Solución General de Ecuación Diferencial

Demuestra que la función

\y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4}}

es una solución de

\y[2xy' = 3-4y\]].

para cualquier valor de \(C\) que sea un número real.

Solución:

Diferenciando primero la función \(y(x)\) se obtiene

\[ y'(x) = -\frac{2C}{x^3}.\]

Luego, sustituyéndolo en el lado izquierdo de la ecuación,

\[ \begin{align} 2xy' &= 2x\left(-\frac{2C}{x^3} \right) &= -\frac{4C}{x^2}. \fin].

Sustituyendo en el lado derecho de la ecuación tenemos

\[ \begin{align} 3-4y &= 3-4\left( \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4} \right) \frac{4C}{x^2} &= 3-\frac{4C}{x^2} - 3 \frac{4C}{x^2} .\end{align}]

Como obtienes lo mismo en los lados izquierdo y derecho cuando sustituyes por \(y(x)\), se trata de una solución de la ecuación. De hecho, esto es cierto para cualquier número real \(C\).

Si graficas la solución para algunos valores de \(C\) podrás ver por qué la solución general suele llamarse familia de funciones. La solución general define todo un grupo de funciones muy parecidas entre sí. Todas las funciones del gráfico siguiente tienen la misma asíntota vertical, la misma forma y el mismo comportamiento a largo plazo.

Fig. 2 - La solución general es una familia de funciones. Aquí ves cuatro valores distintos de \(C\) que producen curvas de aspecto muy similar.

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial homogénea \ (xy' = -2y \)?

Solución:

Se trata de una ecuación diferencial separable. Se puede reescribir como

\[\frac{1}{y}} = -\frac{2}{x}.\]

Puedes utilizar un factor integrador para resolverla, y para recordar cómo hacerlo consulta el artículo Soluciones a ecuaciones diferenciales. Cuando lo resuelves obtienes

\[ y(x) = \frac{C}{x^2}.\]

Como la solución depende de una constante, es una solución general. De hecho, podrías escribirla como

\y_C(x) = \frac{C}{x^2}.\]

para recordarte que la solución general depende tanto de esa constante como de \(x\).

Demuestra que \(y_p(x) = \dfrac{3}{4} \) resuelve la ecuación diferencial no homogénea \(2xy' = 3-4y \).

Solución:

Observa que \(y'_p(x) = 0 \), así que sustituyendo esto en el lado izquierdo de la ecuación te da

\[ 2xy_p' = 2x(0) = 0.\]

Sustituyéndolo en el lado derecho de la ecuación,

\[ 3-4y_p = 3-4\left(\frac{3}{4}\\right) = 0.\]

Como obtienes lo mismo en ambos lados, \(y_p(x)\) es una solución de la ecuación diferencial no homogénea.

¿Resuelve \(y_C(x) = \dfrac{C}{x^2} \) resuelve la ecuación diferencial no homogénea \(2xy' = 3-4y \)?

Solución:

Empieza por tomar la derivada:

\[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3}.\]

Luego, sustituyéndola en la ecuación diferencial del lado izquierdo, obtienes

\[ \begin{align} 2xy_C' &= 2x\left( -\frac{2C}{x^3} \right) \\tu &= -\frac{4C}{x^2} fin].

y en el lado derecho, obtienes

\[\inicio{align} 3-4y_C &= 3-4\left(\frac{C}{x^2} \ right) \\frac &= 3-\frac{4C}{x^2} .\end{align}\].

Definitivamente no son iguales, así que \(y_C(x)\) no resuelve la ecuación diferencial no homogénea.

Demuestra que \ (y_C(x) = \dfrac{C}{x^2} \ ) resuelve la correspondiente ecuación diferencial homogénea \ (2xy' = -4y \).

Solución:

Como antes,

\[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3},\]

y sustituyendo esto en el lado izquierdo de la ecuación sigues teniendo

\[ 2xy_C' = -\frac{4C}{x^2} .\]

Sin embargo, si sustituyes \(y_C(x)\) en el lado derecho de la ecuación, obtienes ahora

\[ -4y_C = -\frac{4C}{x^2} ,\]

por lo que \(y_C(x)\) resuelve la ecuación diferencial homogénea correspondiente.

¿Cuál de las siguientes es una solución general de la ecuación diferencial no homogénea

\y' = y+sin x?

(a) \(y(x) = Ce^x\)

(b) \(y(x) = \sin x + \cos x\)

(c) \(y(x) = Ce^x -\dfrac{1}{2}(\sin x + \cos x )\).

Solución:

Para averiguarlo, puedes resolver la ecuación diferencial no homogénea, o bien probar a enchufar cada una de ellas. A medida que practiques más te acostumbrarás a mirar una ecuación y tener una idea general de cuál será la solución. Veamos sucesivamente cada una de las posibles soluciones.

(a) Por tu experiencia trabajando con ecuaciones diferenciales lineales ya sabes que \(y(x) = Ce^x\) es la solución de la ecuación diferencial homogénea \(y'=y\). Es la solución general de la correspondiente ecuación diferencial homogénea de la ecuación diferencial no homogénea. En otras palabras, sería \(y_C(x)\), y ya has visto que \(y_C(x)\) no resuelve la ecuación diferencial no homogénea.

(b) Esta posible solución parece más prometedora, ya que contiene funciones trigonométricas. Si la introduces en el lado derecho de la ecuación diferencial no homogénea, obtienes

\y+sin x &= \sin x + \cos x + \sin x &= 2\sin x + \cos x. \end{align}\].

Tomando la derivada se obtiene

\y'(x) = \cos x -\sin x.

No es exactamente lo mismo, así que esta función no es la solución general de la ecuación diferencial no homogénea.

(c) Esta solución potencial tiene tanto la solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente como funciones trigonométricas. ¡Puede que funcione! Tomando la derivada obtienes

\[y'(x) = Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x).\]

Si lo introduces en el lado derecho de la ecuación, obtienes

\y+sin x &= Ce^x -\frac{1}{2}(\sin x + \cos x ) + \sin x &= Ce^x +\frac{1}{2}sin x -\frac{1}{2} \cos x &= Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) .\end{align}\]

Como obtienes lo mismo en ambos lados, esta función es una solución general de la ecuación diferencial no homogénea.