Definición de serie aritmética
En primer lugar, recuerda que una sucesión aritmética es aquella en la que la distancia entre términos es una constante. Así, un ejemplo de secuencia aritmética sería \( \{ 3, 6, 7, 9, \dots \} \), donde la distancia entre términos sucesivos es siempre \( 2 \).
En general, una sucesión aritmética tiene la forma \( \{a, a+d, a+2d, a+3d, \dots \} \) donde \(a \) y \( d \) son números reales. La distancia entre términos sucesivos es siempre \( d\).
Una serie aritmética es aquella cuyos términos son una sucesión aritmética.
La fórmula de una serie aritmética
Naturalmente, quieres una forma compacta de escribir una serie aritmética.
Una serie aritmética es una serie de la forma
\[ \suma_limits_{n=0}^\infty (a + dn) \]
donde \(a \) y \( d \) son números reales constantes.
La suma de una serie aritmética
Puedes preguntarte si una serie aritmética converge. Lo primero que debes probar es la Prueba del Enésimo Término para la Divergencia. La prueba del enésimo término para la divergencia te dice que si
\[ \limits_{n \a \infty} (a+dn) \]
no existe, o tiene un límite que no es cero, entonces la serie aritmética diverge. Pero \( a \) y \( d\) son constantes, por lo que si \( d \not= 0\) este límite no existe y la serie aritmética diverge. En cambio, si \( d=0\) entonces
$$ \limites_n \a \infty} (a+dn) = \limites_n \a \infty} a = a $$
Como \( a \not= 0\) entonces sabes que la serie aritmética diverge. Eso te lleva a que sólo una serie aritmética puede converger, y es aquella en la que la secuencia aritmética correspondiente es \( \ {0, 0, 0, \ puntos \} \), ¡lo cual no es muy interesante!
Entonces, ¿por qué te interesan las series aritméticas?
La fórmula de las sumas parciales de una serie aritmética
La respuesta a por qué pueden interesarte las series aritméticas está en las sumas parciales. Aunque la serie no converja, las sumas parciales pueden seguir siendo útiles. Así que examinemos las sumas parciales de la serie aritmética:
$$ \begin{array}{lll} s_0 &=& a \\ s_1 &=& 2a + d \ s_2 &=& 3a + 3d \ s_3 &=& 4a + 6d \ s_4 &=& 5a + 10d. \fin{array} $$
Esto no parece muy útil hasta ahora para intentar encontrar un patrón. A veces, en matemáticas, pruebas algo y luego descubres que no era muy útil, así que pruebas algo diferente. Esto forma parte del proceso de descubrimiento y no significa que hayas hecho algo mal.
En lugar de eso, intentemos ver la suma parcial completa \( s_{n-1} \) escrita de forma más larga:
\[ s_{n-1} = a + (a + d) + puntos + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) . \].
Parece que muchos de esos términos son similares, así que ¿qué ocurre si los escribes al revés? Entonces
\[ s_{n-1} = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + \dots + (a + d) + a . \]
Si sumas las dos cosas puede que se anulen, así que inténtalo:
\[ \begin{array}{lll} 2s_{n-1} &=& a + (a + d) + \dots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d)=& [a + (a + (n-1)d] + [(a + d) +(a + (n-2)d) ] + \dots \dots && + [ (a + (n-2)d) + (a + d) ] + [(a + (n-1)d) + a] \ &=& n[2a + (n-1)d] \end{array} \]
porque hay exactamente \(n \) repeticiones de \( 2a + (n-1)d \). Así que era una cosa extraña de probar, ¡pero desde luego parece que ha ayudado! Ahora sólo queda dividir por 2 para obtener
\[ s_{n-1} = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) . \]
A veces lo verás escrito como
\suma de límites (a+kd) = frac {n} {2} (2a + (n-1)d) .
Hay más de una forma de pensar en la misma suma. Supongamos que quieres sumar los números naturales 1, 2, 3 y 4. Ya sabes que la respuesta debe ser 10, pero veamos dos formas de pensar en esto como una secuencia y una suma parcial de una serie aritmética.
Método 1:
Si piensas en la secuencia como \( \ {0, 1, 2, 3, \ puntos \} \) entonces \( a = 0 \) y \( d = 1 \). Si quieres sumar los números hasta 4, utilizarías \( n =5 \). Eso te daría la suma parcial
\[ \bbegin{array}{lll} s_{5-1} &=& s_4 \\\b} &=& \sum\limits_{k=0}^{5-1} (0 + k\cdot 1) \a=& suma_limites_{k=0}^{4} k | &=& 0 + 1 + 2 + 3 + 4 | &=& 10 , \end{array} \]
y si utilizaras la fórmula
\[ s_{n-1} = s_4 = \frac{5}{2}(0 + (5-1)\cdot 1 ) = 10. \k]
Así que este método da la respuesta correcta.
Método 2:
Si piensas en la secuencia como \( \{1, 2, 3, \ puntos \}) entonces \( a = 1 \) y \( d = 1 \). Si quieres sumar los números hasta 4, utilizarías \( n =4 \). Eso te daría la suma parcial
\[ \begin{array}{lll} s_{4-1} &=& s_3 \\\b} &=& \sum\limits_{k=0}^{4-1} (1 + k\cdot 1) \\b \(0 + 1) + (1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) &=& 10 , \end{array} \]
y si utilizaras la fórmula
\[ s_{n-1} = s_3 = \frac{4}{2}(1 + (4-1)\cdot 1 ) = 10. \k]
¡Así que este método también da la respuesta correcta!
¿Qué da? ¿Por qué ambos métodos dan la respuesta correcta? Porque lo que ocurre en realidad es una sustitución, igual que en la integración cuando haces una sustitución y cambias los límites de integración.
La clave: Cuando plantees un problema, siempre es bueno probar a mano una suma más corta para asegurarte de que la has planteado correctamente antes de pasar a hacer la suma mayor utilizando la fórmula.
Ejemplos de series aritméticas
Una de las formas más habituales de utilizar la fórmula para las sumas parciales de una serie aritmética es hallar la suma de los primeros \( n \) números naturales.
Halla la suma de los 20 primeros números naturales.
Respuesta:
En realidad, esta pregunta te pide que sumes los números 1, 2, 3, etc., hasta llegar al 20. Observa que cada uno de esos números está a 1 unidad de distancia, y a partir de la profundización anterior, puedes pensar en esto como la suma parcial
\[ s_{21-1} = s_{20} = \suma_limits_{k=0}^{20} k , \mbox{ donde } a=0, \quad d=1, \quad n=21,\]
o como
\s_{20 - 1} = s_{19} = \suma_limits_{k=0}^{19} (1+k) , \mbox{ donde } a=1, \quad d=1, \quad n=20, \]
cualquiera de los dos te dará la respuesta correcta. Si eliges la primera donde \( a = 0 \), \( d = 1 \), y \( n = 21 \), entonces
\[ s_{20} = \sum\limits_{k=0}^{20} k = \frac{21}{2}left(0 + (21 - 1)\cdot 1 \right) = 210. \]
Así que la suma de los 20 primeros números naturales es 210.
Volvamos al ejemplo del estadio del principio.
Estás construyendo un estadio de fútbol, y cada fila tiene 10 asientos menos a medida que avanzas hacia el fondo del estadio. Supongamos que el estadio tiene 800 asientos en la fila superior, y que hay 25 filas en total en el estadio. ¿Cuántos asientos hay en el estadio?
Contesta:
Primero, pensemos en las primeras filas y veamos cuál es el patrón.
Fila 1: 800 asientos
Fila 2: 790 asientos
Fila 3: 780 plazas
Ahora tienes que tener un poco de cuidado porque la fórmula de la serie aritmética empieza por la fila 0, no por la primera. Así que en vez de eso, lo que tienes es
Fila 0: 800 plazas
Fila 1: 790 plazas
Fila 2: 780 plazas
Se trata de una secuencia aritmética con \( a = 800 \) y \( d = -10 \).
Quieres saber cuántos asientos hay en el estadio si hay 25 filas. ¿Qué utilizas para \( n\)?
Haciendo una pequeña prueba, si sólo hubiera 4 filas de asientos, sumarías la Fila 0, la Fila 1, la Fila 2 y la Fila 3 para obtener un total de 4 filas de asientos. Eso haría \( n = 4 \).
Como hay 25 filas en el estadio, utilizarías puedes utilizar la fórmula de las sumas parciales de una serie aritmética con \( n = 25 \) para obtener
\[ \begin{array}{lll} s_{25-1} &=& s_{24} \\ &=& \frac{25}{2} \left( 2\cdot 800 + (25 -1)\cdot (-10) \right) &=& \frac{25}{2}(1600 - 240) &=& 17000. \fin{array} \]
Entonces habrá 17000 asientos en el estadio.
Series geométricas frente a series aritméticas
Puede ser fácil confundir las series geométricas y las aritméticas. Recuerda esto
una serie es aritmética si restas términos consecutivos y obtienes una constante
una serie es geométrica si divides términos consecutivos y obtienes una constante
Cuando pienses en series aritméticas, piensa en aritmética. Primero aprendes a sumar y restar cuando haces aritmética, así que eso es lo que ocurre con las series aritméticas.
Series aritméticas - Puntos clave
- Una sucesión aritmética tiene la forma \ ( \{a, a+d, a+2d, a+3d, \dots \} \) donde \(a \ ) y \( d \) son números reales.
- Una serie aritmética es aquella cuyos términos son una secuencia aritmética. Esto significa que una serie aritmética tiene el aspecto siguiente
\[ suma_limites_{n=0}^\infty (a + dn) . \]
- Las sumas parciales de una serie aritmética tienen la forma \[ s_{n-1} = \suma_limites_{k=0}^{n-1} (a+kd) = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) . \]
- La única serie aritmética que converge es la que tiene términos que son todos cero.
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