación o una subestimación basándonos en la concavidad de la curva, con la Regla de Simpson no hay indicadores claros de sobreestimación o subestimación. Sin embargo, podemos utilizar los errores relativo y absoluto para saber más sobre cómo se compara nuestra estimación con el valor real.

Error relativo

Calculamos el error de un cálculo de la Regla de Simpson utilizando la fórmula del error relativo:

$\begin{array}{rcl}Relativeerror& =& \frac{\left|approximation-actual\right|}{actual}\times 100\%\\ & =& \frac{\left|S_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|}{{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\end{array}$

donde $S_n$ es la aproximación de la integral por la Regla de Simpson.

Error absoluto

Además del error relativo, el error absoluto de nuestra aproximación mediante la regla de Simpson puede calcularse utilizando la fórmula del error absoluto:

$\begin{array}{rcl}Absoluteerror& =& \left|approximation-actual\right|\\ & =& \left|S_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|\end{array}$

Sin embargo, como se menciona en el artículo La regla trapezoidal, la integral no siempre puede calcularse con exactitud.

Límites de error para la regla de Simpson

Al igual que la Regla Trapezoidal, la Regla de Simpson tiene una fórmula de límite de error, que describe el error máximo posible de nuestra aproximación. Para la regla de Simpson, la fórmula de límite de error es

$\left|E_S\right|\le \frac{K{(b-a)}^5}{180n^4}$ para $\left|f^{\left(IV\right)}\left(x\right)\right|\le K$

donde $E_S$ es el error exacto de la Regla de Simpson y $f^{\left(IV\right)}\left(x\right)$ es la cuarta derivada de f(x). K es el valor máximo de la cuarta derivada en el intervalo $[a,b]$.

El uso del límite de error tendrá más sentido cuando veamos algunos ejemplos.

Ventajas y limitaciones de la regla de Simpson

Ventajas

• La Regla de Simpson es más exacta que la Regla Trapezoidal

• La regla de Simpson es exacta para funciones cúbicas (de la forma $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$), funciones cuadráticas y funciones lineales

Limitaciones

• Como se necesitan tres puntos para formar una curva cuadrática, la Regla de Simpson requiere un número par de subintervalos n

• La Regla de Simpson funciona con poca precisión para funciones muy oscilantes

Ejemplos de uso de la regla de Simpson para estimar la integral

Ejemplo 1

Ejemplo 2