Ya te habrás dado cuenta de que las funciones potencia son las segundas funciones más bonitas que existen; sólo pierde frente a las funciones exponenciales. Esto se debe a que diferenciar e integrar funciones potencia es increíblemente sencillo. ¿Y si pudieras escribir cualquier función como una suma de funciones potencia? Podrías utilizar las reglas de diferenciación e integración de las funciones potencia para diferenciar e integrar casi cualquier función. Pero primero tienes que entender cómo funcionan las series de potencias.
Puede que hayas adivinado que todos los términos de una serie de potencias son básicamente potencias de una variable. Si has pensado eso, estás en lo cierto.
Una serie de la forma
se llama serie de potencias centrada en .
Observando más detenidamente la serie de potencias centrada en , surge de forma natural un caso especial de serie de potencias cuando :
Una serie de la forma
\[ \begin{align} \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} x ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} + ... \fin{align} \]
se llama serie de potencias centrada en .
Observa que en ambas definiciones se supone que cuando y cuando .
La serie de potencias centrada en te resulta muy familiar. De hecho, si echas la vista atrás en el artículo Series geométricas, observarás una enorme similitud entre la serie de potencias centrada en y la serie geométrica; veamos un ejemplo:
Comprueba si converge la siguiente serie
.
Contesta:
Observando la definición, puedes ver que esta serie es un ejemplo de serie de potencias centrada en , donde
Desde otra perspectiva, puedes ver que también se trata de una serie geométrica, recordando que una serie geométrica tiene la siguiente forma
En este ejemplo, tienes
Una serie geométrica converge si y sólo si ; por tanto, la serie sólo converge si
O, dicho de otro modo, si
entonces la serie
\[ \{comienzo{alineación} \{suma _{n=0} ^{infty} x ^{n} ^{n} \{fin{alineación} \}]
converge. Como se trata de una serie geométrica convergente, converge a
Observa que esto sólo es posible si afirmas que ; de lo contrario, no puedes aplicar la fórmula anterior.
Consulta nuestro artículo Series geométricas para obtener más información sobre las series geométricas y su fórmula de suma.
El ejemplo anterior es un ejemplo clásico, en el que puedes asociar tus conocimientos sobre series geométricas a un tema nuevo. Sin embargo, no todas las series de potencias son tan fáciles de analizar. Veamos un ejemplo de serie de potencias no geométrica.
La serie
.
y
son ambas series de potencias. La primera está centrada en con
mientras que la segunda está centrada en con
Radio de convergencia de las series de potencias
Analizando la definición de serie de potencias, puedes observar que la serie depende del valor de . Esto sugiere que puedes tener una serie de potencias que converja para ciertos valores de y diverja para otros. La distancia a la que converge se denomina radio de convergencia. Veamos una definición formal:
El radio de convergencia de una serie de potencias, centrada en , es un valor real donde
La serie converge para todo tal que
La serie diverge para todos los como
Si la serie sólo converge para , entonces . Si la serie converge para todos los valores de , entonces .
Observa que la definición no menciona el caso en que . Esto se debe a que la convergencia de la serie en esos valores no modifica el radio de convergencia. Sin embargo, sigues necesitando comprobar si la serie converge en esos puntos para escribir el intervalo de convergencia, así que definamos qué es este intervalo:
El intervalo que contiene todos los valores de tales que la serie de potencias converge en esos valores se llama Intervalo de Convergencia. Tiene la forma de , dependiendo de si la serie converge o no en los puntos extremos.
La forma del intervalo de convergencia depende de si la serie converge o no en los puntos finales y .
Una pregunta que surge de estas definiciones es ¿cómo se calcula el radio de convergencia? Puedes utilizar las pruebas de convergencia, más concretamente la Prueba de la Razón. A veces puedes necesitar la Prueba de la Raíz, pero esto depende de la serie que estés analizando. Veamos algunos ejemplos.
¿Cuál es el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie?
La prueba de la razón dice que una serie converge si
En esta serie, tienes
Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión
\limits is allowed only on operators
Como el límite es cero y no depende del valor de , se tiene
Intervalo de convergencia
Radio de convergencia
El ejemplo anterior es clásico, y lo verás en otros ámbitos. Veamos ahora otro ejemplo en el que la serie no converge para todos los valores de .
Halla el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:
Responde:
Apliquemos de nuevo la prueba de la razón.
En esta serie, tienes
Aplicando la prueba de la razón y simplificando la expresión
\limits is allowed only on operators
Como el resultado del límite sí depende del valor de , pero la prueba de razón dice que este límite tiene que ser menor que uno para que la serie sea convergente. Compruébalo:
De esta forma, tienes que el intervalo de convergencia es . ¡Pero aún no has terminado! Tienes que comprobar si la serie converge o no en los puntos finales. Comprobación de los puntos finales:
Para , tienes la siguiente serie
Como se trata de una serie alterna, puedes aplicar el Teorema de Leibniz. Consulta el artículo Series alternas para obtener más información. Si utilizas el Teorema de Leibniz, entonces
Aplicando el teorema
Necesitas que , lo cual es válido para esta serie;
Necesitas que \( a_n \ge a_{n+1}), lo que también es válido ya que implica que
Necesitas que \frac{1}{n}{n+1} = 0.\frac{1}, lo cual también es cierto ya que \frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1} = 0.\frac{1}{n+1}.
Por tanto, la serie converge para . Veamos el otro extremo.
Para , tienes la serie siguiente
Sustituyendo para asegurarte de que la serie empieza en cero, tienes
Ésta es la serie armónica, que es divergente.
Juntando todo esto se puede decir
Intervalo de convergencia
Radio de convergencia
Expansión de la serie de potencias
Una de las partes más interesantes del estudio de las series de potencias es poder escribir una función como expansión de una serie de potencias. Al principio puede resultar extraño, pero cuanto más complejas sean las funciones que estudias, más difícil te resultará integrarlas o diferenciarlas. De hecho, algunas funciones ni siquiera pueden integrarse de la forma tradicional. Pero si puedes escribirlas como series de potencias, entonces sólo estarás integrando y diferenciando funciones potencia.
Dada una función , la expansión en serie de potencias de es una serie de potencias tal que
para un radio de convergencia determinado.
Primero echemos un vistazo a una vieja amiga, la serie geométrica:
Demuestra que la función
puede escribirse como una expansión en serie de potencias.
Responde:
Volviendo a la serie geométrica, la fórmula sería
Observando y comparándola con la serie geométrica, si tomas y puedes volver a sustituirla por la serie, obteniendo
Por tanto, si ó es
Veamos otro ejemplo.
Demuestra que la función
puede escribirse como una expansión en serie de potencias.
Responde:
Escribamos la función de una forma más útil haciendo un poco de álgebra:
Por tanto, si (-2<x<2) la expansión en serie de potencias de (f(x)) es
.
Derivadas de series de potencias
Ahora que puedes escribir algunas funciones como expansión de series de potencias, veamos qué ocurre cuando necesitas calcular la derivada de esta función; como se trata de una suma de funciones de potencias, debería ser sencillo. Primero, recuerda algunas propiedades de las derivadas:
Regla de potencias
La derivada de un múltiplo constante
La derivada de una suma
Utilizando estas tres propiedades, puedes tomar la derivada de cualquier serie de potencias
Te gustaría que la serie empezara en cero, así que sustitúyela por para obtener
Extra close brace or missing open brace
¡Observa que la serie de potencias de es la misma que la serie de ! ¿En qué otra función se te ocurre que la derivada de la función te devuelva la función? Sí, es tu vieja amiga la función exponencial. Hace falta un poco más de trabajo para demostrar que es en realidad lo mismo que la función exponencial, y eso es algo que verás en una clase posterior.
Veamos un caso en el que tomar la derivada puede ayudarte.
Considera la siguiente expansión en serie de potencias
Encuentra una expansión en serie de potencias para la función
\g(x) = frac{1}(1-x)^2}.
Respuesta:
Para empezar a resolver este problema, observa primero que es la derivada de :
Ahora que sabes que , puedes tomar la derivada de la serie de potencias, y ésta se convertirá en la expansión en serie de potencias de . Haciendo esto obtienes
Puedes hacer que la serie empiece en cero si sustituyes . Por tanto,
Extra close brace or missing open brace
¡Recuerda que esto sólo es posible si ! No puedes deshacerte de las restricciones de .
Series de potencias comunes
Mientras aprendes sobre series de potencias, te encontrarás con varias series de potencias diferentes. Sin embargo, observarás algunas comunes, empezando por las que pueden escribirse como series geométricas. Echemos un vistazo.
Escribe la siguiente función como una serie de potencias
Respuesta:
Primero, utiliza un poco de álgebra para escribir esta función de forma más compacta:
Otras series de potencias comunes son las relacionadas con las funciones y . Son muy parecidas entre sí. A medida que te adentres en el ámbito de las series de potencias, verás que
\[ Extra close brace or missing open brace\}]
Comprobemos el radio y el intervalo de convergencia para .
Para calcular el radio y el intervalo de convergencia, para la expansión en serie de potencias de , tienes que aplicar la Prueba de la Relación para la convergencia.
Primero establece como
Aplica la prueba de la razón y simplificando la expresión obtienes
\limits is allowed only on operators
Como el límite es cero y no depende del valor de , tienes
Intervalo de convergencia
Radio de convergencia
Del mismo modo, encontrarás que la expansión en serie de potencias para tiene su intervalo de convergencia como y su radio de convergencia como .
Series de potencias - Puntos clave
Una serie de potencias centrada en tiene la forma
\[ \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} (x-a) ^{n} = c _{0} + c _{1} (x-a) + c _{2} (x-a) ^{2} + \dots \]
Una serie de potencias centrada en tiene la forma
\[ \{suma _{n=0}} ^{{infty} c_{n} (x) ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} +{puntos \}]
El radio de convergencia es un valor real donde
La serie converge para todo tal que
La serie diverge para todos los como
Si la serie sólo converge para entonces .
Si la serie converge para todos los valores de entonces .
Laexpansión en serie de potencias de es una serie de potencias como
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Preguntas frecuentes sobre Series de potencias
¿Qué es una serie de potencias?
Una serie de potencias es una suma infinita de términos en la forma a_n(x-c)^n, donde a_n son coeficientes y c es el centro de la serie.
¿Para qué sirven las series de potencias?
Las series de potencias permiten representar funciones complicadas como sumas de términos más sencillos y facilitan el análisis y la solución de ecuaciones diferenciales.
¿Cómo se determina el radio de convergencia de una serie de potencias?
El radio de convergencia se determina usando el criterio de la razón o el criterio de la raíz aplicado a la serie a_n(x-c)^n.
¿Cuál es la diferencia entre una serie de potencias y un polinomio?
Un polinomio tiene un número finito de términos, mientras que una serie de potencias tiene un número infinito de términos y puede aproximar funciones en intervalos específicos.
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Lily Hulatt
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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