Teorema del Valor Intermedio

Demuestra que $x^3+x-4=0$ tiene al menos una solución. A continuación, halla la solución.

Paso 1: Definir f(x) y hacer la gráfica

Dejaremos que $f\left(x\right)=x^3+x-4$

Paso 2: Define un valor y para c

A partir de la gráfica y la ecuación, podemos ver que el valor de la función en $c$ es 0.

Paso 3: Asegurarse de que f( x) cumple los requisitos de la IVT

A partir de la gráfica y conociendo la naturaleza de las funciones polinómicas, podemos afirmar con seguridad que $f\left(x\right)$ es continua en cualquier intervalo que elijamos.

Podemos ver que la raíz de $f\left(x\right)$ se encuentra entre 1 y 1,5. Así que dejaremos que nuestro intervalo sea [1, 1,5]. El Teorema del Valor Intermedio dice que $f\left(c\right)=0$ debe estar entre $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right)$. Así que introducimos y evaluamos $f\left(1\right)$ y $f(1.5)$.

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& <& f\left(c\right)<f(1.5)\\ 1^3+1-4& <& 0<1.5^3+1.5-4\\ -2& <& 0<0.875\end{array}$

Paso 4: Aplicar la IVT

Ahora que se cumplen todos los requisitos de la IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en $[1,1.5]$ tal que $f\left(c\right)=0$.

Por tanto $f\left(x\right)$ es resoluble.

¿La función $f\left(x\right)=x^2$ toma el valor $f\left(x\right)=7$ en el intervalo $[1,4]$?

Paso 1: Asegurarse de que f(x) es continua

A continuación, comprobamos que la función cumple los requisitos del Teorema del Valor Intermedio.

Sabemos que $f\left(x\right)$ es continua en todo el intervalo porque es una función polinómica.

Paso 2: Halla el valor de la función en los puntos extremos del intervalo

Introduciendo $x=1$ y $x=4$ en $f\left(x\right)$

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=1^2=1 \\ f\left(4\right)=4^2={16}^{} \end{gathered}$$

Paso 3: Aplicar el Teorema del Valor Intermedio

Evidentemente, $1<7<16$. Por tanto, podemos aplicar el IVT.

Ahora que se cumplen todos los requisitos de la IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en [1, 4] tal que $f\left(c\right)=7$.

Por tanto $f\left(x\right)$ debe tomar el valor 7 al menos una vez en algún lugar del intervalo $[1,4]$.

Recuerda que la IVT garantiza al menos una solución. Sin embargo, ¡puede haber más de una!

Demuestra que la ecuación $\frac{x-1}{x^2+2}=\frac{3-x}{1+x}$ tiene al menos una solución en el intervalo $[-1,3]$.

Intentémoslo sin utilizar una gráfica.

Paso 1: Definir f(x)

Para definir $f\left(x\right)$factorizaremos la ecuación inicial.

$\begin{array}{rcl}(x-1)(x+1)& =& (3-x)(x^2+2)\\ x^2-1& =& -x^3+3x^2-2x+6\\ x^3-2x^2+2x-7& =& 0\end{array}$

Así, dejaremos que $f\left(x\right)=x^3-2x^2+2x-7$

Paso 2: Definir un valor y para c

A partir de nuestra definición de $f\left(x\right)$ en el paso 1, $f\left(c\right)=0$.

Paso 3: Asegurarnos de que f(x) cumple los requisitos de la IVT

Por nuestro conocimiento de las funciones polinómicas, sabemos que $f\left(x\right)$ es continua en todas partes.

Comprobaremos nuestros límites de intervalo, haciendo $a=-1andb=3$. Recuerda que, utilizando la IVT, tenemos que confirmar

$$\begin{gathered} f\left(a\right)<f\left(c\right)<f\left(b\right) \\ f\left(a\right)<0<f\left(b\right) \end{gathered}$$

Sea $a=-1$:

$\begin{array}{rcl}f\left(a\right)& =& f(-1)\\ & =& {(-1)}^3-2{\left(-1\right)}^2+2\left(-1\right)-7\\ & =& -12\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(b\right)& =& f\left(3\right)\\ & =& 3^3-2{\left(3\right)}^2+2\left(3\right)-7\\ & =& 8\end{array}$

Por tanto, tenemos

$$\begin{gathered} f\left(a\right)<f\left(c\right)<f\left(b\right) \\ -12<0<8 \end{gathered}$$

Por tanto, pero la IVT, podemos garantizar que hay al menos una solución a

$x^3-2x^2+2x-7=0$

en el intervalo $[-1,3]$.

Paso 4: Aplicar el IVT

Ahora que se cumplen todos los requisitos del IVT, podemos concluir que existe un valor $c$ en [0, 3] tal que $f\left(c\right)=0$.

Por tanto $f\left(x\right)$ es resoluble.