Relaciones implícitas en cálculo
Los tipos de ecuaciones con los que probablemente estés acostumbrado a trabajar en cálculo son ecuaciones de la forma
\y=texto{expresión en términos de}x.\]
Este tipo de ecuaciones definen relaciones explícitas, es decir, en las que puedes resolver explícitamente \(y\). Sin embargo, muchas de las ecuaciones interesantes con las que te toparás en cálculo no son tan sencillas.
A veces, son de la forma
\[ \text{expresión en términos de }x \text{ e }y=\text{expresión en términos de }x \text{ e }y.\}].
Estas ecuaciones definen relaciones implícitas.
Una relación implícita en matemáticas es aquella en la que no puedes resolver explícitamente una variable para escribir la relación como una función.
Veamos un ejemplo.
En la ecuación, \ (x^3+y^3=6xy\) ¿puedes resolver explícitamente para \(y\)?
Solución:
No, no hay forma de escribirlo como \(y=\text{expresión en términos de}x. \) Por tanto, se trata de una relación implícita. De hecho, es una especialmente famosa, llamada el folium de Descartes. Si graficas la relación, se parece al gráfico siguiente.
Fig. 1 - Gráfico del folium de Descartes.
Observa que no es una función, ya que no supera la prueba de la línea vertical.
La prueba de la línea vertical dice: "Si una línea vertical corta una gráfica dos veces, esta gráfica no es una función explícita". Para recordar la prueba de la recta vertical y las funciones definidas explícitamente, consulta el artículo Funciones.
Relaciones implícitas en Matemáticas
¿Cuál es la forma general de una relación implícita? Es una ecuación de la forma
\[f(x,y)=g(x,y)\]
donde \(f(x,y)\) y \(g(x,y)\) son funciones de dos variables.
En el contexto del cálculo, una relación implícita se define por una ecuación en la que la variable dependiente no está aislada en un lado de la ecuación. Aunque puedes ampliar esto a más de dos variables, de momento vamos a ceñirnos a dos, ya que a menudo se pueden representar gráficamente de forma agradable.
Un círculo centrado en el origen con radio \(2\) es un ejemplo de relación implícita dada por la ecuación
\[x^2+y^2=4.\]
Para escribirla en la forma dada anteriormente, que \(f(x,y) = x^2+y^2\) y \(g(x,y) = 4.\) Nadie dijo que tuviera que haber un \(x\) o \(y\) real tanto en \(f\) como en \(g.\)
Aunque estas ecuaciones no sean funciones, puedes estudiarlas.
Una relación binaria (sobre los números reales) es un conjunto de pares ordenados \((x,y)\) de números reales.
¡Una relación binaria puede ser una función! Puede o no escribirse como una ecuación.
La ecuación \(y-x^2=0\) define la relación binaria
\[\(x,x^2)\text{ para }x\in\mathbb{R}\}.\]
Observa que, de hecho, se trata de una función, ya que puede escribirse como (y=x^2).
Si escribes la ecuación como una relación binaria, tratas \( y-x^2=0\) como una regla que te dice si un determinado par de números debe estar en su relación correspondiente .
Elige cualquier par de números reales \((a,b)\). Si \(b-a^2=0\), entonces pertenece a la relación correspondiente a la ecuación \(y-x^2=0\). Esto sólo ocurre cuando \(b=a^2). En caso contrario, \((a,b)\) no pertenece a la relación.
¡No todas las relaciones binarias son funciones!
Observa la relación definida por la ecuación \ (x^2+y^2=1\). Es un círculo centrado en el origen de radio \(1\). Escribiéndola como una relación binaria, obtienes
\izquierda( x,\pm\sqrt{1-x^2}\derecha)\text{ para }x\en[-1,1]\derecha}.
Por tanto, esta relación binaria no es una función.
De hecho, \(x^2+y^2=1\) se escribe implícitamente, mientras que puedes escribirlo explícitamente como \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\).
No todas las relaciones, ni siquiera todas las funciones, pueden definirse mediante una ecuación. De hecho, ¡la mayoría de las funciones matemáticas no pueden definirse mediante una ecuación! Si metieras la mano en un sombrero que contuviera todas las funciones posibles sobre los números reales, lo más probable es que eligieras una que no pudiera definirse mediante una ecuación o algoritmo. A tales funciones las llamamos funciones incomputables.
Necesitarás cierta terminología para hablar de las relaciones binarias. Dada cualquier relación binaria y cualquier elemento \((a,b)\) en esa relación:
\(a\\) es una entrada de esa relación;
\(b\) es una salida de esa relación; y
una función es un tipo particular de relación que sólo puede tener una salida por cada entrada.
En otras palabras, si \((a,b)\) es un elemento de una función y \((a,c)\) es también un elemento de una función, entonces \(b=c\).
Gráficos de relaciones implícitas
La gráfica de una relación implícita es el conjunto de puntos del plano que corresponden a pares ordenados en esa relación. Los gráficos y las relaciones no son exactamente lo mismo. Una relación no es más que un conjunto de pares ordenados de números. La gráfica de una relación es una interpretación geométrica de esa relación; asigna pares ordenados de números a puntos del plano.
La relación correspondiente a la ecuación \(y^2=x^3-x+0,2\) es el conjunto
\[\left\{ ( x,y): \; y^2=x^3-x+0,2 \right\}]
El gráfico correspondiente a esta relación tiene el siguiente aspecto:
Fig. 2 - El gráfico correspondiente a una relación es una forma de ver geométricamente los elementos de esa relación.
Éste es un ejemplo de curva elíptica, un tipo de curva importante en Teoría de Números. Este tipo de curvas fueron esenciales para la demostración de Andrew Wiles del Último Teorema de Fermat, y también son importantes en criptografía.
Observa que esta curva no es una función, ya que no supera la prueba de la línea vertical.
Veamos otro ejemplo.
Se trata de otra curva elíptica, \(y^2 = x^3 - x + 1\). Observa que tampoco es una función, sino una relación implícita.
Fig. 3 - Otro ejemplo de curva elíptica.
Si quieres saber cuándo puedes tomar una relación implícita y descomponerla en trozos que sean realmente funciones, necesitarás el Teorema de la Función Implícita. Esto implica tomar derivadas parciales.
Para recordar las derivadas parciales, consulta Diferenciación implícita.
Derivadas de relaciones implícitas
La derivada de una relación implícita puede hallarse utilizando derivadas parciales. Veamos rápidamente un ejemplo, y para más información sobre cómo tomar derivadas parciales, consulta el artículo Diferenciación implícita.
Halla la derivada de la relación implícita definida por la ecuación \(y^2=x^3-x+1\).
Solución:
Empieza por diferenciar ambos lados de la relación:
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(x^3-x+1).\]
El lado derecho de la ecuación se puede diferenciar como de costumbre:
\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(x^3-x+1)&=dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x }(x^3)+dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x }(-x)+dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x }(1) &= 3x^2 -1+0 &=3x^2-1fin].
Recuerda que \(y\) es función de \(x\). Así que tomando la derivada del lado izquierdo de la ecuación obtienes
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(y^2)=2yy'\]
donde has utilizado la Regla de la Cadena.
Juntándolos, obtienes
\[ 2yy' =3x^2-1 ,\]
así que
\[y' = \frac{3x^2-1 }{2y}.\]
Quizá te preguntes por las rectas tangentes para las relaciones implícitas. Para más información y ejemplos al respecto, consulta el artículo Encontrar rectas tangentes implícitas.
Relaciones implícitas - Puntos clave
- Una relación implícita en matemáticas es aquella en la que no puedes resolver explícitamente una variable para escribir la relación como una función.
- Todas las funciones pueden escribirse explícitamente.
- No todas las ecuaciones pueden escribirse explícitamente.
- Una relación binaria (sobre los números reales) es un conjunto de pares ordenados \((x,y)\) de números reales.
- Todas las funciones son relaciones binarias.
- No todas las relaciones binarias son funciones.
- Dada una relación binaria cualquiera y un elemento cualquiera \((a,b)\) de esa relación:
\(a\) es una entrada de esa relación;
\(b\) es una salida de esa relación; y
una función es un tipo particular de relación que sólo puede tener una salida por cada entrada.
- La derivada de una relación implícita puede hallarse utilizando derivadas parciales.
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