Serie geométrica: Ejemplos, Aplicaciones

Q: ¿Qué es una serie geométrica?

Una serie geométrica es una suma de términos en una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón común.

Q: ¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica?

Para una serie infinita, la suma es a / (1 - r) donde 'a' es el primer término y 'r' la razón común (|r| < 1).

Q: ¿Cuál es la fórmula de una serie geométrica finita?

La suma S de una serie geométrica finita con 'n' términos es S = a (1 - r^n) / (1 - r).

Q: ¿Qué aplicaciones tiene la serie geométrica?

Las series geométricas se usan en finanzas para calcular intereses compuestos, en física, y en diversas áreas de ingeniería y ciencias sociales.

Índice de temas

Definición de serie geométrica

¿Cómo sabes si una serie es geométrica o no? Tiene que ver con la secuencia que la compone. Si la secuencia que compone la serie es geométrica, entonces la serie es geométrica. Recuerda que una sucesión geométrica es aquella en la que obtienes cada nuevo término de la sucesión multiplicando el anterior por una constante. Así que la secuencia tendrá la forma $\{a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \dots\}$ donde $r \neq 0$ .

Una serie geométrica es una serie que se forma sumando los términos de una sucesión geométrica.

Fórmula de una serie geométrica

Resulta útil observar la notación de la suma de una serie geométrica. La serie geométrica hecha a partir de una sucesión geométrica tiene el aspecto siguiente

$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$

donde $a$ y id="5135499" role="math" $r \neq 0$ son números reales constantes. Igual que en una sucesión geométrica $r$ se llama razón común.

Ten en cuenta que cuando $r = 0$ la serie converge, deja de ser una serie geométrica.

Sumas parciales de una serie geométrica

Si pides un préstamo, ¡seguro que no quieres hacer infinitos pagos! Por eso puede ser útil disponer de una fórmula para las sumas parciales de una serie geométrica. La ^enésima suma parcial es

$s_{n} = a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1}$ .

Observa que se trata esencialmente de un polinomio de (n-1)^º grado, donde $r$ es la variable.

¿Qué ocurre si multiplicas ambos lados por $r$ ? Entonces obtienes

$r s_{n} = a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots + a r^{n}$ .

Así que si restas las dos ecuaciones, obtienes

$\begin{matrix} s_{n} - r s_{n} & = & (a + r + r^{2} + \dots + a r^{n - 1}) - (a r + a r^{2} + \dots + a r^{n}) \\ s_{n} - r s_{n} & = & a - a r^{n} \end{matrix}$

lo que está muy bien, porque entonces puedes resolver fácilmente $s_{n}$ siempre que $r \neq 1$ para obtener

$s_{n} = \frac{a - a r^{n}}{1 - r} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ .

Convergencia de una serie geométrica

Una vez que tengas una buena fórmula para las sumas parciales de una serie, puedes mirar el límite para ver cuándo converge. Veamos algunos valores de $r$ para ver cuándo

$\lim_{n \to \infty} s_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$

existe. Haciendo un poco de álgebra,

$\lim_{n \to \infty} s_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} = \lim_{n \to \infty} [\frac{a}{1 - r} - \frac{a r^{n}}{1 - r}] .$

La primera parte del límite no depende de $n$ pero, desde luego, tienes que estar seguro de que $r \neq 1$ para que no estés dividiendo por cero. Factorizando las constantes de la segunda parte, tienes

$\lim_{n \to \infty} [\frac{a}{1 - r} - \frac{a r^{n}}{1 - r}] = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \lim_{n \to \infty} r^{n} = (\frac{a}{1 - r}) [1 - \lim_{n \to \infty} r^{n}] .$

Así puedes ver que si

$\lim_{n \to \infty} r^{n}$

existe, entonces el límite de la serie también existirá.

Para recordar cómo tomar el límite de una sucesión y decidir cuándo converge, consulta Límite de una sucesión

Ese límite existe cuando $r$ está entre $- 1$ y $1$ . Pero aún tienes que tener un poco de cuidado, porque no es una sucesión geométrica si $r = 0$ y en realidad no puedes utilizar $r = 1$ (porque te daría la división por cero) o $r = - 1$ (porque la secuencia con $r = - 1$ no converge).

Suma de una serie geométrica

Las series geométricas son especialmente bonitas porque puedes decir cuándo convergen y a qué convergen exactamente. Según lo dicho anteriormente, una serie geométrica converge cuando $- 1 < r < 1$ y diverge en caso contrario. Cuando la serie geométrica converge, si se toma el límite de las sumas parciales se obtiene:

$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r}$ .

Ejemplos con series geométricas

Veamos algunos ejemplos para comprobar lo que pueden decirte las series geométricas.

Una serie geométrica con una práctica visual es la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Primero, empieza con un cuadrado cuyos lados tengan longitud 1. Luego divide ese cuadrado por la mitad. Cada mitad del cuadrado tiene un área igual a $\frac{1}{2}$ .

Primer paso de la ilustración de series geométricas con cuadrados StudySmarter Cuadrado con lados de longitud 1, dividido por la mitad | StudySmarter Original

A continuación, divide el lado vacío por la mitad. La nueva subsección tendrá un área igual a $\frac{1}{4}$ .

Ilustración de serie geométrica con segundo paso cuadrado StudySmarter Cuadrado con lados de longitud 1, dividido de nuevo por la mitad | StudySmarter Original

De nuevo, divide la sección vacía por la mitad. Formarás una subsección con área $\frac{1}{8}$ .

Cuadrado de lados de longitud 1 que ilustra la serie geométrica tercer paso StudySmarter Cuadrado con lados de longitud 1, ilustrando la serie geométrica | StudySmarter Original

Este proceso puede continuar indefinidamente. A continuación se muestra la imagen en la que el cuadrado se ha dividido 7 veces.

Interpretación geométrica de la serie geométrica con r = 1/2 StudySmarter Dividir un cuadrado para mostrar series geométricas como área | StudySmarter Original

Parece que si continúas el proceso llenarás el cuadrado. Echando un vistazo a la serie geométrica

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

donde primero se ha reescrito para que tenga la forma correcta con $a = r = 1 / 2$ . Entonces

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

que es el área del cuadrado. Así que, de hecho, este proceso acabará llenando el cuadrado.

Decide si la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} (7^{- n - 2}) (3^{n + 1})$

converge o diverge.

Contesta:

Puede ser útil hacer primero un poco de álgebra para obtener la serie en una forma más agradable. Haciendo eso

$(7^{- n - 2}) (3^{n + 1}) = 7^{- n} 7^{- 2} 3^{n} 3 = \frac{3^{n} 3}{7^{2} 7^{n}} = (\frac{3}{49}) {(\frac{3}{7})}^{n}$

de hecho

$\sum_{n = 1}^{\infty} (7^{- n - 2}) (3^{n + 1}) = \frac{3}{49} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{3}{7})}^{n}$ .

Cuidado, no es exactamente la misma forma que la definición de una serie geométrica. Mejor reescríbela como

$\sum_{n = 1}^{\infty} (7^{- n - 2}) (3^{n + 1}) = \frac{3}{49} \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{3}{7}) {(\frac{3}{7})}^{n - 1}$

que es una serie geométrica con id="5135502" role="math" $a = r = 3 / 7$ y tiene la forma correcta. Puesto que $- 1 < r < 1$ la serie converge. Mejor aún, puedes decir a qué converge:

$\sum_{n = 1}^{\infty} (7^{- n - 2}) (3^{n + 1}) = \frac{3}{49} (\frac{\frac{3}{7}}{1 - \frac{3}{7}}) = (\frac{3}{49}) (\frac{3}{7}) (\frac{7}{4}) = \frac{9}{196} .$

Series geométricas - Puntos clave

Una serie geométrica se forma a partir de una sucesión geométrica y tiene el siguiente aspecto
$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$
donde $a$ y $r$ son números reales constantes.
En $r = 0$ no se trata de una sucesión geométrica porque la razón entre términos consecutivos no es constante.
Las sumas parciales de una sucesión geométrica tienen la forma $s_{n} = \frac{a - a r^{n}}{1 - r} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ .
Una serie geométrica converge cuando $- 1 < r < 1$ y diverge en caso contrario.
Cuando la serie geométrica converge,
$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r}$ .

Tarjetas en Serie geométrica 2

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¿Qué tiene de especial una serie geométrica?

La relación entre términos consecutivos es constante.

¿Qué tipo de secuencia utilizas para formar una serie geométrica?

Utilizas una secuencia geométrica.

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Preguntas frecuentes sobre Serie geométrica

¿Qué es una serie geométrica?

Una serie geométrica es una suma de términos en una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón común.

¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica?

Para una serie infinita, la suma es a / (1 - r) donde 'a' es el primer término y 'r' la razón común (|r| < 1).

¿Cuál es la fórmula de una serie geométrica finita?

La suma S de una serie geométrica finita con 'n' términos es S = a (1 - r^n) / (1 - r).

¿Qué aplicaciones tiene la serie geométrica?

Las series geométricas se usan en finanzas para calcular intereses compuestos, en física, y en diversas áreas de ingeniería y ciencias sociales.

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