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Significado de la serie de Maclaurin
En el artículo sobre la serie de Taylor, puedes ver cómo escribir una función como serie de potencias utilizando sus propias derivadas, pero entonces ¿para qué sirve una serie de Maclaurin si ya podemos hacerlo utilizando la serie de Taylor?
Resumiendo, Colin Maclaurin estudió tanto el caso particular de la serie de Taylor que este caso especial recibió su nombre. Pero antes, recordemos la serie de Taylor:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \).
La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots, \].
donde \(T_f\) significa la serie de Taylor de \(f\), y \( f^(n)} \) indica la \( n\)-ésima derivada de \( f \).
Como ves, la serie de Taylor siempre está centrada en un valor dado \( x=a\), así que siempre que la centremos en \( x=0\), llamaremos a esta serie serie serie de Maclaurin, veamos:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=0 \).
La serie de Maclaurin (forma expandida ) para \( f \) es
\[ M_f(x) = f(0) + f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots, \].
donde \(M_f\) significa la serie de Maclaurin de \(f\), y \( f^(n)} \) indica la derivada \( n\)-ésima de \( f \).
Fórmula de la serie de Maclaurin
La serie de Maclaurin puede presentarse de muchas formas: escribiendo los términos de la serie o mostrando la notación sigma de la misma. Dependiendo de cada caso, una u otra será la mejor forma de presentar la fórmula de la serie de Maclaurin. Antes de ver la forma expandida de la serie, veamos ahora la notación sigma:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=0 \).
La serie de Maclaurin (notación sigma) para \( f \) es
\M_f(x) = suma_{n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , \}
donde \( f^(n)} \) indica la derivada \( n\)-ésima de \( f \), y \( f^(0)}\) es la función original \( f\).
Al final, el proceso es el mismo que el de las series de Taylor:
Paso 1: hallar las derivadas;
Paso 2: evalúalas en \( x=0 \);
Paso 3: y luego establece la serie de potencias.
Veamos un ejemplo:
Escribe la serie de Maclaurin de la función \( f(x)=\ln(1+x)\).
Solución
Paso 1: Empieza por tomar las derivadas de \(f(x)\):
\[ \begin{align} f(x)&=\ln(1+x) \\ f'(x)&=\dfrac{1}{1+x} \\ f''(x)&=-\dfrac{1}(1+x)^2} \\ f'''(x)&=dfrac{2}(1+x)^3} \\ f^(4)}(x)&=-\dfrac{6}(1+x)^4} \fin{align}\]
Analizando las derivadas, podemos identificar el siguiente patrón para \(n>0\):
\[f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\]
Observa que
- cada derivada consecutiva cambia de signo respecto a la derivada anterior, de ahí el factor \( (-1)^{n-1}\);
- ¡los numeradores forman una secuencia de regla \( (n-1)! \);
- los denominadores son sólo potencias de \( (1+x) \).
Siempre puedes comprobar esta fórmula sustituyendo n por valores enteros positivos (1, 2, 3, ...)
Paso 2: Evalúa cada derivada en \(x=0\)
\¡f''(0)&=1 f''(0)&=-1 f'''(0)&=2 f^{(4)}(0)&=-6 f^{(n)}(0)&=(-1)^{n-1}(n-1)! \end{align}\]
Paso 3: Aplica estos resultados a la fórmula de la serie de Maclaurin:
\M_f(x) = 0+ 1\cdot x+dfrac{-1}{2!}x^2+dfrac{2!}{3!}x^3+dfrac{-3!}{4!}x^4+\cdots \].
- Simplificándolo:
\[ M_f(x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots \]
- En notación sigma, tenemos
\M_f(x) = suma_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}dfrac{x^n}{n}, \]
Observa que esta serie empieza en \( n=1\) porque \(f(0)=0\).
Prueba de la serie Maclaurin
La demostración de la serie de Maclaurin es la misma que la demostración de la serie de Taylor. Es una prueba interesante y difícil de escribir.
En resumen, la prueba demuestra que
dentro del intervalo de convergencia, la serie de Taylor (o serie de Maclaurin) converge a la propia función;
Se basa en demostrar que la diferencia entre la función original y la serie se hace cada vez más pequeña para cada término que se añade a la serie.
Aunque se trata de un resultado importante para el mundo de las matemáticas, vamos a centrarnos en su aplicación. En primer lugar, comparemos la serie de Maclaurin con la función original.
Consideremos una función \( f(x) \) que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=0 \) y consideremos \(M_f(x)\) como la serie de Maclaurin de \( f\), evaluemos las derivadas de \(M_f(x)\) en \(x=0\):
\[ \begin{align} M_f(x) &= f(0) + f'(0)x+dfrac{f''(0)}{2!}x^2+dfrac{f''(0)}{3!}x^3+\cdots +dfrac{f^(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots \ M'_f(x) &= f'(0)+dfrac{f''(0)}{2!}2x+dfrac{f''(0)}{3!M''_f(x) &= f''(0)+dfrac{f''(0)}{3!}x^2+\cdots +dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}nx^{n-1}+\cdots \ {final} {f'_f(x) &= f''(0)+dfrac{f''(0)}{3!}6x+\cdots +dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}n(n-1)x^{n-2}+\cdots \final}. \]
Si evaluamos cada derivada en \( x= 0 \) tendremos lo siguiente:
\[ \begin{align} M_f(0) &= f(0) \\\ M'_f(0) &= f'(0) \ M''_f(0) &= f''(0) \ &\vdots \ M^{(n)}_f(0) &= f^{(n)}(0) \ &\vdots \end{align} \]
Observando esto puedes ver que tienes dos funciones \( f(x) \) y \( M_f(x) \) que tienen exactamente las mismas derivadas de todos los órdenes en \(x=0\), esto sólo puede significar que esas dos funciones son iguales. Por tanto, dentro del intervalo de convergencia, tienes que
\[ f(x) = M_f(x).\\]
Por tanto, tenemos que
\[ f(x) = \suma_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n . \]
Expansión de la serie de Maclaurin
Escribir la serie de Maclaurin dada una función es bastante fácil, puedes hacerlo para cualquier función que tenga derivadas de todos los órdenes. Como se ha dicho antes \( f(x) \) es igual a \(M_f(x)\) dentro del intervalo de convergencia, y ésa es la expansión de \( f(x)\).
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=0 \), y sea \(M_f\) la serie de Maclaurin para \( f \).
Entonces, para todo valor de \(x\) dentro del intervalo de convergencia,
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n .
En otras palabras, dentro del intervalo de convergencia, la serie de Maclaurin \(M_f\) y la función \(f\) son exactamente iguales, y \( M_f \) es una serie de potencias de \(f\).
Escribe la serie de Maclaurin para \( f(x) = \cos(x) \).
Solución:
Paso 1: Empieza tomando las derivadas de \(f(x)\):
\f''(x)&=-\sin(x) f''(x)&=-\cos(x) f''(x)&=-\cos(x) f''(x)&=-\sin(x) f'''(x)&=-\cos(x) f''(x)&=-\cos(x) f^(4)}(x)&=-\cos(x) f^(4)}(x)&=-\cos(x) fin].
Paso 2: Antes de encontrar un patrón para las derivadas, evaluemos cada una en \(x=0\):
\f'''(0)&=-\Nsin(0)=0 \N - f'''(0)&=-\Ncos(0)=-1 \N - f'''(0)&=-\Nsin(0)=0 \N - f^{(4)}(0)&=\Ncos(0)=1 \nd{align}\}].
Analizando los resultados podemos ver que:
- Si \(n\) es impar entonces
\[f^{(n)}(0)=0\}]
- Si \(n\) es par, entonces
\[f^{(n)}(0)=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\]
Paso 3: Aplica estos resultados a la fórmula de la serie de Maclaurin:
\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+dfrac{-1}{2!}x^2+dfrac{0}{3!}x^3+dfrac{1}{4!}x^4+dfrac{0}{5!}x^5+dfrac{-1}{6!}x^6+\cdots \cdot].
- Simplificándolo:
\[ M_f(x) = 1 -\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots. \]
- En notación sigma, y considerando el intervalo de convergencia, tenemos
\f(x) = suma_{n=0}^{infty}(-1)^{tfrac{n}{2}}dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. \]
Ejemplos de series de Maclaurin
Las series de Maclaurin pueden ser útiles para muchas otras situaciones, una vez que conoces la expansión en serie de una función dada, puedes utilizarla para hallar la expansión en serie de otras funciones relacionadas, veamos algunos ejemplos:
Encuentra una serie de potencias expansión para la función \( f(x)=x^2e^x\) centrada en \(x=0\).
Solución:
Para resolverlo, vamos a empezar escribiendo la expansión en serie de Maclaurin de la función f(x)=e^x\), ya que está centrada en \(x=0\):
Paso 1: En primer lugar, consideremos las derivadas de \( g(x)\), como se trata de la función \( e^x\) esto es fácil:
\[ g^{(n)}(x)=e^x, \para todo n\ge 0].
Paso 2: Evalúa las derivadas en \(x=0\)
\[ g^{(n)}(0)=1\]
Paso 3: Aplica el resultado en la fórmula de la serie de Maclaurin
\[ M_g(x) = \suma_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n \]
Por tanto, tenemos
\g(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{x^n}{n!}].
Podemos calcular fácilmente el intervalo de convergencia, que es \( (-\infty,+\infty)\).
- Consideremos ahora que \( f(x)=x^2\cdot g(x) \):
\[ f(x) =x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}]
- Simplificando tenemos
\f(x) &=suma_n=0}^{infty}dfrac{x^2\cdot x^n}{ ¡n!} \\ f(x) &=suma_n=0}^{infty}dfrac{x^{n+2}{ ¡n!} \end{align}\}]
Por tanto, la expansión de la serie de potencias para la función \( f(x)=x^2e^x\) centrada en \( x=0\) es
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{x^{n+2}{n!}]
He aquí otro ejemplo.
Escribe una expansión en serie de potencias para \( f(x)=\cosh(x)\) centrada en \(x=0\).
Solución:
Para resolverlo puedes utilizar la definición de serie de Maclaurin calculando cada derivada de \( f(x)\), o puedes aplicar la definición de \( \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).
Vamos a comprobar ambas, empezando por la definición de la serie de Maclaurin.
Paso 1: Calcula las derivadas de \( f(x)\):
\f''(x) &=sinh(x) f''(x) &=cosh(x) f''(x) &=sinh(x) f''(x) &=cosh(x) f'''(x) &=sinh(x) f'''(x) &=sinh(x) fin].
Paso 2: Evalúa cada derivada en \( x=0 \):
\f''(0) &=Sinh(0)=0 f''(0) &=Sinh(0)=1 f''(0) &=Sinh(0)=0 fin]]
Paso 3: Aplica estos resultados a la fórmula de la serie de Maclaurin:
\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+dfrac{1}{2!}x^2+dfrac{0}{3!}x^3+dfrac{1}{4!}x^4+dfrac{0}{5!}x^5+dfrac{1}{6!}x^6+\cdots \cdot].
- Simplificándolo:
\[ f(x) = 1 +\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots \]
- En notación sigma, y considerando el intervalo de convergencia, tenemos
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{x^{2n}}{(2n)!}].
Veamos ahora cómo podemos resolver esto utilizando la definición del coseno hiperbólico:
- Observando la definición \( \cosh(x) \) tenemos:
\[ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\]
- Del ejemplo anterior tenemos:
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]
- Evaluemos la expansión en serie con \( -x \):
\[ \begin{align} e^{-x} &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x)^n}{n!} \\ e^{-x} &= \suma_n=0}^infty}(-1)^ndfrac{x^n}{n!} \end{align}\}]
- Expandamos los términos de la serie para \( e^x\) y \( e^{-x}\) y sumémosla:
\e^{x} &= 1+x+dfrac{x^2} ¡{2!}+dfrac{x^3} ¡{3!}+dfrac{x^4} ¡{4!}+dfrac{x^5} ¡{5!}+\cdots \ {\} e^{-x} &= 1-x+dfrac{x^2} ¡{2!}-dfrac{x^3} ¡{3!}+dfrac{x^4} ¡{4!}e^x+e^{-x} &= 2+0+2dfrac{x^2} {2!}+0+2dfrac{x^4} {4!}+0+cdots \ {\ {\} e^x+e^{-x} &= 2+2dfrac{x^2} {2!}+2dfrac{x^4} {4!}+cdots \ {\}end{align}].
- Para tener el coseno hiperbólico aún tenemos que dividirlo por dos:
\[ \begin{align} \dfrac{e^x+e^-x}{2} &= \dfrac{1}{2}left(2+2\dfrac{x^2}{2!}+2\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\right) \dfrac{e^x+e^-x}{2} &= 1+dfrac{x^2}{2!}+dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{align}].
- Escribiendo con la notación sigma
\¡f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{x^{2n}}{(2n)!
Que es lo mismo que la primera parte.
Serie de Maclaurin - Puntos clave
- Serie de Maclaurin de\(f\)
\M_f(x) = suma_{n=0}^{infty}dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n].
Dentro del intervalo de convergencia, la serie de Maclaurin es igual a \(f\)
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n].
Algunas expansiones en serie de Maclaurin:
\[ \begin{align} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{¡n!} \\ sen(x) &= suma_n=0^infty(-1)^ndfrac{x^2n+1}{(2n+1)!} \\ ¾cos(x) &= ¾suma_{n=0}^{infty}(-1)^ndfrac{x^{2n}}{(2n)!} |ln(1+x) &= \suma_n=1}^{infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} |sinh(x) &= \suma_n=0}^{\infty}dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ ¾cosh(x) &= ¾suma_n=0}^{infty}{dfrac{x^{2n}}(2n)!}[/final].
- Para hallar el intervalo de convergencia, tienes que aplicar la prueba de la razón
\[ \limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1\}]
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