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El artículo sobre series de potencias muestra algunos ejemplos estupendos de cómo escribir una función en términos de una serie de funciones potencia. Sin embargo, este proceso es bastante complicado, teniendo en cuenta que la única serie base que tienes es la serie geométrica. Comparando una función con la suma de la serie geométrica, podrías escribir una expansión en serie de potencias de algunas funciones concretas. Entonces, ¿cómo puedes escribir rápidamente una expansión en serie de potencias de cualquier función? La respuesta es sencilla si conoces la serie de Taylor. Utilizando la serie de Taylor, básicamente puedes escribir cualquier función diferenciable como una serie de potencias.
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Enviar comentariosUn tipo específico de serie de potencias es la serie de Taylor. De hecho, la serie de Taylor es una buena forma de definir una serie. Observando la definición verás que la serie de Taylor puede imitar cualquier función, ya que se define a partir de las derivadas de la función. Empecemos por ver su definición y un ejemplo:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \].
Donde \(T_f\) significa la serie de Taylor de \(f\), y \( f^(n)} \) indica la \( n\)-ésima derivada de \( f \).
En primer lugar, observa que se trata de una serie de potencias centrada en \( x=a\), donde cada coeficiente viene dado por
\[\dfrac{f^(n)}(a)}{n!}.
En otras palabras, cada término de la serie de Taylor se basa en las derivadas de \( f \) en \( x=a \), por lo que para escribir la serie de Taylor necesitas tener una función \( f\) que pueda diferenciarse una y otra vez. Veamos un ejemplo.
Escribe la serie de Taylor de f(x) = e^x en x=1.
Contesta:
\[ \begin{align} f(x) &= e^x \\\ f'(x) &= e^x \ f''(x)&=e^x .\end{align} \]
Puedes ver rápidamente que si sigues tomando las derivadas, hay un patrón:
\[ f^{(n)}(x)=e^x.\]
\[ f^{(n)}(1)=e.\\]
\[ T_f(x) = e + e(x-1)+\dfrac{e}{2!}(x-1)^2+\cdots +\dfrac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots \].
Utilizando la notación sumatoria (también conocida como notación sigma), la serie de Taylor para \( f(x) = e^x \) en \( x=1\) puede escribirse como:
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{e}{n!}(x-1)^n. \]
Observa que en este ejemplo has escrito rápidamente la función \( f(x)=e^x\) como una serie de potencias de forma sencilla y directa conociendo sólo sus derivadas.
La serie de Taylor suele presentarse de distintas formas, dependiendo de cómo se utilice. Sin embargo, su fórmula mantiene el mismo patrón. Comprobemos cómo representarla utilizando la notación sumatoria:
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \). La serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , \]
donde \( f^(n)} \) indica la derivada \( n\)-ésima de \( f \), y \( f^(0)}\) es la función original \( f\).
En aras del espacio, utilizaremos en adelante la representación sumatoria de la serie de Taylor. Veamos ahora un ejemplo con una función conocida.
Escribe la serie de Taylor para
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Responde:
\f'(x) &= \dfrac{1}(1-x)} \dfrac{1}(1-x)^2} \\ f''(x)&=dfrac{2}(1-x)^3} \\ f'''(x)&=\dfrac{6}{(1-x)^4}. \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón:
\[ f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}.\]
\[ f^{(n)}(0)=n!.\]
\T_f(x) &= T_f(x). T_f(x) &= \suma_n=0}^{infty}\dfrac{n!}{n!}x^n &= \suma_n=0}^{infty}x^n .\end{align} \]
Por tanto, tienes la serie de Taylor de la función
\[ f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
en \( x=0\).
Aunque en el ejemplo anterior encontraste la serie de Taylor de \( f\), si te remontas a la serie geométrica, la serie anterior sólo es convergente si \( |x|<1\). Esto nos devuelve dos definiciones importantes del artículo sobre series de potencias, el radio de convergencia y el intervalo de convergencia, que debes tener en cuenta para escribir cualquier función potencia. Haciendo esto puedes averiguar si la serie converge para cada valor de \( x \), o si sólo converge para un intervalo concreto.
Comprueba el radio y el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de \( f(x)=e^x \) en \( x=1\).
Contesta:
Como ya sabes por el primer ejemplo, la serie de Taylor de \( f\) en \( x=1 \) es
\T_f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{e}{n!}(x-1)^n .
\[ \limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1.\]
\[ a_n= \dfrac{e}{n!}(x-1)^n.\]
\[ \begin{align} L &= \limites_{n \a \infty} \izquierda| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Derecha: Límites de N a Infty. \Izquierda: \frac {e(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}dot \frac {n!}{e(x-1)^{n}}derecha: \frac {n+1}{n+1}(n+1)! \izquierda: frac {x-1}(n+1)}derecha: frac {1}(n+1)}limita {n}a {infty} \frac{1}{(n+1)} &= 0.\end{align}\]
Por tanto, como el límite es siempre menor que uno, y de hecho es independiente del valor de \( x \), el intervalo de convergencia es \( (-\infty, \infty)\) siendo el radio de convergencia \( R=-\infty\).
Ahora que sabes escribir la serie de Taylor dada una función y el punto central, puedes escribir una expansión en serie para cualquier función que tenga derivadas de todos los órdenes. Primero definamos cuándo se puede decir que \( f(x) = T_f(x)\).
Sea \( f \) una función que tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=a \), y sea \(T_f\) la serie de Taylor para \( f \) en \( x=a \). Entonces, para todo valor de \(x\) dentro del intervalo de convergencia,
\f(x) = suma_n=0}^infty}dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = T_f(x) .
En otras palabras, dentro del intervalo de convergencia, la serie de Taylor \(T_f\) y la función \(f\) son exactamente iguales, y \( T_f \) es una expansión en serie de potencias de \(f\).
Encuentra una expansión en serie de potencias para la función \( f(x)=\sin(x)\) centrada en \(x=\pi\).
Contesta:
Para hallar dicha expansión, necesitas hallar la serie de Taylor de \(\sin(x)\) en \(x=\pi\).
\f''(x) &=-\sin(x) f''(x) &=-\cos(x) f''(x)&=-\sin(x) f'''(x)&=-\cos(x) . \fin{align} \]
Si sigues tomando las derivadas, puedes ver el siguiente patrón
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{tfrac{n}{2}}sin(x) .\]
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}\cos(x).\]
Si \(n\) es par:
\[ \begin{align} f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n}{2}\}sin(\pi) \\\\\=0 \end{align}\}].
Si \(n\) es impar:
\[ \begin{align}f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}\cos(\pi) \\tfrac{n+1}{2} .\end{align}\]
\[\begin{align}T_f(x)&=0-(x-\pi)+0+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}+0-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dots \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
\T_f(x)=suma_{n=0}^{\infty} (-1)^ndfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}].
\[ \begin{align} L&=limites_{n \a \infty} \left| \dfrac{(-1)^{n+1}(x-\pi)^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\dfrac{(2n+1)!}{(-1)^{n}(x-\pi)^{2n+1}} \derecha: límites de n a infty (x-\pi)^2}(2n+3)(2n+2)} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} \(2n+3)(2n+2)&=0.end
Por tanto, para todos los valores de \( x\) tienes que la expansión en serie de potencias de \(f(x)=\sin(x)\) en \(x=pi\) es
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Las series de Taylor son, en efecto, una forma estupenda de escribir una función como serie de potencias, pero a veces no necesitas toda la serie de Taylor igual a la función, sólo necesitas una aproximación a la función. Eso nos lleva a la aproximación de la serie de Taylor.
Sea \( f \) una función que es \(n\)-diferenciable en \(x=a\), entonces la función
\n[\ncomienza{align} P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \ {cuadrado+puntos+f^{(n)}(x-a)^n \ {final{align}}].
Es una aproximación de \(f(x)\) en torno a \(x=a\).
Dices que una función \(f\) es \(n\)-diferenciable en un punto, si puedes calcular las primeras \(n\) derivadas de \(f\).
Si comparas la definición anterior con la primera definición de la serie de Taylor, verás que se trata de la primera parte de la serie. Por tanto, puedes decir que, a pesar de un error, la función \(f\) es aproximadamente igual a \(P_n\). Dicho de otro modo
\[\begin{align} f(x)&=P_n(x)+e(x) \\ f(x)&\aprox P_n(x),\end{align}\]
donde \(e(x)\) es la diferencia entre la serie de Taylor y \(P_n(x)\). Aquí \(e(x)\) se denomina función de error de la serie de Taylor.
Volviendo a la expansión de la serie de Taylor para \(\sin(x)\) en \(x=\pi\), tenías la siguiente serie:
\[\begin{align}T_f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
Sólo tienes potencias impares porque las derivadas de las funciones pares eran cero en \(x=\pi). Eso significa que puedes decir que cada \(P_n\) donde \(n\) es impar es una aproximación para \(\sin(x)\):
\P_1(x) P_1(x)&=-(x-\pi) \ P_3 (x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!} \\ P_5(x)&=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!} \\ P_7(x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!} .\end{align}\]
Comparemos el comportamiento de cada función \(P_n\) con la función seno:
Aproximación en serie de Taylor para la función seno.
Observa que si aumentas el orden de la función \( P_n(x)\) (en otras palabras, aumentas el valor de \(n\)), la aproximación se acerca más a la función original \( f(x)\). Por tanto, el grado de \(P_n\) define lo buena que es una aproximación a \(f\). Además, fíjate en que esas aproximaciones sólo funcionan para números cercanos al centro de la serie, que en este caso es \(x=\pi\).
La principal importancia de las series de Taylor es, sin duda, encontrar otras formas de expresar funciones. En algunos de los ejemplos que has visto, una vez que has escrito una función como serie de potencias, resulta mucho más fácil evaluar la función porque estás evaluando sólo potencias. Las series de Taylor también pueden facilitar la búsqueda de otra información, como derivadas e integrales de funciones. Veamos un ejemplo clásico.
¿Cuál es la integral indefinida de \(f(x)=e^{x^2}\)?
Respuesta:
Esta función es muy conocida en el campo de las matemáticas como ejemplo de función que no tiene antiderivada que pueda escribirse en términos de las funciones elementales que conoces. Si intentas evaluar esta integral, ¡verás que todas las técnicas integrales que conoces no bastan para resolverla! Hasta ahora. ¡Con la serie de Taylor puedes hacerlo!
\[ \begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \\ &=suma_n=0}^{infty} \dfrac{e^0x^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \n!}. \fin].
\[ \begin{align} e^{x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x^2)^n}{n!} \\ &=suma_n=0^{infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}. \fin].
\[ \begin{align} e^{x^2}&=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^6}{6} +\dfrac{x^8}{24}+\dots\end{align}\]
\[ \begin{align} \int e^{x^2} \izquierda( 1+x^2+dfrac{x^4}{2}+dfrac{x^6}{6} +dfrac{x^8}{24}+dots\ derecha) \, \mathrm{d}x .\final].
\[ \iniciar{alignar} \int e^{x^2} |mathrm{d}x &=C+ x+dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^5}{10} |cuadrado+\dfrac{x^6}{36} +\dfrac{x^8}{192}+\dots \end{align}\]
Por tanto, ¡tienes la integral indefinida de \(e^{x^2}\) escrita como una serie de potencias gracias a la serie de Taylor!
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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