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Podemos medir el ritmo al que creces y engordas en función del tiempo. Pero, ¿cómo se compara la velocidad a la que cambia tu altura con la velocidad a la que aumentas de peso? El cálculo y la Regla de L'Hôpital nos proporcionan una forma de comparar la velocidad de crecimiento de las funciones. Comparar tasas de crecimiento de funciones es útil en diversos campos, como el desarrollo del crecimiento infantil, la evaluación y predicción de los resultados de una empresa y el estudio del crecimiento de la población.
Significado de la Tasa de Crecimiento de las Funciones
El cálculo trata del cambio. Uno de los principales objetos de estudio del cálculo son las funciones, que son objetos matemáticos que relacionan dos o más cantidades. Resulta especialmente interesante saber cómo cambian las funciones en función de las variables utilizadas para definirlas. Aquí se define la tasa de crecimiento de una función.
La tasa de crecimiento de una función es una medida de cuánto cambia una función a medida que aumenta su variable independiente.
En este contexto, la tasa de crecimiento de una función por sí sola equivale a su tasa de cambio. Sin embargo, la tasa de crecimiento de las funciones suele utilizarse en el contexto de la comparación del crecimiento de dos funciones. ¡Sigue leyendo este artículo para obtener más información sobre este tema!
Siguiendo con el tema de la tasa de crecimiento (o tasa de cambio) de una función, tomemos por ejemplo la función
\[ f(x) = 2x.\]
Si introduces \( 3\) en la función anterior, obtendrás
\[ \begin{align} f(3) &= 2(3) \\\= 6, \end{align}\]
entonces, si introduces \( 4 \) obtendrás
\f(4) &= 2(4) &= 8. fin]].
Al aumentar el valor de \(x \) de \( 3 \) a \( 4\), la función \( f(x) \) aumentó de \( 6 \) a \(8\).
Consideremos ahora
\[ g(x) = x+8.\]
Introduciendo \( 3 \) obtienes
\[ \begin{align} g(3) &= (3)+8 &= 11, \end{align}\]
y si utilizas \( 4 \) obtendrás
\[ \begin{align} g(4) &= (4)+8 \\\= 12. \end{align}\]
Esta vez al aumentar el valor de \(x \) la función \( g(x) \) aumentó de \( 11 \) a \(12\). A pesar de que obtuviste valores mayores utilizando \( g(x) \), la tasa de crecimiento de \( f(x) \) es mayor porque los valores de la función tuvieron un cambio mayor.
Para hallar la tasa de crecimiento \( G\) de una función puedes utilizar la fórmula
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]
Considera la función
\[ f(x) = 3x-5.\]
Halla su tasa de crecimiento en el intervalo comprendido entre \(x=3\) y \(x=10\).
Solución:
Puedes hallar la tasa de crecimiento \( G\) de la función dada en el intervalo solicitado mediante la fórmula
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]
Aquí, \(x_2=10\) y \(x_1=3\), así que empieza por encontrar \( f(x_2)\) y \( f(x_1)\), es decir
\[ \begin{align} f(x_2) &= f(10) &= 3(10)-5 &= 25 \end{align}\]
y
\[ \begin{align} f(x_1) &= f(3) \\\\= 3(3)-5 \\= 4. \fin]]
Ahora, puedes utilizar la fórmula, así
\[ \frac{in}{align} G &= \frac{ f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \\ y= \frac{25-4}{10-3} \\ &= \frac{21}{7} \\ &= 3. \end{align}\}]
Así pues, la tasa de crecimiento de la función en el intervalo dado es igual a \(3\).
En el ejemplo anterior, estabas estudiando funciones lineales, que se caracterizan por tener una tasa de variación constante. Esto no siempre será así.
Considera la función
\[ f(x)= x^2.\]
Si quisieras averiguar cuánto cambia la función de \(x=1\) a \(x=2\) tendrías que hallar
\[ \begin{align} f(1) &= (1)^2 \\\b\= 1 \end{align} \]
y
\[ \begin{align} f(2) &= (2)^2 \&=4.\end{align}\]
Esto significa que la función aumentó en \(3\) unidades en el intervalo de \(1\) a \(2\). Sin embargo, si calcularas cuánto cambia la función desde \( x=2 \) hasta \(x=3\), descubrirías que
\[ \begin{align} f(3) &= (3)^2 \\b\=9, \end{align}\]
lo que ahora significa que la función aumentó en \( 5 \) unidades en el intervalo de \(2\) a \(3\).
En el contexto del cálculo, en lugar de hallar la tasa de crecimiento de una función a lo largo de un intervalo, tendrás que hallar la tasa de crecimiento instantánea de la función en un punto determinado. Esto puede hacerse hallando la derivada de la función.
Sea \( f(x) \) una función diferenciable. Su derivada \( f'(x) \) es una función que describe la tasa de crecimiento de \( f(x) \).
Normalmente se omite la palabra instante, por lo que se supone que una tasa de crecimiento se refiere a una tasa de crecimiento instantánea o a una tasa de cambio instantánea.
Considera la función
\[ g(x)=x^3+2x^2-1.\]
Encuentra una función que describa su tasa de crecimiento.
Solución:
Como la derivada de una función es una función que describe su tasa de crecimiento, necesitas encontrar la derivada de \( g(x)\). Puedes conseguirlo utilizando la Regla de Potencia, así
\[ \begin{align} g'(x) &= 3x^2+2(2)x &= 3x^2+4x. \end{align}\]
Esto significa que la función
\[ g'(x) = 3x^2+4x \]
describe la tasa de crecimiento de la función
\[ g(x) = x^3 +2x^2.\]
Sencillo, ¿verdad?
También es posible tener una tasa de crecimiento negativa . Esto ocurre cuando el valor de la función disminuye a medida que aumenta su variable independiente.
Figura 1. Gráfica de una función lineal con tasa de crecimiento negativa
En la gráfica anterior puedes observar que los valores de \(f(x)\) disminuyen a medida que \( x \) aumenta.
Tasa de crecimiento de funciones a partir de una tabla
A veces te pedirán que halles la tasa de crecimiento de una función a partir de una tabla. Considera la siguiente tabla.
| \[ x \] | \f(x)\] |
| \[ 0 \] | \[ 1 \] |
| \[ 1 \] | \[ 2 \] |
| \[ 2\] | \[ 5\] |
| \[ 3\] | \[ 10\] |
| \[4\] | \[ 17\] |
Supongamos que te piden que halles la tasa de crecimiento de la función en el intervalo comprendido entre \(x=2\) y \(x=4\). Tendrás que utilizar la fórmula de la tasa de crecimiento
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]].
con los valores de la tabla. En este caso \( x_2=4\) y \(x_1=2\), por lo que
\[ \begin{align} G &= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} \frac{17-5}{4-2} \frac{12}{2} \\ &= 6. \end{align}\}]
El inconveniente de utilizar una tabla para hallar la tasa de crecimiento de una función es que la tarea de hallar la tasa de crecimiento instantánea se hace más difícil. Como no se te da una expresión de la función, no puedes hallar su derivada de forma estándar.
Por suerte, siempre que te pidan que halles la tasa de crecimiento de una función mediante una tabla, normalmente te pedirán que lo hagas en un intervalo dado.
Comparación de tasas de crecimiento de funciones
Como se ha mencionado anteriormente en este artículo, hablar de la tasa de crecimiento de las funciones suele referirse a la comparación entre dos funciones. En otras palabras, se trata de ver cuál de las dos funciones crece más deprisa, y normalmente esto se hace en el contexto de funciones cuyo dominio se extiende hasta el infinito.
La siguiente definición te permite comparar la velocidad de crecimiento entre dos funciones como \(x \rightarrow \infty\). Para dos funciones crecientes \(f(x)\) y \(g(x)\):
\(f(x)\) crece más rápido que \(g(x)\) a medida que \(x \ flecha derecha \infty\) si
\[\lim_{x \a \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty.\}]
\(f(x)\) crece más despacio que (g(x)\) a medida que (x) \infty) si(f(x)\) crece más despacio que (g(x)\) a medida que (x) \infty) si (f(x)\frac)\f(x)}{g(x)}=0.\)
\(f(x)\) y \(g(x)\) crecen al mismo ritmo que \(x \infty)\) si\[\lim_x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=L, \quad \text{where}\quad L\neq0.\}
No importa qué nombres utilices para la función. Lo que importa es que identifiques qué función está en el numerador (arriba) y cuál en el denominador (abajo). Si el límite va a \(\pm\infty\), entonces la función de arriba crece más rápido. Si el límite llega a \(0\), la función de abajo crece más rápido.
Normalmente, tendrás que utilizar la Regla de L'Hôpital para calcular estos límites, ya que suelen dar lugar a formas indeterminadas. Consulta nuestro artículo sobre la Regla de L'Hôpital si necesitas un repaso sobre el tema.
Para comparar la tasa de crecimiento de las dos funciones, tendrás que evaluar el límite
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\}].
y luego comprobar en qué caso cae. Si el límite resultante tiene una forma indeterminada, deberás utilizar la Regla de L'Hôpital tantas veces como sea necesario hasta que puedas determinar el límite.
Considera las funciones
\[ f(x) = x^3\]
y
\[ g(x) = 100x^2.\]
¿Qué función crece más deprisa a medida que \(x \ flecha derecha \infty\)?
Solución:
Podrías tener la tentación de suponer que, como la función \( g(x) \) tiene un coeficiente de \(100\), crece más deprisa. En lugar de hacer esto, debes evaluar el límite
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{f(x)}{g(x)},\}
así que
|comienzo{alineación} \de x a infty \y= límite de x a infty \frac{x^3}{100x^2} \\ y= límite entre x e infty \y = infty. \fin].
Como el límite va al infinito, puedes suponer que \( f(x)=x^3\) crece más rápido que \(g(x)\) a medida que \( x\rightarrow\infty\).
He aquí un ejemplo en el que interviene la Regla de L'Hôpital.
Considera las funciones
\[ f(x)=x^2-10\]
y
\[ g(x) = 2x^2+6.\]
¿Qué función crece más rápido a medida que \( x\rightarrow\infty\)?
Solución:
Una vez más, empieza evaluando el límite
\límite_de_x_a_infty} frac{f(x)}{g(x)}].
así que
\límite de x a infty \frac {f(x)}{g(x)}= lim_x {a \infty} \frac{x^2-10}{2x^2+6}.\]
Esta vez no puedes factorizar ni cancelar nada, y si sustituyes \( x \) por \( \infty \) tendrás una forma indeterminada de
\[ \frac{\infty}{\infty}\]
lo que sugiere el uso de la Regla de L'Hôpital. Esto significa que tendrás que hallar las derivadas de \(f\) y \(g,\) de modo que
\[ f'(x)=2x\]
y
\[g'(x)=4x.\]
por lo que ahora puedes evaluar
\[ |comienzo{alineación} \lim_{x \a \infty} \frac {f(x)}{g(x)} &= lim_x {a \infty} \frac {f'(x)} {g'(x)} &= lim_x {a \infty} \frac{2x}{4x} \\ y= frac{1}{2}. \fin{align}\}]
Como el límite es un número distinto de \(0\), puedes concluir que ambas funciones crecen al mismo ritmo que \(x \a \infty\).
También podrías haber dividido por \( x^2 \) en el numerador y en el denominador. El objetivo de este ejercicio era ilustrar el uso de la Regla de L'Hôpital. Puedes utilizar el método que mejor te funcione. ¡Como quieras!
Cómo hallar la tasa de crecimiento de una función exponencial
La función exponencial tiene una característica peculiar que la distingue de otras funciones: es su propia derivada, es decir
\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x.\]
Esto significa que esta función puede diferenciarse una y otra vez, ¡y cada vez obtendrás otra función exponencial!
Este hecho resulta especialmente destacado cuando se compara la tasa de crecimiento de la función exponencial con otra función.
Considera las funciones
\[ f(x) = e^x\]
y
\[ g(x) = x^2.\]
Si compararas su tasa de crecimiento como \( x \a \infty \) encontrarías primero un límite indeterminado, es decir
\límite_de_x_a_infty \frac {f(x)}{g(x)} = lim_x {a \infty} \frac{e^x}{x^2}.\]
Esto sugiere el uso de la Regla de L'Hôpital. De hecho, ¡tienes que usarla dos veces! Esto significa que
\[ \begin{align} \lim_{x \a \infty} \y= límite de x a infty \frac{e^x}{2x} \\ &= límite entre x e infty \frac{e^x}{2} \\ y= infty. \fin]
donde has diferenciado dos veces cada función. Como el límite va al infinito, la función en el numerador crece más deprisa, así que \( f(x)=e^x \) es la función con la tasa de crecimiento más rápida.
En particular, dada cualquier función polinómica \( P(x) \) siempre se cumple que
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{e^x}{P(x)} = \infty,\\]
lo que significa que la función exponencial crece más rápido que cualquier función polinómica, ¡independientemente de su grado! ¡Sumérgete para ver por qué!
Aquí puedes ver por qué la función exponencial crece más rápido que cualquier función polinómica. Sin pérdida de generalidad, puedes comparar la velocidad de crecimiento de
\[ P(x) = x^n\]
con la tasa de crecimiento de
\[ f(x) = e^x,\\]
por lo que el objetivo es la evaluación de
\límite de x a infty de frac {e^x} {x^n}.
La evaluación directa del límite te daría una forma indeterminada de
\[ \frac{\infty}{\infty}\]
por lo que tendrás que utilizar la Regla de L'Hôpital. La función exponencial seguirá siendo la misma, independientemente de cuántas veces la diferencies. Sin embargo, la función \( x^n\) empezará a disminuir su grado con cada diferenciación, por lo que
\[ P'(x)= nx^{n-1},\]
entonces
\[ P''(x) = n(n-1)x^{n-2},\]
y así sucesivamente. Si la diferencias \( n \) veces, la potencia acabará llegando a \( 0\), con lo que obtendrás una función constante, es decir
\[ \begin{align} ¡P^{(n)}(x) &= n(n-1)(n-2)\dots(2)(1) &= n! \end{align}\]
Recuerda que \( n! \) se lee como el factorial de \(n\), y equivale a tomar el producto de todos los números a partir de \( 1 \) hasta \(n\).
De este modo puedes evaluar el límite requerido, es decir
\[ \lim_{x \a \infty} = límite de x a infty \n}. \]
El número \(n!\) suele ser un número muy grande, pero esto no importa, sigue siendo un número. Esto significa que el límite anterior tenderá al infinito, por lo que
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty.\]
De aquí puedes concluir que la función exponencial crece más rápido que cualquier función polinómica.
Ejemplos de velocidad de crecimiento de funciones
Comparar la velocidad de crecimiento de las funciones es una forma excelente de practicar las derivadas y los límites.
Demuestra que
\[ m(x) = e^{3x} \]
crece más rápido que
\[ n(x) = x^3+2x-1.\]
Solución:
Tienes que evaluar el límite
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{m(x)}{n(x)}\}].
y demostrar que llega hasta el infinito. Al evaluar este tipo de límites al infinito cuando intervienen funciones polinómicas, normalmente necesitarás diferenciar un número de veces igual al grado del polinomio, de modo que para evaluar
\[ \lim_{x \a \infty} \frac{m(x)}{n(x)} = \lim_{x \a \infty} \frac{e^{3x}}{x^3+2x-1}\]
tienes que diferenciar tres veces. Esto te dará
\[ \begin{align} \lim_{x \a \infty} \y= límite de x a infty \y= límite entre x e infty. \frac{3e^{3x}}{3x^2+2},\end{align}\]
entonces
\Inicio \límite de x a infty \&= límite de x a infty \y= límite entre x e infty. \frac{9e^{3x}}{6x}, \end{align}\]
y finalmente
\Inicio \límite de x a infty \y= límite de x a infty \frac {m'''(x)} {n'''(x)} &= lim_x {a \infty} \frac{27e^{3x}}{6}. \fin{align}\]
Ahora puedes factorizar las constantes y evaluar el límite, es decir
|inicio{align} \límite de x a infty \n(x)} &= \frac{27}{6}lim_{x_a \infty} e^{3x}, \final].
que llega hasta el infinito, por lo que
|lim_x \a \infty} \frac{m(x)}{n(x)} = \infty.\]
Esto significa que la función
\[ m(x)= e^{3x}\]
crece más rápido que
\[ n(x) = x^3+2x-1\]
a medida que \( x\a \infty\).
¡A veces no necesitarás utilizar la Regla de L'Hôpital!
Considera las funciones
\[ r(x) = -\frac{1}{x}\}]
y
\[ s(x) = \ln{x}.\]
Ambas son funciones que crecen lentamente. ¿Cuál crece más deprisa a medida que \(x \a \infty\)?
Solución:
Para determinar qué función crece más deprisa, debes evaluar el límite
\Límite = Límite de x a infty \frac{-\frac{1}{x}}{\ln{x}},\]
que puede escribirse como
\Lim_x hasta \infty = -lim_x hasta \infty \x{ln{x}}. \]
Como el denominador de la expresión racional anterior va al infinito como \(x\a\infty), el límite anterior es igual a \(0\), es decir
\límite de x a infty = 0,0].
Esto significa que
\[s(x)=\ln{x}\]
es la función que crece más rápido.
Tasa de crecimiento de las funciones - Puntos clave
- La tasa de crecimiento de una función define la rapidez con que \(f(x)\) aumenta o disminuye a medida que \(x\) aumenta.
- Si se habla de una sola función, normalmente tasa de crecimiento significa lo mismo que tasa de cambio.
- En este caso, la tasa de crecimiento de una función puede describirse utilizando su derivada.
- Normalmente la tasa de crecimiento se refiere a la comparación de la tasa de crecimiento de dos funciones, en cuyo caso buscas cuál de las funciones crece más deprisa.
- Aquí tienes que evaluar el límite del cociente de las funciones.
- Si se habla de una sola función, normalmente tasa de crecimiento significa lo mismo que tasa de cambio.
- Al comparar la tasa de crecimiento de dos funciones crecientes \(f(x)\) y \(g(x)\):
- \(f(x)\) crece más deprisa que \(g(x)\) a medida \(x \rightarrow \infty\) si
\[\lim_{x \a \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty.\}]
\(f(x)\) crece más despacio que (g(x)\) a medida que (x) \infty) si(f(x)\) crece más despacio que (g(x)\) a medida que (x) \infty) si (f(x)\frac)\f(x)}{g(x)}=0.\)
\(f(x)\) y \(g(x)\) crecen al mismo ritmo que \(x \en flecha \infty) si\[\lim_x \a \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=L, \quad \text{where} \quad L\neq0.\]
- \(f(x)\) crece más deprisa que \(g(x)\) a medida \(x \rightarrow \infty\) si
A veces la evaluación de los límites requeridos será indeterminada, en tal caso puedes utilizar la Regla de L'Hôpital.
También es posible que necesites utilizar la Regla de L'Hôpital más de una vez. Debes utilizarla hasta que el límite en cuestión deje de ser indeterminado.
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