Fórmula de las series de potencias
Puede que hayas adivinado que todos los términos de una serie de potencias son básicamente potencias de una variable. Si has pensado eso, estás en lo cierto.
Una serie de la forma
\[ \inicio{alineación} \suma _{n=0}} ^{\infty} c_{n} (x-a) ^{n} = c _{0} + c _{1} (x-a) + c _{2} (x-a) ^{2} + ... \fin{align} \]
se llama serie de potencias centrada en \( x=a \).
Observando más detenidamente la serie de potencias centrada en \( x=a \), surge de forma natural un caso especial de serie de potencias cuando \( a=0 \):
Una serie de la forma
\[ \begin{align} \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} x ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} + ... \fin{align} \]
se llama serie de potencias centrada en \( x=0 \).
Observa que en ambas definiciones se supone que \( (x-a)^0=1 \) cuando \( x=a \) y \( x^0=1 \) cuando \( x=0 \).
La serie de potencias centrada en \( x=0 \) te resulta muy familiar. De hecho, si echas la vista atrás en el artículo Series geométricas, observarás una enorme similitud entre la serie de potencias centrada en \( x=0 \) y la serie geométrica; veamos un ejemplo:
Comprueba si converge la siguiente serie
\[ \begin{align} \sum _{n=0} ^{\infty} x ^{n} =1+x+x^2+x^3+... \end{align} \].
Contesta:
Observando la definición, puedes ver que esta serie es un ejemplo de serie de potencias centrada en \( x=0 \), donde
\[ c_n=1, \text{ para todo } n\ge 0\]
Desde otra perspectiva, puedes ver que también se trata de una serie geométrica, recordando que una serie geométrica tiene la siguiente forma
\[ \ suma _{n=0} ^{infty} ar ^{n}=a+ar+ar^2+\ puntos \]En este ejemplo, tienes
\[ a=1 \text{ y } r=x. \]
Una serie geométrica converge si y sólo si \( |r|<1 \); por tanto, la serie sólo converge si
\[ |x|<1. \]
O, dicho de otro modo, si
\[ -1<x<1, \]
entonces la serie
\[ \{comienzo{alineación} \{suma _{n=0} ^{infty} x ^{n} ^{n} \{fin{alineación} \}]
converge. Como se trata de una serie geométrica convergente, converge a
\[ suma _{n=0} ^{infty} x ^{n} = \frac{1}{1-x}. \]
Observa que esto sólo es posible si afirmas que \( |x|<1 \); de lo contrario, no puedes aplicar la fórmula anterior.
Consulta nuestro artículo Series geométricas para obtener más información sobre las series geométricas y su fórmula de suma.
La serie
\[ \suma _{n=0}} ^{infty} \frac{x ^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+puntos \].
y
\[ \{suma _{n=0}} ^{infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+1} =1+\frac{x-1}{2} +\frac{(x-1) ^2}{3}+\frac{(x-1) ^3}{4}+\dots \]
son ambas series de potencias. La primera está centrada en \(x=0\) con
\[ c_n = \frac{1}{n!}, \]
mientras que la segunda está centrada en \(x=1\) con
\[ c_n = \frac{1}{n+1}. \]
Radio de convergencia de las series de potencias
Analizando la definición de serie de potencias, puedes observar que la serie depende del valor de \( x \). Esto sugiere que puedes tener una serie de potencias que converja para ciertos valores de \( x \) y diverja para otros. La distancia a la que converge se denomina radio de convergencia. Veamos una definición formal:
El radio de convergencia de una serie de potencias, centrada en \( x=a \), es un valor real \( R \) donde
- La serie converge para todo \( x \) tal que \( |x-a|<R \)
- La serie diverge para todos los \( x \) como \( |x-a|>R \)
Si la serie sólo converge para \( x=a \), entonces \( R=0 \). Si la serie converge para todos los valores de \( x \), entonces \( R=\infty \).
Observa que la definición no menciona el caso en que \( |x-a|=R \). Esto se debe a que la convergencia de la serie en esos valores no modifica el radio de convergencia. Sin embargo, sigues necesitando comprobar si la serie converge en esos puntos para escribir el intervalo de convergencia, así que definamos qué es este intervalo:
El intervalo que contiene todos los valores de \( x \) tales que la serie de potencias converge en esos valores se llama Intervalo de Convergencia. Tiene la forma de \( (a-R,a+R) \), dependiendo de si la serie converge o no en los puntos extremos.
La forma del intervalo de convergencia depende de si la serie converge o no en los puntos finales \(a-R\) y \(a+R\).
Una pregunta que surge de estas definiciones es ¿cómo se calcula el radio de convergencia? Puedes utilizar las pruebas de convergencia, más concretamente la Prueba de la Razón. A veces puedes necesitar la Prueba de la Raíz, pero esto depende de la serie que estés analizando. Veamos algunos ejemplos.
¿Cuál es el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie?
\[ \{suma _{n=0}} ^{infty} =1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+puntos].
Respuesta:
La prueba de la razón dice que una serie converge si
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1. \]
- En esta serie, tienes
\[ a_n = \frac{x ^{n}}{n!}. \]
- Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión
\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{x ^{n+1}}(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n |a ¾infty} \Izquierda: Fracción x + 1, (n+1) ¡n! \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \izquierda: frac{x}{n+1} \derecha: límites entre n e infty \frac{1}{n+1} \\ y= |x|dot 0 &= 0 &< 1.end{align} \]
Como el límite es cero y no depende del valor de \( x \), se tiene
- Intervalo de convergencia
\[ (-\infty, +\infty) \]
- Radio de convergencia
\[ R=\infty \]
El ejemplo anterior es clásico, y lo verás en otros ámbitos. Veamos ahora otro ejemplo en el que la serie no converge para todos los valores de \( x \).
Halla el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:
\[ suma _{n=0} ^{infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]
Responde:
Apliquemos de nuevo la prueba de la razón.
- En esta serie, tienes
\[ a_{n}=\frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]
- Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión
\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{n+2} \cdot \frac{n+1}{(x-1)^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \Izquierda: \frac {(x-1)(n+1)} {n+2} Derecha: \frac {n+1)} {n+2} \frac {n+1} \frac{n+1}{n+2} \\ y= |x-1| \cdot 1 y= |x-1|. \fin \]
Como el resultado del límite sí depende del valor de \( x \), pero la prueba de razón dice que este límite tiene que ser menor que uno para que la serie sea convergente. Compruébalo:
- A partir de la prueba de razón, tienes
\[ |x-1|<1.\]
- Resolviendo esta desigualdad
\[ empieza{alinear} -1 &< x-1 < 1 \ {alinear} -1 +1 &< x < 1+1 \ {alinear} 0 &< x < 2. \ {finalizar{alinear} \]
De esta forma, tienes que el intervalo de convergencia es \( (0,2) \). ¡Pero aún no has terminado! Tienes que comprobar si la serie converge o no en los puntos finales. Comprobación de los puntos finales:
- Para \( x=0 \), tienes la siguiente serie
\[ \suma _{n=0} ^{infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}. \]
- Como se trata de una serie alterna, puedes aplicar el Teorema de Leibniz. Consulta el artículo Series alternas para obtener más información. Si utilizas el Teorema de Leibniz, entonces
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
- Aplicando el teorema
- Necesitas que \( a_n >0 \), lo cual es válido para esta serie;
- Necesitas que \( a_n \ge a_{n+1}), lo que también es válido ya que \[ n+1 < n+2 \] implica que \[\frac{1}{n+1} > \frac{1}{n+2}.\]
- Necesitas que \frac{1}{n}{n+1} = 0.\frac{1}, lo cual también es cierto ya que \frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1}.
Por tanto, la serie converge para \( x=0 \). Veamos el otro extremo.
- Para \( x=2 \), tienes la serie siguiente
\[ \suma _{n=0} ^{\infty} \frac{1}{n+1}. \]
- Sustituyendo \( m=n+1 \) para asegurarte de que la serie empieza en cero, tienes
\[ \ suma _{m=1} ^{infty} \frac{1}{m} . \]
Ésta es la serie armónica, que es divergente.
Juntando todo esto se puede decir
- Intervalo de convergencia
\[ [0, 2) \]
- Radio de convergencia
\[ R=1 \]
Expansión de la serie de potencias
Una de las partes más interesantes del estudio de las series de potencias es poder escribir una función como expansión de una serie de potencias. Al principio puede resultar extraño, pero cuanto más complejas sean las funciones que estudias, más difícil te resultará integrarlas o diferenciarlas. De hecho, algunas funciones ni siquiera pueden integrarse de la forma tradicional. Pero si puedes escribirlas como series de potencias, entonces sólo estarás integrando y diferenciando funciones potencia.
Dada una función \( f(x) \), la expansión en serie de potencias de \( f\) es una serie de potencias tal que
\[ f(x)=\suma _{n=0} ^{\infty} c_n x^n\]
para un radio de convergencia determinado.
Primero echemos un vistazo a una vieja amiga, la serie geométrica:
Demuestra que la función
\[ f(x)=\frac{1}{1-x} \]
puede escribirse como una expansión en serie de potencias.
Responde:
Volviendo a la serie geométrica, la fórmula sería
\[ suma _{n=0} ^{infty} a r^n = \frac{a}{1-r}, |r|<1. \]
Observando \( f(x) \) y comparándola con la serie geométrica, si tomas \( a=1 \) y \( r=x \) puedes volver a sustituirla por la serie, obteniendo
\[ \suma _{n=0} ^{infty} x^n = \frac{1}{1-x}, |x|<1. \]
Por tanto, si \( -1<x<1) entonces la expansión en serie de potencias de \( f(x) \) es
\[ f(x) = \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\ puntos \]
Veamos otro ejemplo.
Demuestra que la función
\[ f(x)=\frac{1}{4+x^2} \]
puede escribirse como una expansión en serie de potencias.
Responde:
Escribamos la función de una forma más útil haciendo un poco de álgebra:
\f(x) &= \frac{1}{4+x^2} \\ &= \frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})} |= \frac{\frac{1}{4}{1-\frac izquierda(-\frac{x^2}{4}\frac derecha)}. \fin].
Observando la nueva forma de \( f(x) \) y comparándola con la serie geométrica, puedes establecer
\[ \begin{align} a=\frac{1}{4}, \text{ y } r=-\frac{x^2}{4}. \end{align} \]
Luego, sustituyéndolo de nuevo en la serie
\[\frac{x^2}]. \frac{1}{4+x^2} &= \suma _{n=0} ^{infty} \frac{1}{4}{Izquierda( -\frac{x^2}{4}{Derecha)^n &= \frac{1}{4}{Izquierda}{ -\frac{x^2}{4}{Derecha} ^n &= \frac{1}{4}{Derecha} ^{\\infty} \frac{(-1)^n}{4} \left(\frac{x^2}{4}\right)^n .\end{align}\]
¡Esto sólo es válido si \( |r|<1 \)! Por tanto,
\[ |inicio{alineación} \izquierda| \frac{x^2} {4} {derecha| &<1 \frac{x^2} {4} {derecha| &< 1 \frac{x^2} {4} &< 1 \ x^2 &<4 \ -2 < &x < 2 \final].
Por tanto, si (-2<x<2) la expansión en serie de potencias de (f(x)) es
\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2+4} = 1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}+\ puntos \].
Derivadas de series de potencias
Ahora que puedes escribir algunas funciones como expansión de series de potencias, veamos qué ocurre cuando necesitas calcular la derivada de esta función; como se trata de una suma de funciones de potencias, debería ser sencillo. Primero, recuerda algunas propiedades de las derivadas:
- Regla de potencias
\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]
- La derivada de un múltiplo constante
\[ (cf)'(x)=cf'(x) \]
- La derivada de una suma
\[ (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) \]
Utilizando estas tres propiedades, puedes tomar la derivada de cualquier serie de potencias
Considera \( f(x) \) como la siguiente serie de potencias
\[ f(x) = \suma _{n=0} ^{\infty} c_n x^n. \n]
Entonces \( f'(x) \) viene dada por
\[ f'(x) = \suma _{n=1} ^{\infty} c_n n x^{n-1} \]
Expandamos la serie anterior:
\[ f(x) = c_0+c_1 x+c_2x^2+c_3x^3+\dots \]
Toma la derivada de cada término utilizando las propiedades de la derivada para obtener
\f'(x) &= [c_0+c_1 x+c_2x^2+c_3x^3+...]'. \\ ¾ &= 0+c_1+2c_2x+3c_3x^2+... \\ &= c_1+2c_2x+3c_3x^2+puntos \end{align} \]
Observa que \( f'(x)\) empieza ahora con el término \( c_1 \), por lo que ya no tiene sentido que la serie empiece en \( n=0 \). Por tanto, la notación sigma de \( f'(x) \) es
\[ \begin{align} f'(x) = \sum _{n=1} ^{\infty} n c_n x^{n-1}. \end{align} \].
Veamos algunos ejemplos.
Calcula la derivada de la siguiente función:
\[ f(x) = \suma _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}. \]
Contesta:
Primero, considera la forma expandida de esta serie
\[ f(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots \].
Si tomamos la derivada obtenemos
f'(x) &= \left[ 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots \right]' \\\\\f &= 0+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+puntos &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+puntos \end{align} \]
Por lo tanto, tienes el útil hecho de que
\f(x) &= 1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+frac{x^4}{24}+puntos f'(x) &= 1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+frac{x^4}{24}+puntos f'(x) &=f(x). \fin{align} \]
Calculemos ahora \(f'(x)\) utilizando la notación sigma:
\[ f'(x) = \left[\suma _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}\right]' .\\]
Utilizando las propiedades de la derivada,
\f'(x) &= suma _{n=0} ^ {{infty}}. ^{infty} \left[ \frac{x ^{n}}{n!}\right]' &= \suma _{n=1} ^{{infty}} \frac{nx ^{n-1}} ¡{n!}. \end{align} \]
Te gustaría que la serie empezara en cero, así que sustitúyela por \( m=n-1 \) para obtener
\[ \begin{align} f'(x) &= \sum _{m=0}} ^{infty} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)!} \\ &= suma _{m=0}} ^{{infty}} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)\cdot m!} \\ &= suma _{m=0} ^{{infty}} \frac{x ^{m}}{m!}.\final{align} \]
¡Observa que la serie de potencias de \( f'(x) \) es la misma que la serie de \( f(x) \)! ¿En qué otra función se te ocurre que la derivada de la función te devuelva la función? Sí, es tu vieja amiga la función exponencial. Hace falta un poco más de trabajo para demostrar que \(f(x)\) es en realidad lo mismo que la función exponencial, y eso es algo que verás en una clase posterior.
Veamos un caso en el que tomar la derivada puede ayudarte.
Considera la siguiente expansión en serie de potencias
\[ \begin{align} f(x) = \frac{1}{1-x} = \ suma _{n=0} ^{\infty} x^n,\quad |x|<1. \end{align}. \]
Encuentra una expansión en serie de potencias para la función
\g(x) = frac{1}(1-x)^2}.
Respuesta:
Para empezar a resolver este problema, observa primero que \( g(x) \) es la derivada de \( f(x)\):
\f'(x) &= \left( \frac{1}{1-x} \right)' &= \frac{0\cdot(1-x) - 1\cdot(-1)}{(1-x)^2}. \\ y= \frac{1}(1-x)^2} \\ &= g(x). \fin{align} \]
Ahora que sabes que \( g(x)=f'(x) \), puedes tomar la derivada de la serie de potencias, y ésta se convertirá en la expansión en serie de potencias de \( g(x) \). Haciendo esto obtienes
\f'(x) &= izquierda[ suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]]' &= suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]' &= suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]. ^{infty} \left[ x^n\right]' &= \suma _{n=1}} ^{\infty} n x^{n-1}. \fin{align} \]
Puedes hacer que la serie empiece en cero si sustituyes \( m = n-1 \). Por tanto,
\[ g(x) = \suma _{m=0} ^{\infty} (m+1) x^{m}}.\]
¡Recuerda que esto sólo es posible si \(|x|<1\)! No puedes deshacerte de las restricciones de \(x\).
Series de potencias comunes
Mientras aprendes sobre series de potencias, te encontrarás con varias series de potencias diferentes. Sin embargo, observarás algunas comunes, empezando por las que pueden escribirse como series geométricas. Echemos un vistazo.
Escribe la siguiente función como una serie de potencias
\[ f(x)=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}.\]
Respuesta:
Primero, utiliza un poco de álgebra para escribir esta función de forma más compacta:
Suma las fracciones
\[ \begin{align} f(x) &=dfrac{1+x+1-x}{(1-x)\cdot(1+x)} &=dfrac{2}{(1-x^2)} . \end{align}\]
Luego, compárala con la serie geométrica
\[ \begin{align} \suma _{n=0}} ^{infty} a r^n &= \frac{a}{1-r}, |r|<1 f(x) &=\dfrac{2}{(1-x^2)}. \end{align}\]
Establece ahora \(a = 2\) y \(r= x^2\). Recuerda que para que una serie geométrica converja necesitas \( |r|<1\\), así que debes considerar
\[ \begin{align} \left| x^2\\right| <1 \\\ x^2<1 \\ -1<x<1. \\\end{align}\]
Ahora puedes establecer la serie con el intervalo de convergencia:
\[ suma _{n=0} ^{infty} 2 (x^2)^n = \frac{2}{1-x^2}, |cuadrado |x|<1, \].
o simplificando
\[ suma _{n=0} ^{infty} 2 x^{2n} = \frac{2}{1-x^2}, |cuadrado |x|<1.\]
Por tanto, si \( -1<x<1 \) tienes la siguiente expansión en serie para \(f(x)\):
\[ \begin{align} f(x) & = \sum _{n=0}} ^{\\infty} 2 x^{2n} \\ &= 2 + 2x^2+2x^4+2x^6+puntos fin].
Otras series de potencias comunes son las relacionadas con las funciones \( \cos(x) \) y \( \sin(x) \). Son muy parecidas entre sí. A medida que te adentres en el ámbito de las series de potencias, verás que
\[ \begin{align} \sin(x) &= \sum _{n=0} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}(2n+1)!} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5} {¡5!} - + puntos -cos(x) &= suma _{n=0}} (2+1!}) (-1)^n \dfrac{x^2n}{(2n)!} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}+puntos \end{align}\}]
Comprobemos el radio y el intervalo de convergencia para \( \sin(x) \).
Para calcular el radio y el intervalo de convergencia, para la expansión en serie de potencias de \(\sin(x)\), tienes que aplicar la Prueba de la Relación para la convergencia.
Primero establece \( a_n \) como
\[ a_n = (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Aplica la prueba de la razón y simplificando la expresión obtienes
\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \¡(2(n+1)+1)! \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n \cdot x ^{2n+1}} \¾derecha| ¾ &= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \Izquierda: Fracción (-1) de x^2 de (2n+1). \derecha = x^2 = límites de n a infty \left| \frac{(2n+1)!}{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!} \¾derecha ¾ &= |x^2| \cdot ¾limits_{n \a \infty} \(2n+3)(2n+2)}. \]
Como el límite es cero y no depende del valor de \( x \), tienes
- Intervalo de convergencia
\[ (-\infty, +\infty) \]
- Radio de convergencia
\[ R=\infty \]
Del mismo modo, encontrarás que la expansión en serie de potencias para \( cos(x) \) tiene su intervalo de convergencia como \( (-\infty, +\infty) \) y su radio de convergencia como \( R=\infty \).
Series de potencias - Puntos clave
- Una serie de potencias centrada en \( x=a \) tiene la forma
\[ \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} (x-a) ^{n} = c _{0} + c _{1} (x-a) + c _{2} (x-a) ^{2} + \dots \]
Una serie de potencias centrada en \( x=0 \) tiene la forma
\[ \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} (x) ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} +{puntos \}]
El radio de convergencia es un valor real \( R \) donde
La serie converge para todo \( x \) tal que \( |x-a|<R \)
La serie diverge para todos los \( x \) como \( |x-a|>R \)
Si la serie sólo converge para \( x=a \) entonces \( R=0 \).
Si la serie converge para todos los valores de \( x \) entonces \( R=\infty \).
Laexpansión en serie de potencias de \( f\) es una serie de potencias como
\[ f(x)=\suma _{n=0} ^{\infty} c_n x^n\]
para un radio de convergencia determinado.
Derivada de una expansión en serie de potencias
\[ f(x) = \suma _{n=0} ^{\infty} c_n x^n \]
Por tanto, \( f'(x) \) viene dada por
\[ f'(x) = \suma _{n=1} ^{\infty} c_n n x^{n-1} \]
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