Series de potencias

¿Cuál es el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie?

\[ \{suma _{n=0}} ^{infty} =1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+puntos].

Respuesta:

La prueba de la razón dice que una serie converge si

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1. \]

• En esta serie, tienes

\[ a_n = \frac{x ^{n}}{n!}. \]

• Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión

\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{x ^{n+1}}(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n |a ¾infty} \Izquierda: Fracción x + 1, (n+1) ¡n! \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \izquierda: frac{x}{n+1} \derecha: límites entre n e infty \frac{1}{n+1} \\ y= |x|dot 0 &= 0 &< 1.end{align} \]

Como el límite es cero y no depende del valor de \( x \), se tiene

• Intervalo de convergencia

\[ (-\infty, +\infty) \]

• Radio de convergencia

\[ R=\infty \]

Halla el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:

\[ suma _{n=0} ^{infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]

Responde:

Apliquemos de nuevo la prueba de la razón.

• En esta serie, tienes

\[ a_{n}=\frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]

• Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión

\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{n+2} \cdot \frac{n+1}{(x-1)^{n}} \¾derecha| ¾&= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \Izquierda: \frac {(x-1)(n+1)} {n+2} Derecha: \frac {n+1)} {n+2} \frac {n+1} \frac{n+1}{n+2} \\ y= |x-1| \cdot 1 y= |x-1|. \fin \]

Como el resultado del límite sí depende del valor de \( x \), pero la prueba de razón dice que este límite tiene que ser menor que uno para que la serie sea convergente. Compruébalo:

• A partir de la prueba de razón, tienes

\[ |x-1|<1.\]

• Resolviendo esta desigualdad

\[ empieza{alinear} -1 &< x-1 < 1 \ {alinear} -1 +1 &< x < 1+1 \ {alinear} 0 &< x < 2. \ {finalizar{alinear} \]

De esta forma, tienes que el intervalo de convergencia es \( (0,2) \). ¡Pero aún no has terminado! Tienes que comprobar si la serie converge o no en los puntos finales. Comprobación de los puntos finales:

• Para \( x=0 \), tienes la siguiente serie

\[ \suma _{n=0} ^{infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}. \]

• Como se trata de una serie alterna, puedes aplicar el Teorema de Leibniz. Consulta el artículo Series alternas para obtener más información. Si utilizas el Teorema de Leibniz, entonces

\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]

• Aplicando el teorema

1. Necesitas que \( a_n >0 \), lo cual es válido para esta serie;
2. Necesitas que \( a_n \ge a_{n+1}), lo que también es válido ya que \[ n+1 < n+2 \] implica que \[\frac{1}{n+1} > \frac{1}{n+2}.\]
3. Necesitas que \frac{1}{n}{n+1} = 0.\frac{1}, lo cual también es cierto ya que \frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1}.

Por tanto, la serie converge para \( x=0 \). Veamos el otro extremo.

• Para \( x=2 \), tienes la serie siguiente

\[ \suma _{n=0} ^{\infty} \frac{1}{n+1}. \]

• Sustituyendo \( m=n+1 \) para asegurarte de que la serie empieza en cero, tienes

\[ \ suma _{m=1} ^{infty} \frac{1}{m} . \]

Ésta es la serie armónica, que es divergente.

Juntando todo esto se puede decir

• Intervalo de convergencia

\[ [0, 2) \]

• Radio de convergencia

\[ R=1 \]

Demuestra que la función

\[ f(x)=\frac{1}{1-x} \]

puede escribirse como una expansión en serie de potencias.

Responde:

Volviendo a la serie geométrica, la fórmula sería

\[ suma _{n=0} ^{infty} a r^n = \frac{a}{1-r}, |r|<1. \]

Observando \( f(x) \) y comparándola con la serie geométrica, si tomas \( a=1 \) y \( r=x \) puedes volver a sustituirla por la serie, obteniendo

\[ \suma _{n=0} ^{infty} x^n = \frac{1}{1-x}, |x|<1. \]

Por tanto, si \( -1<x<1) entonces la expansión en serie de potencias de \( f(x) \) es

\[ f(x) = \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\ puntos \]

Demuestra que la función

\[ f(x)=\frac{1}{4+x^2} \]

puede escribirse como una expansión en serie de potencias.

Responde:

Escribamos la función de una forma más útil haciendo un poco de álgebra:

\f(x) &= \frac{1}{4+x^2} \\ &= \frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})} |= \frac{\frac{1}{4}{1-\frac izquierda(-\frac{x^2}{4}\frac derecha)}. \fin].

Observando la nueva forma de \( f(x) \) y comparándola con la serie geométrica, puedes establecer

\[ \begin{align} a=\frac{1}{4}, \text{ y } r=-\frac{x^2}{4}. \end{align} \]

Luego, sustituyéndolo de nuevo en la serie

\[\frac{x^2}]. \frac{1}{4+x^2} &= \suma _{n=0} ^{infty} \frac{1}{4}{Izquierda( -\frac{x^2}{4}{Derecha)^n &= \frac{1}{4}{Izquierda}{ -\frac{x^2}{4}{Derecha} ^n &= \frac{1}{4}{Derecha} ^{\\infty} \frac{(-1)^n}{4} \left(\frac{x^2}{4}\right)^n .\end{align}\]

¡Esto sólo es válido si \( |r|<1 \)! Por tanto,

\[ |inicio{alineación} \izquierda| \frac{x^2} {4} {derecha| &<1 \frac{x^2} {4} {derecha| &< 1 \frac{x^2} {4} &< 1 \ x^2 &<4 \ -2 < &x < 2 \final].

Por tanto, si (-2<x<2) la expansión en serie de potencias de (f(x)) es

\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2+4} = 1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}+\ puntos \].

Calcula la derivada de la siguiente función:

\[ f(x) = \suma _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}. \]

Contesta:

Primero, considera la forma expandida de esta serie

\[ f(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots \].

Si tomamos la derivada obtenemos

f'(x) &= \left[ 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots \right]' \\\\\f &= 0+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+puntos &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+puntos \end{align} \]

Por lo tanto, tienes el útil hecho de que

\f(x) &= 1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+frac{x^4}{24}+puntos f'(x) &= 1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}+frac{x^4}{24}+puntos f'(x) &=f(x). \fin{align} \]

Calculemos ahora \(f'(x)\) utilizando la notación sigma:

\[ f'(x) = \left[\suma _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}\right]' .\\]

Utilizando las propiedades de la derivada,

\f'(x) &= suma _{n=0} ^ {{infty}}. ^{infty} \left[ \frac{x ^{n}}{n!}\right]' &= \suma _{n=1} ^{{infty}} \frac{nx ^{n-1}} ¡{n!}. \end{align} \]

Te gustaría que la serie empezara en cero, así que sustitúyela por \( m=n-1 \) para obtener

\[ \begin{align} f'(x) &= \sum _{m=0}} ^{infty} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)!} \\ &= suma _{m=0}} ^{{infty}} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)\cdot m!} \\ &= suma _{m=0} ^{{infty}} \frac{x ^{m}}{m!}.\final{align} \]

¡Observa que la serie de potencias de \( f'(x) \) es la misma que la serie de \( f(x) \)! ¿En qué otra función se te ocurre que la derivada de la función te devuelva la función? Sí, es tu vieja amiga la función exponencial. Hace falta un poco más de trabajo para demostrar que \(f(x)\) es en realidad lo mismo que la función exponencial, y eso es algo que verás en una clase posterior.

Considera la siguiente expansión en serie de potencias

\[ \begin{align} f(x) = \frac{1}{1-x} = \ suma _{n=0} ^{\infty} x^n,\quad |x|<1. \end{align}. \]

Encuentra una expansión en serie de potencias para la función

\g(x) = frac{1}(1-x)^2}.

Respuesta:

Para empezar a resolver este problema, observa primero que \( g(x) \) es la derivada de \( f(x)\):

\f'(x) &= \left( \frac{1}{1-x} \right)' &= \frac{0\cdot(1-x) - 1\cdot(-1)}{(1-x)^2}. \\ y= \frac{1}(1-x)^2} \\ &= g(x). \fin{align} \]

Ahora que sabes que \( g(x)=f'(x) \), puedes tomar la derivada de la serie de potencias, y ésta se convertirá en la expansión en serie de potencias de \( g(x) \). Haciendo esto obtienes

\f'(x) &= izquierda[ suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]]' &= suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]' &= suma _{n=0} ^{infty} x^n+derecha]. ^{infty} \left[ x^n\right]' &= \suma _{n=1}} ^{\infty} n x^{n-1}. \fin{align} \]

Puedes hacer que la serie empiece en cero si sustituyes \( m = n-1 \). Por tanto,

\[ g(x) = \suma _{m=0} ^{\infty} (m+1) x^{m}}.\]

¡Recuerda que esto sólo es posible si \(|x|<1\)! No puedes deshacerte de las restricciones de \(x\).

Escribe la siguiente función como una serie de potencias

\[ f(x)=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}.\]

Respuesta:

Primero, utiliza un poco de álgebra para escribir esta función de forma más compacta:

Suma las fracciones

\[ \begin{align} f(x) &=dfrac{1+x+1-x}{(1-x)\cdot(1+x)} &=dfrac{2}{(1-x^2)} . \end{align}\]

Luego, compárala con la serie geométrica

\[ \begin{align} \suma _{n=0}} ^{infty} a r^n &= \frac{a}{1-r}, |r|<1 f(x) &=\dfrac{2}{(1-x^2)}. \end{align}\]

Establece ahora \(a = 2\) y \(r= x^2\). Recuerda que para que una serie geométrica converja necesitas \( |r|<1\\), así que debes considerar

\[ \begin{align} \left| x^2\\right| <1 \\\ x^2<1 \\ -1<x<1. \\\end{align}\]

Ahora puedes establecer la serie con el intervalo de convergencia:

\[ suma _{n=0} ^{infty} 2 (x^2)^n = \frac{2}{1-x^2}, |cuadrado |x|<1, \].

o simplificando

\[ suma _{n=0} ^{infty} 2 x^{2n} = \frac{2}{1-x^2}, |cuadrado |x|<1.\]

Por tanto, si \( -1<x<1 \) tienes la siguiente expansión en serie para \(f(x)\):

\[ \begin{align} f(x) & = \sum _{n=0}} ^{\\infty} 2 x^{2n} \\ &= 2 + 2x^2+2x^4+2x^6+puntos fin].

Para calcular el radio y el intervalo de convergencia, para la expansión en serie de potencias de \(\sin(x)\), tienes que aplicar la Prueba de la Relación para la convergencia.

Primero establece \( a_n \) como

\[ a_n = (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]

Aplica la prueba de la razón y simplificando la expresión obtienes

\[ \begin{align}L &= \limits_{n \a \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \¡(2(n+1)+1)! \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n \cdot x ^{2n+1}} \¾derecha| ¾ &= ¾limites_{n ¾a ¾infty} \Izquierda: Fracción (-1) de x^2 de (2n+1). \derecha = x^2 = límites de n a infty \left| \frac{(2n+1)!}{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!} \¾derecha ¾ &= |x^2| \cdot ¾limits_{n \a \infty} \(2n+3)(2n+2)}. \]

Como el límite es cero y no depende del valor de \( x \), tienes

• Intervalo de convergencia

\[ (-\infty, +\infty) \]

• Radio de convergencia

\[ R=\infty \]