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¿Cuál es la diferencia entre la solución general y la particular de una ecuación diferencial?
Una solución general de una ecuación diferencial es aquella que tiene una constante. En realidad, es una familia de funciones que resuelve la ecuación diferencial.
Una solución particular de una ecuación diferencial es la que satisface un valor inicial.
En otras palabras, puedes elegir una solución particular de la familia de funciones que resuelve la ecuación diferencial, pero que además tiene la propiedad adicional de que pasa por el valor inicial.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse como
\[ y' + P(x)y = Q(x)\]
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones. Puedes ver cómo encontrar soluciones a este tipo de ecuaciones diferenciales en el artículo Ecuaciones diferenciales lineales. Estas soluciones tienen una constante de integración y forman una familia de funciones que resuelven la ecuación.
Si añades un valor inicial a la ecuación diferencial lineal de primer orden, obtendrás lo que se llama un problema de valor inicial (a menudo escrito PIV ). Tendrá el aspecto siguiente
|y' + P(x)y = Q(x) |y(a) = b |final{align}].
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones, y \(a\) y \(b\) son constantes de valor real. Como tienes un valor inicial, la solución a este problema de valor inicial es exactamente una función, no una familia de ellas. Es una solución particular de la ecuación diferencial lineal de primer orden más general sin valor inicial.
Encontrar una solución particular a la ecuación diferencial lineal
Veamos un ejemplo para ver cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial lineal.
Considera el problema de valor inicial de la ecuación diferencial lineal
\[ \begin{align} &y' -\frac{y}{x} = 3x \ y y(1) = 7 .\end{align}\]
Primero, halla la solución general y, después, si es posible, la particular.
Solución:
Primero, vamos a resolver la ecuación diferencial para obtener la solución general. Aquí \(P(x) = -1/x\) y \(Q(x) = 3x\), por lo que sabes que el factor integrador es
\[ \begin{align} \exp\left( -\int \frac{1}{x}, \mathrm{d} x\right) &= \exp\left(-\log x\right) = \frac{1}{x}.\end{align} \]
Eso significa que la solución de
\y' -\frac{y}{x} = 3x].
viene dada por
\y izquierda(frac1}{x}{derecha) &= 3x izquierda(frac1}{x}{derecha)&= 3x + C. fin]].
Entonces, resolviendo para \(y\) obtienes
\[ y(x) = 3x^2 + Cx.\}
Así que la solución general es \(y(x) = 3x^2 + Cx \).
La solución particular utiliza los valores iniciales para averiguar cuál es \(C\). Aquí el valor inicial es \(y(1) = 7\). Introduciendo eso en la solución general obtienes
\[ 7 = 3(1)^2 + C\cdot 1,\]
o
\[ 4 = C.\]
Así que la solución particular del problema de valor inicial es
\[ y(x) = 3x^2 + 4x.\]
No todos los problemas de valor inicial lineales de primer orden tienen solución.
Volvamos a la ecuación diferencial lineal, pero con un valor inicial distinto. ¿Existe alguna solución particular para
\[ \begin{align} &y' -\frac{y}{x} = 3x \ y y(0) = 7 \end{align}]
Solución:
Por el ejemplo anterior, sabes que la solución general de
\y' -\frac{y}{x} = 3x \].
es
\y(x) = 3x^2 + Cx.
Ahora intenta introducir el valor inicial para hallar \(C\). Cuando lo hagas
obtienes
\[ 7 = 3(0)^2 + C\cdot 0,\]
o
\[ 7 = 0.\]
Eh, ¡espera un momento! Siete no es igual a cero, ¿entonces qué pasa? Como no puedes encontrar un \(C\) que satisfaga el valor inicial, ¡este problema de valor inicial no tiene una solución concreta!
¡A veces incluso se obtiene más de una solución!
Volvamos a la ecuación diferencial lineal, pero con un valor inicial distinto. ¿Existe una solución particular para
\[ \begin{align} &y' -\frac{y}{x} = 3x \\ y y(0) = 0 \end{align}\].
Solución:
Por el ejemplo anterior sabes que la solución general de
\y' -\frac{y}{x} = 3x \}]
es
\y(x) = 3x^2 + Cx.
Ahora intenta introducir el valor inicial para hallar \(C\). Cuando lo hagas
obtienes
\[ 0 = 3(0)^2 + C\cdot 0,\]
o
\[ 0= 0.\]
Eh, espera un momento, ¡eso siempre es cierto! No importa qué valor de \(C\) pongas, siempre satisfará el valor inicial. ¡Eso significa que este problema de valor inicial tiene infinitas soluciones!
¿Por qué ocurre esto? Resulta que la existencia de una solución, y la unicidad de una solución, dependen de las funciones \(P(x)\) y \(Q(x)\).
Si \(a, b \en \mathbb{R}), y \(P(x)\), \(Q(x)\) son ambas funciones continuas en el intervalo \((x_1, x_2)\) donde \(x_1 < a < x_2 \) entonces la solución del problema de valor inicial
\[\begin{align} &y' + P(x)y = Q(x) \\ {y(a) = b \end{align}\}].
existe y es único.
Para una revisión de las funciones continuas, véase Continuidad sobre un intervalo.
En otras palabras, la dificultad de la ecuación diferencial
\[ y' -\frac{y}{x} = 3x \]
es que la función
\[ P(x) = -\frac{1}{x} \]
no es una función continua en \(x=0\), por lo que cualquier valor inicial que pase por \(x=0\) puede no tener solución, o no tener una solución única.
Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales no homogéneas
En primer lugar, recuerda que una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden tiene el aspecto siguiente
\[ y' + P(x)y = 0.\]
¡Pero eso no es más que un caso especial de la ecuación diferencial lineal de primer orden que ya has visto! En otras palabras, la ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene el aspecto siguiente
|y' + P(x)y = Q(x) &y(a) = b \end{align}]
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones, y \(a\) y \(b\) son constantes de valor real. Así que lo único que tienes que hacer para encontrar más información sobre este tipo de ecuaciones es consultar el artículo Ecuaciones lineales no homogéneas.
Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales separables
Una ecuación diferencial separable de primer orden es una ecuación que puede escribirse de la forma
\[y'=f(x)g(y).\]
Para más información sobre este tipo de ecuaciones diferenciales, puedes echar un vistazo a nuestros artículos Ecuaciones separables y Aplicación de la separación de variables.
Al igual que con las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, obtienes una familia de funciones como solución de las ecuaciones separables, y esto se llama solución general. Por otra parte, la solución del problema de valor inicial
|y'=f(x)g(y) |y(a)=b \end{align}\}].
es una solución particular.
Veamos un ejemplo.
Encuentra la solución particular del problema de valor inicial
\[ \begin{align} & y' = \dfrac{y^2}{x} \ y y(1) = 2 \end{align}]
junto con las restricciones de dominio que pueda tener.
Solución:
Primero vamos a encontrar la solución. Separa las variables para obtener
\[ \frac{1}{y^2} y' = \frac{1}{x} \]
y luego integra ambos lados con respecto a \(x\) para obtener
\y = \int \frac{1}{x}, \mathrm{d} x].
así que
\[ -\frac{1}{y} = \ln |x| + C.\]
Entonces, resolviendo para \(y\), la solución general viene dada por
\[ y(x) = -\frac{1}{ |ln |x| + C }.\]
Ahora puedes utilizar la condición inicial \(y(1)=2\) para encontrar una solución particular. Es decir
\[ 2 = -\frac{1}{ \ln |1| + C },\]
y
\[C = -\frac{1}{2}}.
Por tanto, la solución particular es
\y(x) = -\frac{1}{ |ln |x| - \frac{1}{2}].
Ahora veamos las restricciones que puede tener la solución. Con los signos de valor absoluto, no tienes que preocuparte de tomar el logaritmo de un número negativo. Sin embargo, sigues sin poder tener \(x=0\), y también necesitas que el denominador no sea cero. Eso significa que necesitas
\[ \ln |x| - \frac{1}{2} \ne 0.\]
Utilizando las propiedades de los logaritmos, puedes ver que \(x \ne \pm \sqrt{e}) también es una condición necesaria.
Eso significa que hay cuatro intervalos en los que puede estar tu solución:
- \( -\infty < x < -\sqrt{e} \)
- \(-0 < x < 0)
- \(0 < x < 0)
- \( \sqrt{e} < x < \infty\).
Entonces, ¿cómo sabes en cuál está tu solución? ¡Fíjate en el valor inicial! El valor inicial de este problema es \(y(1) = 2 \), y \(x=1\) está en el intervalo \( (0 , \sqrt{e} )\). Eso significa que la restricción de dominio para esta solución particular es \( (0 , \sqrt{e} )\).
Ejemplos de solución particular de una ecuación diferencial
Veamos algunos ejemplos de soluciones particulares. En primer lugar, ¿cómo sabes si algo es realmente una solución particular?
Demuestra que
\[ y = 2x^{-3}\]
es una solución particular del problema de valor inicial
\[ &xy' +3y = 0 &y(1) = 2. \end{align}\]
Solución:
Suele ser buena idea comprobar primero el valor inicial, ya que será relativamente fácil, y si la perspectiva no satisface el valor inicial no puede ser una solución del problema de valor inicial. En este caso
\[ \begin{align} y(1) & = 2(1)^{-3} \\b\= 2, \end{align}\]
por lo que la función \(y(x) = 2x^{-3} \) sí satisface el valor inicial. Ahora sólo tienes que comprobar si satisface la ecuación. Para ello necesitas \(y'\), por lo que
\[ y' = 2(-3)(x^{-4}) = -6x^{-4}.\]
Sustituyendo eso en la ecuación diferencial
\xy' +3y &= x-izquierda(-6x^{-4} {derecha) + 3-izquierda(2x^{-3} {derecha) = -6x^{-3} + 6x^{-3}. + 6x^{-3} \\ &= 0 fin].
Por tanto, la solución propuesta satisface la ecuación diferencial.
Puesto que \(y(x) = 2x^{-3} \) satisface tanto el valor inicial como la ecuación diferencial, es una solución particular del problema de valor inicial.
Echemos un vistazo a algo que no es de primer orden.
Encuentra una solución particular al problema de valor inicial
\[ \begin{align} &y'' = 3x+2 \\ {y(0)=3 \ {y'(0) = 1. \end{align}\]
Solución:
El primer paso es encontrar una solución general. Observa que en realidad se trata de una ecuación de segundo orden, por lo que tiene dos valores iniciales. Sin embargo, se trata de una ecuación de segundo orden especialmente bonita, ya que la única \(y\) que hay en ella es una segunda derivada, y ya está separada.
Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\) obtienes
\[ y' = \frac{3}{2}x^2 + 2x + C.\]
Integrando una vez más obtienes
\[ y(x) = \frac{1}{2}x^3 + x^2 + Cx + D,\]
que es la solución general. Hay dos constantes que acompañan a los dos valores iniciales. Utilizando \(y'(0) = 1 \) obtienes
\[ y'(0) = \frac{3}{2}0^2 + 2(0) + C = 1,\]
Por tanto, \(C = 1\). Introduciendo esto en la solución general se obtiene
\[ y(x) = \frac{1}{2}x^3 + x^2 + x + D,\] y luego puedes usar el segundo valor inicial \(y(0)=3 \) para obtener
\[ y(0) = \frac{1}{2}0^3 + 0^2 +0 + D = 3,\]
lo que significa que \(D = 3\). Por tanto, la solución particular del problema de valor inicial es
\[ y(x) = \frac{1}{2}x^3 + x^2 + x + 3,\].
Soluciones particulares a ecuaciones diferenciales - Puntos clave
- La ecuación lineal de primer orden \[\begin{align} &y' + P(x)y = Q(x) \ &y(a) = b \end{align}\]
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones, y \(a\) y \(b\) son constantes de valor real, se denomina problema de valor inicial.
La solución de un problema de valor inicial se llama solución particular.
La solución de una ecuación diferencial sin valores iniciales se llama solución general. Es una familia de funciones y no una única particular.
La solución del problema de valor inicial separable de primer orden
|y'=f(x)g(y) |y(a)=b \end{align}\}].
es una solución particular.
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