Verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales
Empecemos por ver cómo verificar si una función es solución de una ecuación diferencial. Supongamos que te dan una ecuación diferencial
\[ y' = f(x,y),\]
y alguien te dice que la función \(y(x)\) es una solución de la ecuación. ¿Cómo puedes comprobar si tiene razón?
Para comprobar que \(y(x)\) es una solución de la ecuación diferencial \(y'=f(x,y)\), evalúa \(y'(x) - f(x, y(x))\) y comprueba si obtienes \(0\). Si es así, entonces \( y(x)\) es una solución.
Veamos un ejemplo.
Comprueba que
\[y(x) = \ln (x^2 - 4x - 4)\].
es una solución de la ecuación diferencial
\[ y' = e^{-y}(2x - 4).\]
Solución
Primero tendrás que hallar \(y'(x)\), así que usando la Regla de la Cadena obtienes
y'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\frac{\mathrm{d}}(y'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\frac{\mathrm{d}}(x) \ln (x^2 - 4x - 4) &= \frac{1}{x^2 - 4x - 4}\cdot \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} (x^2 - 4x - 4 ) &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 }.\end{align}\k].
Introduciendo esto en \ (y'(x) - f(x, y(x))\) se puede ver que
\y'(x) - f(x, y(x)) &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \exp\left(-\ln (x^2 - 4x - 4) \right) &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \exp\left( \ln \left( \frac{1}{x^2 - 4x - 4 }\right)\right) &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \left( \frac{1}{x^2 - 4x - 4 }\right) &= 0.\end{align}\]
Por tanto, \(y(x)\) es una solución de la ecuación diferencial.
¿Qué puedes hacer si quieres hacerte una idea de cómo es una solución sin resolver la ecuación diferencial?
Graficar soluciones de ecuaciones diferenciales
Hay dos métodos principales que puedes utilizar para hacerte una idea del aspecto y comportamiento de la solución de una ecuación diferencial sin llegar a resolverla.
Si quieres una aproximación numérica, puedes utilizar el Método de Euler.
Los Campos de Dirección, también llamados campos de pendiente, utilizan el hecho de que la derivada es una pendiente para trazar un "campo" de pendientes que puede permitirte predecir cómo se comportarán las soluciones.
En los artículos sobre estos temas encontrarás muchos ejemplos de cómo representar gráficamente las soluciones. Si realmente puedes resolver la ecuación diferencial, puedes representar gráficamente la solución general. Llamarla "solución general" hace que parezca una única solución, pero en realidad es una familia de funciones. El comportamiento de la solución depende del punto de partida de la solución (también llamado condición inicial). Para más información sobre este tema, consulta Soluciones generales de ecuaciones diferenciales.
Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre puede escribirse de la forma
\frac[ \frac{mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x),\]
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones.
Un caso especial es cuando \(P(x)\) y \(Q(x)\) son constantes, entonces la ecuación lineal de primer orden puede escribirse como
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]
Entonces
\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]
es la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes.
Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenimplica un factor integrador, y hay muchos ejemplos en los artículos Ecuaciones diferenciales lineales y Ecuaciones lineales no homogéneas.
Soluciones exponenciales de ecuaciones diferenciales
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes son casi la única clase de ecuaciones diferenciales cuya solución exponencial está garantizada. Sin embargo, eso no significa que otras ecuaciones diferenciales no puedan tener funciones exponenciales en sus soluciones. Veamos un ejemplo.
Comprueba que \(y(x) = e^{2x} + e^{4x}\) es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden
\[y'' - 6y' + 8y = 0.\]
Solución
Para comprobar que \(y(x)\) es una solución, necesitarás tanto la primera como la segunda derivada. Hallando la primera derivada obtienes
\[ y'(x) = 2e^{2x} + 4e^{4x},\}]
y puedes utilizarla para hallar la segunda derivada es
\[ y''(x) = 4e^{2x} + 16e^{4x}.\]
Luego, introduciéndolas en la ecuación, obtienes
\y'' - 6y' + 8y &= 4e^{2x}} + 16e^{4x}. + 16e^{4x} -6(2e^{2x} + 4e^{4x}) + 8(e^{2x} + e^{4x} ) \ &= 4e^{2x} + 16e^{4x} -12e^{2x}-24e^{4x} + 8e^{2x} + 8e^{4x} \\ &= 0. \end{align}\]
Como has obtenido cero, se verifica que \(y(x)\) es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden.
Observa que en el ejemplo la ecuación diferencial era
\[y'' - 6y' + 8y = 0.\]
Si piensas en trasladar esto a un polinomio en el que el número de derivadas es la potencia a la que elevas \(r\), obtienes
\[ r^2 - 6r + 8 = 0.\]
Este factor es \( (r-2)(r-4) = 0\), que tiene soluciones \(r=2\) y \(r=4\), ¡que aparecieron en los exponentes de la solución! Cosas como los polinomios característicos y las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden son algunas de las cosas que aprenderás si asistes a una clase de ecuaciones diferenciales.
Soluciones de equilibrio de las ecuaciones diferenciales
Algunas ecuaciones diferenciales tienen una solución de equilibrio.
Una solución de equilibrio \(y(x)\) de una ecuación diferencial de primer orden es aquella que satisface \(y'(x)\equiv 0\).
En otras palabras, ¡una solución de equilibrio de una ecuación diferencial de primer orden es una solución constante! Las soluciones de equilibrio se denominan a veces soluciones de estado estacionario.
Una famosa ecuación diferencial con no sólo una, sino dos soluciones de equilibrio es la logística
\[P' = r\left( 1- \frac{P}{k}\\right)P.\]
Para más información sobre la ecuación logística, junto con las soluciones y cómo se comportan, consulta La ecuación diferencial logística.
Un lugar donde suelen aparecer soluciones de equilibrio es en las ecuaciones diferenciales separables. Veamos un ejemplo.
Encuentra las soluciones de la ecuación diferencial separable
\[ y' = (x+3)(y^2-16).\]
Solución
En primer lugar, busquemos las soluciones constantes. Éstas se dan cuando \(y' = 0\), o lo que es lo mismo, cuando
\[ (x+3)(y^2-16) =0.\]
Recuerda que estás buscando una solución, o dicho de otro modo, ¡una función \(y(x)\)! Así que la idea es resolver para \(y\) en la ecuación anterior. Eso significa que obtendrás una solución constante cuando \(y^2 - 16 = 0\), o dicho de otro modo, cuando \(y = 4\) o \(y = -4\). Así que hay dos soluciones constantes.
¿Y las demás soluciones? Como la ecuación es separable, escríbela primero como
\[ \frac{1}{y^2-16} y' = x+3\]
luego integra ambos lados con respecto a \(x\) para obtener
\izquierda = \frac{1}{4}\ln||\frac{y-2}{y+2}\derecha = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C.\].
Como has resuelto la ecuación diferencial, pero no has resuelto para \(y\), ésta es la solución implícita. Si es posible, conviene escribir la solución de la ecuación diferencial de forma explícita, es decir, resolver para \(y\).
Así que haciendo un poco de álgebra obtienes
\[ \ln\left||\frac{y-2}{y+2}\right| = 2x^2 + 12x + D\].
donde \(D\) no es más que renombrar la constante \(4C\). Utilizando las propiedades de los logaritmos, esto significa
\[ \left||frac{y-2}{y+2}\right| = \exp (2x^2 + 12x + D ),\]
por lo que
\[\frac{y-2}{y+2} = \pm \exp (2x^2 + 12x + D ) .\]
Dejando que \(B = \pm e^D\) (que en realidad es otra constante), y haciendo un poco más de álgebra te da
\y-2 &= (y+2)|izquierda(B\exp (2x^2 + 12x) \derecha) \\\N &= By\exp (2x^2 + 12x )+2 B\exp (2x^2 + 12x ), \end{align}\N].
por lo que
\y - By\exp (2x^2 + 12x ) = By\exp (2x^2 + 12x ) \].
y
\y(x) = \frac{ By\exp (2x^2 + 12x ) }{1-B\exp (2x^2 + 12x ) }.|].
Si lo prefieres, puedes escribirlo como
\y(x) = \frac{ Be^{2x^2 + 12x } }{1-Be^{2x^2 + 12x } }].
Así que ahora tienes dos soluciones de equilibrio y una solución general. ¿Cómo sabes cuál es la correcta? Bueno, técnicamente todas son correctas. Forman un conjunto de funciones que resuelven todas la ecuación diferencial. Si te dieran los valores iniciales, podrías elegir una de las soluciones de equilibrio o resolver \(B\) en la solución general para obtener una solución particular.
Para ver un ejemplo de ecuación diferencial que puede tener una, ninguna o infinitas soluciones en función del valor inicial, consulta nuestro artículo Soluciones generales de ecuaciones diferenciales.
Si te interesa ver más sobre soluciones a problemas de valor inicial, consulta Soluciones particulares a ecuaciones diferenciales y Problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales.
Veamos otro ejemplo.
Supongamos que tienes una pizza congelada y necesitas hornearla. La pizza se hornea a \(375^\circ\). La temperatura de tu cocina es \(70^\circ\). ¿Cuál es la ecuación diferencial que modela esto, y cuál es la solución de equilibrio?
Solución
Primero, decidamos cuáles son las variables. Ciertamente una de ellas será el tiempo, y la otra la temperatura, pero tienes que averiguar cuál es la variable independiente y cuál la dependiente. Como la temperatura de la pizza depende del tiempo, significa que el tiempo es la variable independiente y la temperatura es la variable dependiente. Dándoles a cada una una variable, sea
- \(t\) es el tiempo transcurrido desde que salió del horno; y
- \(y(t)\) la temperatura desde que salió del horno.
Ahora tienes que averiguar qué ecuación modela esta situación. ¡La ley de enfriamiento de Newton al rescate! Recuerda que para un objeto que se enfría (en este caso tu pizza se está enfriando a temperatura ambiente), la velocidad de cambio de la temperatura viene dada por una constante multiplicada por la diferencia entre la temperatura actual y la temperatura ambiente. Dicho de otro modo
\[y'(t) = k(y(t) - 70),\]
donde \(k\) es la constante de enfriamiento.
Aún necesitas un valor inicial para completar esto como una ecuación diferencial.
¿Cuál es el valor inicial? Es la temperatura al salir del horno, por lo que \(y(0) = 375\). Así que para completar la ecuación diferencial como un problema de valor inicial
\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) - 70) \\\ y(0)=375 \end{align}\]
donde \(k\) es la constante de enfriamiento.
También necesitas hallar la solución de equilibrio. No necesitas hallar la solución del problema del valor inicial para encontrarla, basta con establecer \( k(y(t) - 70) =0\), lo que te da \(y(t) = 70\). Así que la solución de equilibrio es
\[ y = 70^\circ \]
lo cual tiene sentido porque ésa es la temperatura de tu cocina, y es de esperar que con el tiempo la pizza se enfríe hasta alcanzar la temperatura de tu cocina.
Veamos ahora un problema asociado.
Supón que tienes una pizza congelada y necesitas hornearla. La pizza se hornea a \(375^\circ\). La temperatura de tu cocina es de \(70^\circ\), y tras \(5\) minutos de reposo en la encimera después de hornearla, tu pizza está a \(350^\circ\). Naturalmente, no quieres quemarte la boca comiendo la pizza, así que quieres esperar hasta que esté a \(300^\circ\) antes de comerla. ¿Cuánto tiempo tendrás que esperar?
Solución
En el ejemplo anterior has visto cómo plantear esta ecuación diferencial y hallar la solución de equilibrio, y has comprobado que
\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) - 70) \\ y(0)=375 \end{align}\]
donde \(k\) es la constante de enfriamiento. Aprovechemos esa información.
Ésta es una bonita ecuación separable, y escribiéndola en forma separable te da
\[ \frac{1}{y-70}}y' = k.\]
Luego, integrando ambos lados con respecto a \(t\) se obtiene
\[ \ln |y-70| = kt+C.\]
Puedes utilizar la información dada en el problema para hallar primero \(k\) y \(C\), o puedes hallar la solución explícita y luego hallar las constantes. Cualquiera de las dos formas te dará la misma respuesta.
Si introduces la condición inicial \ (y(0) = 375\) obtienes
\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]
por lo que \( C = \ln 305\).
Pero, ¿cómo hallas \(k\)? Pregúntate qué información tienes que aún no hayas utilizado. En este caso, sabes que tras \(5\) minutos de reposo en la encimera después de hornear tu pizza es \(350^\circ\), pero no la has utilizado. Traduciendo eso a las variables, \(y(5) = 350\). Introduciéndolo, junto con \(C\), en la ecuación te da
\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\\]
En otras palabras
|350-70| - \ln 305 \ln &= \ln 280 - \ln 305 \ln &= \ln \frac{280}{305}, \final{align}].
por lo que
\k= \frac{1}{5} \ln \frac{280}{305} .\}
Entonces, juntando todo, la solución al problema de valor inicial es
|y-70| = \frac{1}{5} \ln \frac{280}{305} t+\ln 305 .\]
Observa que la pregunta no pedía una solución explícita, sino cuánto tiempo tendrías que esperar para que la pizza fuera \ (300^\circ\). Así que en lugar de buscar una solución explícita, simplemente introduce la temperatura y resuelve el tiempo. Es decir
\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]].
por lo que
\[ \ln 230 - \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]
lo que significa
\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \aproximadamente 16,5.\]
Así que tendrás que esperar unos 16,5 minutos antes de poder comerte la pizza sin quemarte la boca.
Soluciones a ecuaciones diferenciales - Puntos clave
- Para comprobar que \(y(x)\) es una solución de la ecuación diferencial \(y'=f(x,y)\), evalúa \(y'(x) - f(x, y(x))\) y comprueba si obtienes \(0\). Si es así, entonces \(y(x)\) es una solución.
- Para obtener una aproximación numérica de la solución de una ecuación diferencial puedes utilizar el Método de Euler.
- Los Campos de Dirección, también llamados campos de pendiente, utilizan el hecho de que la derivada es una pendiente para trazar un "campo" de pendientes que puede permitirte predecir cómo se comportarán las soluciones.
- Una solución de equilibrio (también llamada solución constante) \(y(x)\) de una ecuación diferencial de primer orden es aquella que satisface \(y'(x)\equiv 0\).
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