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Definición y ejemplo de la serie de Taylor
Un tipo específico de serie de potencias es la serie de Taylor. De hecho, la serie de Taylor es una buena forma de definir una serie. Observando la definición verás que la serie de Taylor puede imitar cualquier función, ya que se define a partir de las derivadas de la función. Empecemos por ver su definición y un ejemplo:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \].
Donde \(T_f\) significa la serie de Taylor de \(f\), y \( f^(n)} \) indica la \( n\)-ésima derivada de \( f \).
En primer lugar, observa que se trata de una serie de potencias centrada en \( x=a\), donde cada coeficiente viene dado por
\[\dfrac{f^(n)}(a)}{n!}.
En otras palabras, cada término de la serie de Taylor se basa en las derivadas de \( f \) en \( x=a \), por lo que para escribir la serie de Taylor necesitas tener una función \( f\) que pueda diferenciarse una y otra vez. Veamos un ejemplo.
Escribe la serie de Taylor de f(x) = e^x en x=1.
Contesta:
- Empecemos por diferenciar \( f \):
\[ \begin{align} f(x) &= e^x \\\ f'(x) &= e^x \ f''(x)&=e^x .\end{align} \]
Puedes ver rápidamente que si sigues tomando las derivadas, hay un patrón:
\[ f^{(n)}(x)=e^x.\]
- Ahora evaluemos \( f^{(n)}\) en \( x=1 \):
\[ f^{(n)}(1)=e.\\]
- Uniendo esto a la definición
\[ T_f(x) = e + e(x-1)+\dfrac{e}{2!}(x-1)^2+\cdots +\dfrac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots \].
Utilizando la notación sumatoria (también conocida como notación sigma), la serie de Taylor para \( f(x) = e^x \) en \( x=1\) puede escribirse como:
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{e}{n!}(x-1)^n. \]
Observa que en este ejemplo has escrito rápidamente la función \( f(x)=e^x\) como una serie de potencias de forma sencilla y directa conociendo sólo sus derivadas.
Fórmula de la serie de Taylor
La serie de Taylor suele presentarse de distintas formas, dependiendo de cómo se utilice. Sin embargo, su fórmula mantiene el mismo patrón. Comprobemos cómo representarla utilizando la notación sumatoria:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , \]
donde \( f^(n)} \) indica la derivada \( n\)-ésima de \( f \), y \( f^(0)}\) es la función original \( f\).
En aras del espacio, utilizaremos en adelante la representación sumatoria de la serie de Taylor. Veamos ahora un ejemplo con una función conocida.
Escribe la serie de Taylor para
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Responde:
- Empecemos por diferenciar \( f \):
\f'(x) &= \dfrac{1}(1-x)} \dfrac{1}(1-x)^2} \\ f''(x)&=dfrac{2}(1-x)^3} \\ f'''(x)&=\dfrac{6}{(1-x)^4}. \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón:
\[ f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}.\]
- Ahora evaluemos \( f^{(n)}\) en \( x=0 \):
\[ f^{(n)}(0)=n!.\]
- Uniendo esto a la definición
\T_f(x) &= T_f(x). T_f(x) &= \suma_n=0}^{infty}\dfrac{n!}{n!}x^n &= \suma_n=0}^{infty}x^n .\end{align} \]
Por tanto, tienes la serie de Taylor de la función
\[ f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Aunque en el ejemplo anterior encontraste la serie de Taylor de \( f\), si te remontas a la serie geométrica, la serie anterior sólo es convergente si \( |x|<1\). Esto nos devuelve dos definiciones importantes del artículo sobre series de potencias, el radio de convergencia y el intervalo de convergencia, que debes tener en cuenta para escribir cualquier función potencia. Haciendo esto puedes averiguar si la serie converge para cada valor de \( x \), o si sólo converge para un intervalo concreto.
Comprueba el radio y el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de \( f(x)=e^x \) en \( x=1\).
Contesta:
Como ya sabes por el primer ejemplo, la serie de Taylor de \( f\) en \( x=1 \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{e}{n!}(x-1)^n .
- Para hallar el radio y el intervalo de convergencia, debes comprobar si
\[ \limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1.\]
- Para la serie \( T_f \), se tiene
\[ a_n= \dfrac{e}{n!}(x-1)^n.\]
- Poniendo \( a_n \) en el límite y simplificándolo:
\[ \begin{align} L &= \limites_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \Izquierda: \frac {e(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}dot \frac {n!}{e(x-1)^{n}}derecha: \frac {n+1}{n+1}(n+1)! \izquierda: frac {x-1}(n+1)}derecha: frac {1}(n+1)}limita {n}a {infty} \frac{1}{(n+1)} &= 0.\end{align}\]
Por tanto, como el límite es siempre menor que uno, y de hecho es independiente del valor de \( x \), el intervalo de convergencia es \( (-\infty, \infty)\) siendo el radio de convergencia \( R=-\infty\).
Expansión de la serie de Taylor
Ahora que sabes escribir la serie de Taylor dada una función y el punto central, puedes escribir una expansión en serie para cualquier función que tenga derivadas de todos los órdenes. Primero definamos cuándo se puede decir que \( f(x) = T_f(x)\).
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \), y sea \(T_f\) la serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \). Entonces, para todo valor de \(x\) dentro del intervalo de convergencia,
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = T_f(x) .
En otras palabras, dentro del intervalo de convergencia, la serie de Taylor \(T_f\) y la función \(f\) son exactamente iguales, y \( T_f \) es una expansión en serie de potencias de \(f\).
Encuentra una expansión en serie de potencias para la función \( f(x)=\sin(x)\) centrada en \(x=\pi\).
Contesta:
Para hallar dicha expansión, necesitas hallar la serie de Taylor de \(\sin(x)\) en \(x=\pi\).
- En primer lugar, vamos a calcular las derivadas de \(\sin(x)\)
\f''(x) &=-\sin(x) f''(x) &=-\cos(x) f''(x)&=-\sin(x) f'''(x)&=-\cos(x) . \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón
- Si \(n\) es par:
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{tfrac{n}{2}}sin(x) .\]
- Si \(n\) es impar:
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}\cos(x).\]
- Ahora evaluemos \(f^{(n)}\) en \( x=\pi\):
Si \(n\) es par:
\[ \begin{align} f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n}{2}\}sin(\pi) \\\\\=0 \end{align}\}].
Si \(n\) es impar:
\[ \begin{align}f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}\cos(\pi) \\tfrac{n+1}{2} .\end{align}\]
- Aplicándolo en la definición de la serie de Taylor
\[\begin{align}T_f(x)&=0-(x-\pi)+0+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}+0-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dots \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
- Escribiendo en notación sumatoria
\T_f(x)=suma_{n=0}^{\infty} (-1)^ndfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}].
- Ahora, comprobemos el intervalo de convergencia:
\[ \begin{align} L&=limites_{n \a \infty} \left| \dfrac{(-1)^{n+1}(x-\pi)^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\dfrac{(2n+1)!}{(-1)^{n}(x-\pi)^{2n+1}} \derecha: límites de n a infty (x-\pi)^2}(2n+3)(2n+2)} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} \(2n+3)(2n+2)&=0.end
Por tanto, para todos los valores de \( x\) tienes que la expansión en serie de potencias de \(f(x)=\sin(x)\) en \(x=pi\) es
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Aproximación por series de Taylor
Las series de Taylor son, en efecto, una forma estupenda de escribir una función como serie de potencias, pero a veces no necesitas toda la serie de Taylor igual a la función, sólo necesitas una aproximación a la función. Eso nos lleva a la aproximación de la serie de Taylor.
Sea \( f \) una función que es \(n\)-diferenciable en \(x=a\), entonces la función
\n[\ncomienza{align} P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \ {cuadrado+puntos+f^{(n)}(x-a)^n \ {final{align}}].
Es una aproximación de \(f(x)\) en torno a \(x=a\).
Dices que una función \(f\) es \(n\)-diferenciable en un punto, si puedes calcular las primeras \(n\) derivadas de \(f\).
Si comparas la definición anterior con la primera definición de la serie de Taylor, verás que se trata de la primera parte de la serie. Por tanto, puedes decir que, a pesar de un error, la función \(f\) es aproximadamente igual a \(P_n\). Dicho de otro modo
\[\begin{align} f(x)&=P_n(x)+e(x) \\ f(x)&\aprox P_n(x),\end{align}\]
donde \(e(x)\) es la diferencia entre la serie de Taylor y \(P_n(x)\). Aquí \(e(x)\) se denomina función de error de la serie de Taylor.
Volviendo a la expansión de la serie de Taylor para \(\sin(x)\) en \(x=\pi\), tenías la siguiente serie:
\[\begin{align}T_f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
Sólo tienes potencias impares porque las derivadas de las funciones pares eran cero en \(x=\pi). Eso significa que puedes decir que cada \(P_n\) donde \(n\) es impar es una aproximación para \(\sin(x)\):
\P_1(x) P_1(x)&=-(x-\pi) \ P_3 (x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!} \\ P_5(x)&=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!} \\ P_7(x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!} .\end{align}\]
Comparemos el comportamiento de cada función \(P_n\) con la función seno:
Aproximación en serie de Taylor para la función seno.
Observa que si aumentas el orden de la función \( P_n(x)\) (en otras palabras, aumentas el valor de \(n\)), la aproximación se acerca más a la función original \( f(x)\). Por tanto, el grado de \(P_n\) define lo buena que es una aproximación a \(f\). Además, fíjate en que esas aproximaciones sólo funcionan para números cercanos al centro de la serie, que en este caso es \(x=\pi\).
Importancia de las series de Taylor
La principal importancia de las series de Taylor es, sin duda, encontrar otras formas de expresar funciones. En algunos de los ejemplos que has visto, una vez que has escrito una función como serie de potencias, resulta mucho más fácil evaluar la función porque estás evaluando sólo potencias. Las series de Taylor también pueden facilitar la búsqueda de otra información, como derivadas e integrales de funciones. Veamos un ejemplo clásico.
¿Cuál es la integral indefinida de \(f(x)=e^{x^2}\)?
Respuesta:
Esta función es muy conocida en el campo de las matemáticas como ejemplo de función que no tiene antiderivada que pueda escribirse en términos de las funciones elementales que conoces. Si intentas evaluar esta integral, ¡verás que todas las técnicas integrales que conoces no bastan para resolverla! Hasta ahora. ¡Con la serie de Taylor puedes hacerlo!
- Escribamos primero la serie de Taylor de \(e^x\) centrada en \(x=0\). Como sabes que la derivada de \( e^x\) es igual a sí misma, entonces
\[ \begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \\ &=suma_n=0}^{infty} \dfrac{e^0x^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \n!}. \fin].
- Ahora, utilizando la serie de Taylor de \(e^x\) apliquémosla a \(x^2\) sustituyendo \(x^2\) por cada \(x\) en la serie de Taylor de \(e^x\) centrada en \(x=0\):
\[ \begin{align} e^{x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x^2)^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}. \fin].
- Para entender mejor la serie, ampliémosla para obtener
\[ \begin{align} e^{x^2}&=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^6}{6} +\dfrac{x^8}{24}+\dots\end{align}\]
- Ahora, tomemos la integral a ambos lados de la ecuación anterior:
\[ \begin{align} \int e^{x^2} \izquierda( 1+x^2+dfrac{x^4}{2}+dfrac{x^6}{6} +dfrac{x^8}{24}+dots\ derecha) \, \mathrm{d}x .\final].
- Usando tus conocimientos de integración de funciones de potencia tienes
\[ \iniciar{alignar} \int e^{x^2} |mathrm{d}x &=C+ x+dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^5}{10} |cuadrado+\dfrac{x^6}{36} +\dfrac{x^8}{192}+\dots \end{align}\]
Por tanto, ¡tienes la integral indefinida de \(e^{x^2}\) escrita como una serie de potencias gracias a la serie de Taylor!
Series de Taylor - Puntos clave
- Serie de Taylor de \(f) centrada en \(x=a)\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \}].
- Dentro del intervalo de convergencia, la serie de Taylor es igual a \(f\)\[ f(x) = \sum_{n=0}^{infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n ].
- Para hallar el intervalo de convergencia, tienes que aplicar la Prueba de la Relación[ \limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1].
- Una aproximación en serie de Taylor de \(f\) está definida como los primeros \(n\) términos de la serie de Taylor[\begin{align}P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \&\quad +\dots+f^{(n)}(x-a)^n\nend{align}\].
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