Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
El artículo sobre series de potencias muestra algunos ejemplos estupendos de cómo escribir una función en términos de una serie de funciones potencia. Sin embargo, este proceso es bastante complicado, teniendo en cuenta que la única serie base que tienes es la serie geométrica. Comparando una función con la suma de la serie geométrica, podrías escribir una expansión en serie de potencias de algunas funciones concretas. Entonces, ¿cómo puedes escribir rápidamente una expansión en serie de potencias de cualquier función? La respuesta es sencilla si conoces la serie de Taylor. Utilizando la serie de Taylor, básicamente puedes escribir cualquier función diferenciable como una serie de potencias.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Serie de Taylor
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosUn tipo específico de serie de potencias es la serie de Taylor. De hecho, la serie de Taylor es una buena forma de definir una serie. Observando la definición verás que la serie de Taylor puede imitar cualquier función, ya que se define a partir de las derivadas de la función. Empecemos por ver su definición y un ejemplo:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \].
Donde \(T_f\) significa la serie de Taylor de \(f\), y \( f^(n)} \) indica la \( n\)-ésima derivada de \( f \).
En primer lugar, observa que se trata de una serie de potencias centrada en \( x=a\), donde cada coeficiente viene dado por
\[\dfrac{f^(n)}(a)}{n!}.
En otras palabras, cada término de la serie de Taylor se basa en las derivadas de \( f \) en \( x=a \), por lo que para escribir la serie de Taylor necesitas tener una función \( f\) que pueda diferenciarse una y otra vez. Veamos un ejemplo.
Escribe la serie de Taylor de f(x) = e^x en x=1.
Contesta:
\[ \begin{align} f(x) &= e^x \\\ f'(x) &= e^x \ f''(x)&=e^x .\end{align} \]
Puedes ver rápidamente que si sigues tomando las derivadas, hay un patrón:
\[ f^{(n)}(x)=e^x.\]
\[ f^{(n)}(1)=e.\\]
\[ T_f(x) = e + e(x-1)+\dfrac{e}{2!}(x-1)^2+\cdots +\dfrac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots \].
Utilizando la notación sumatoria (también conocida como notación sigma), la serie de Taylor para \( f(x) = e^x \) en \( x=1\) puede escribirse como:
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{e}{n!}(x-1)^n. \]
Observa que en este ejemplo has escrito rápidamente la función \( f(x)=e^x\) como una serie de potencias de forma sencilla y directa conociendo sólo sus derivadas.
La serie de Taylor suele presentarse de distintas formas, dependiendo de cómo se utilice. Sin embargo, su fórmula mantiene el mismo patrón. Comprobemos cómo representarla utilizando la notación sumatoria:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , \]
donde \( f^(n)} \) indica la derivada \( n\)-ésima de \( f \), y \( f^(0)}\) es la función original \( f\).
En aras del espacio, utilizaremos en adelante la representación sumatoria de la serie de Taylor. Veamos ahora un ejemplo con una función conocida.
Escribe la serie de Taylor para
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Responde:
\f'(x) &= \dfrac{1}(1-x)} \dfrac{1}(1-x)^2} \\ f''(x)&=dfrac{2}(1-x)^3} \\ f'''(x)&=\dfrac{6}{(1-x)^4}. \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón:
\[ f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}.\]
\[ f^{(n)}(0)=n!.\]
\T_f(x) &= T_f(x). T_f(x) &= \suma_n=0}^{infty}\dfrac{n!}{n!}x^n &= \suma_n=0}^{infty}x^n .\end{align} \]
Por tanto, tienes la serie de Taylor de la función
\[ f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Aunque en el ejemplo anterior encontraste la serie de Taylor de \( f\), si te remontas a la serie geométrica, la serie anterior sólo es convergente si \( |x|<1\). Esto nos devuelve dos definiciones importantes del artículo sobre series de potencias, el radio de convergencia y el intervalo de convergencia, que debes tener en cuenta para escribir cualquier función potencia. Haciendo esto puedes averiguar si la serie converge para cada valor de \( x \), o si sólo converge para un intervalo concreto.
Comprueba el radio y el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de \( f(x)=e^x \) en \( x=1\).
Contesta:
Como ya sabes por el primer ejemplo, la serie de Taylor de \( f\) en \( x=1 \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{e}{n!}(x-1)^n .
\[ \limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1.\]
\[ a_n= \dfrac{e}{n!}(x-1)^n.\]
\[ \begin{align} L &= \limites_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \Izquierda: \frac {e(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}dot \frac {n!}{e(x-1)^{n}}derecha: \frac {n+1}{n+1}(n+1)! \izquierda: frac {x-1}(n+1)}derecha: frac {1}(n+1)}limita {n}a {infty} \frac{1}{(n+1)} &= 0.\end{align}\]
Por tanto, como el límite es siempre menor que uno, y de hecho es independiente del valor de \( x \), el intervalo de convergencia es \( (-\infty, \infty)\) siendo el radio de convergencia \( R=-\infty\).
Ahora que sabes escribir la serie de Taylor dada una función y el punto central, puedes escribir una expansión en serie para cualquier función que tenga derivadas de todos los órdenes. Primero definamos cuándo se puede decir que \( f(x) = T_f(x)\).
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \), y sea \(T_f\) la serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \). Entonces, para todo valor de \(x\) dentro del intervalo de convergencia,
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = T_f(x) .
En otras palabras, dentro del intervalo de convergencia, la serie de Taylor \(T_f\) y la función \(f\) son exactamente iguales, y \( T_f \) es una expansión en serie de potencias de \(f\).
Encuentra una expansión en serie de potencias para la función \( f(x)=\sin(x)\) centrada en \(x=\pi\).
Contesta:
Para hallar dicha expansión, necesitas hallar la serie de Taylor de \(\sin(x)\) en \(x=\pi\).
\f''(x) &=-\sin(x) f''(x) &=-\cos(x) f''(x)&=-\sin(x) f'''(x)&=-\cos(x) . \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{tfrac{n}{2}}sin(x) .\]
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}\cos(x).\]
Si \(n\) es par:
\[ \begin{align} f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n}{2}\}sin(\pi) \\\\\=0 \end{align}\}].
Si \(n\) es impar:
\[ \begin{align}f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}\cos(\pi) \\tfrac{n+1}{2} .\end{align}\]
\[\begin{align}T_f(x)&=0-(x-\pi)+0+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}+0-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dots \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
\T_f(x)=suma_{n=0}^{\infty} (-1)^ndfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}].
\[ \begin{align} L&=limites_{n \a \infty} \left| \dfrac{(-1)^{n+1}(x-\pi)^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\dfrac{(2n+1)!}{(-1)^{n}(x-\pi)^{2n+1}} \derecha: límites de n a infty (x-\pi)^2}(2n+3)(2n+2)} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} \(2n+3)(2n+2)&=0.end
Por tanto, para todos los valores de \( x\) tienes que la expansión en serie de potencias de \(f(x)=\sin(x)\) en \(x=pi\) es
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Las series de Taylor son, en efecto, una forma estupenda de escribir una función como serie de potencias, pero a veces no necesitas toda la serie de Taylor igual a la función, sólo necesitas una aproximación a la función. Eso nos lleva a la aproximación de la serie de Taylor.
Sea \( f \) una función que es \(n\)-diferenciable en \(x=a\), entonces la función
\n[\ncomienza{align} P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \ {cuadrado+puntos+f^{(n)}(x-a)^n \ {final{align}}].
Es una aproximación de \(f(x)\) en torno a \(x=a\).
Dices que una función \(f\) es \(n\)-diferenciable en un punto, si puedes calcular las primeras \(n\) derivadas de \(f\).
Si comparas la definición anterior con la primera definición de la serie de Taylor, verás que se trata de la primera parte de la serie. Por tanto, puedes decir que, a pesar de un error, la función \(f\) es aproximadamente igual a \(P_n\). Dicho de otro modo
\[\begin{align} f(x)&=P_n(x)+e(x) \\ f(x)&\aprox P_n(x),\end{align}\]
donde \(e(x)\) es la diferencia entre la serie de Taylor y \(P_n(x)\). Aquí \(e(x)\) se denomina función de error de la serie de Taylor.
Volviendo a la expansión de la serie de Taylor para \(\sin(x)\) en \(x=\pi\), tenías la siguiente serie:
\[\begin{align}T_f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
Sólo tienes potencias impares porque las derivadas de las funciones pares eran cero en \(x=\pi). Eso significa que puedes decir que cada \(P_n\) donde \(n\) es impar es una aproximación para \(\sin(x)\):
\P_1(x) P_1(x)&=-(x-\pi) \ P_3 (x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!} \\ P_5(x)&=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!} \\ P_7(x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!} .\end{align}\]
Comparemos el comportamiento de cada función \(P_n\) con la función seno:
Aproximación en serie de Taylor para la función seno.
Observa que si aumentas el orden de la función \( P_n(x)\) (en otras palabras, aumentas el valor de \(n\)), la aproximación se acerca más a la función original \( f(x)\). Por tanto, el grado de \(P_n\) define lo buena que es una aproximación a \(f\). Además, fíjate en que esas aproximaciones sólo funcionan para números cercanos al centro de la serie, que en este caso es \(x=\pi\).
La principal importancia de las series de Taylor es, sin duda, encontrar otras formas de expresar funciones. En algunos de los ejemplos que has visto, una vez que has escrito una función como serie de potencias, resulta mucho más fácil evaluar la función porque estás evaluando sólo potencias. Las series de Taylor también pueden facilitar la búsqueda de otra información, como derivadas e integrales de funciones. Veamos un ejemplo clásico.
¿Cuál es la integral indefinida de \(f(x)=e^{x^2}\)?
Respuesta:
Esta función es muy conocida en el campo de las matemáticas como ejemplo de función que no tiene antiderivada que pueda escribirse en términos de las funciones elementales que conoces. Si intentas evaluar esta integral, ¡verás que todas las técnicas integrales que conoces no bastan para resolverla! Hasta ahora. ¡Con la serie de Taylor puedes hacerlo!
\[ \begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \\ &=suma_n=0}^{infty} \dfrac{e^0x^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \n!}. \fin].
\[ \begin{align} e^{x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x^2)^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}. \fin].
\[ \begin{align} e^{x^2}&=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^6}{6} +\dfrac{x^8}{24}+\dots\end{align}\]
\[ \begin{align} \int e^{x^2} \izquierda( 1+x^2+dfrac{x^4}{2}+dfrac{x^6}{6} +dfrac{x^8}{24}+dots\ derecha) \, \mathrm{d}x .\final].
\[ \iniciar{alignar} \int e^{x^2} |mathrm{d}x &=C+ x+dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^5}{10} |cuadrado+\dfrac{x^6}{36} +\dfrac{x^8}{192}+\dots \end{align}\]
Por tanto, ¡tienes la integral indefinida de \(e^{x^2}\) escrita como una serie de potencias gracias a la serie de Taylor!
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
