Serie alternante

Volviendo a la serie armónica alterna, ya sabes que la primera condición de la prueba de la serie alterna se cumple porque

$a_n=\frac{1}{n}>0$.

Condición 2: Puesto que

$a_n=\frac{1}{n}$ y $a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$

sabes que $a_n>\hspace{0.17em}{a}_{n+1}$ porque$n<n+1$lo que implica que

$\frac{1}{n}>\hspace{0.17em}\frac{1}{n+1}$,

entonces se cumple la segunda condición.

Condición 3: También sabes que

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$,

por lo que se cumple la tercera condición.

Eso significa que puedes aplicar la Prueba de la Serie Alterna para afirmar que la Serie Armónica Alterna converge.

Recuerda que la Serie Armónica diverge, por lo que a veces cambiar algo de una serie regular a una serie alterna puede hacer que pase de divergente a convergente.

Sabes que la serie P

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}\right)}^2$

converge porque $p=2$.

Qué se puede decir de la serie P alterna

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{n^2}$?

Respuesta: Antes de aplicar la Prueba de la Serie Alternante debes asegurarte de que se cumplen todas las condiciones.

Condición 1: Aquí

$a_n=\frac{1}{n^2}>0$

por lo que se cumple la primera condición.

Condición 2: Sabes que

$a_n=\frac{1}{n^2}$

y

$a_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{1}{n^2+2n+1}<\frac{1}{n^2}=a_n$,

por lo que se cumple la segunda condición.

Condición 3: Mira el límite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$,

por lo que se cumple la tercera condición.

Eso significa que la Prueba de la Serie Alternante te dice que la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{n^2}$

converge.

¿Puedes utilizar la prueba de la serie alterna para saber si la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\sqrt{n}}$

converge?

Contesta:

Comprobemos las condiciones de la Prueba de la Serie Alternante.

Condición 1: Para esta serie

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}>0$,

por lo que se cumple la primera condición.

Condición 2: Aquí

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ y $a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.

Puede que no tengas una buena intuición de cómo $a_n$ y $a_{n+1}$ entre sí, así que probemos un valor para $n$ y veamos qué ocurre. Si $n=10$entonces

$a_{10}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0.3162$y $a_{11}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015$,

lo que significa que $a_{10}>\hspace{0.17em}{a}_{11}$. Esta es la dirección que esperarías que siguiera la desigualdad. De hecho, como $n<n+1$sabes que $\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ lo que implica

$\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$,

por lo que en general $a_n>a_{n+1}$. Ahora sabes que se cumple la segunda condición.

Condición 3: Observa el límite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$,

por lo que la tercera condición también se cumple.

Ahora, por la prueba de la serie alterna, sabes que la serie converge.

Como en el ejemplo anterior, puedes demostrar que las sumas parciales de la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n+1}$

divergen, lo que significa que la serie diverge. ¿Qué ocurre si intentas utilizar la prueba de las series alternas?

Respuesta:

En primer lugar, veamos la secuencia de sumas parciales de esta serie. Sabes que

$\begin{array}{ccc}{s}_1& =& 1\\ s_2& =& 1-1=0\\ s_3& =& 0+\hspace{0.17em}1=1\\ s_4& =& 1-1=0\\ & ⋮& \end{array}$

por lo que, de hecho, la secuencia de sumas parciales diverge, lo que por definición significa que la serie diverge.

Para aplicar la Prueba de la Serie Alternante necesitas que se cumplan las tres condiciones. Para esta serie $a_n=1$ para cualquier $n$lo que significa que se cumple la primera condición. Pero cuando compruebes la segunda condición necesitas que $a_n>a_{n+1}$o, en otras palabras, que $1>1$ lo cual no es cierto. Peor aún es cuando compruebas el límite en la tercera condición, ya que

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$,

que definitivamente no es cero. Así que, aunque observando las sumas parciales sepas que esta serie diverge, no puedes utilizar la Prueba de las Series Alternas para decir nada al respecto.

Mira la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}n}{2n-1}$.

Esta serie diverge, lo que significa que falla una o más de las tres condiciones de la Prueba de la Serie Alternante. ¿Qué condición falla?

La respuesta:

Aquí

$a_n=\frac{n}{2n-1}$,

y puedes ver que se cumple la primera condición.

Condición 2: Para comprobar la condición 2, demostrar que $a_n>\hspace{0.17em}{a}_{n+1}$ es lo mismo que demostrar que $a_n-a_{n+1}>0$. Así que

id="5135620" role="matemáticas" $$\begin{gathered} a_n-a_{n+1}=\frac{n}{2n-1}-\frac{n+1}{2(n+1)-1} \\ =\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+\hspace{0.17em}1\right)} \\ =\frac{1}{4n^2-1} \\ >\frac{1}{4n^2} \\ >0 \end{gathered}$$

y se cumple la segunda condición.

Condición 3: Observar el límite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}$,

que definitivamente no es cero. Eso significa que falla la condición 3 de la Prueba de la Serie Alternante.

Veamos la serie armónica alterna. Ya sabes que los términos del Teorema del Límite de la Serie Alternante se cumplen a partir de un ejemplo anterior. Eso significa que puedes aplicar con seguridad el Teorema del Límite de la Serie Alternante.

Supongamos que sumas los 10 primeros términos. ¿Cuánto se aleja la suma parcial de la respuesta real?

Respuesta: Si haces el cálculo

$s_{10}=\frac{1267}{2520}\approx 0.6456$,

por lo que, utilizando el teorema del límite de la serie alterna, el error de truncamiento para $s_{10}$ es menor que

id="5135635" role="matemáticas" $a_{11}=\frac{1}{11}$.

El hecho de que el término ${\left(-1\right)}^{11}$ sea negativo te indica que se trata de una subestimación y no de una sobreestimación.