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En nuestras discusiones sobre las derivadas, aprendiste sobre el Teorema del Valor Medio, un importante teorema que afirma que una función tomará su valor medio en un intervalo al menos una vez. El Teorema del Valor Medio también tiene una aplicación para las integrales que es consecuencia del Teorema del Valor Medio y del Teorema Fundamental del Cálculo.
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Regístrate gratis¿Qué se necesita para aplicar el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué establece el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué relación tiene el Teorema del Valor Medio de las Integrales con otros teoremas?
¿Cuál es el valor promedio de la función f(x) = x^2 + 3x en el intervalo [1, 4]?
¿Cuál es el valor c que hace que f(c) sea el valor promedio de la función en el intervalo [1, 4] para f(x) = x^2 + 3x?
¿Qué se necesita para aplicar el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué establece el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué relación tiene el Teorema del Valor Medio de las Integrales con otros teoremas?
¿Cuál es el valor promedio de la función f(x) = x^2 + 3x en el intervalo [1, 4]?
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Enviar comentariosEl Teorema del Valor Medio de las Integrales afirma que si una función f es continua en el intervalo cerrado[a, b], existe un número c tal que
Evidentemente, el lado izquierdo de la ecuación es el área bajo la curva de f en el intervalo(a, b). El lado derecho puede considerarse como el área de un rectángulo. Así pues, el teorema afirma que el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura del intervalo(b - a) y una altura igual al valor medio de la función f. Reordenando esta ecuación para resolver f(c), el valor medio, hallamos
Visualicemos geométricamente el Teorema del Valor Medio de las integrales.
El área bajo la curva de una función f en el intervalo [a, b] es igual a un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f, f(c) - StudySmarter Original
Considera la definición de antiderivada donde
Por el Teorema Fundamental del Cálculo
y
Como F es continua en el intervalo cerrado[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto(a, b), podemos aplicar el Teorema del Valor Medio, que dice que hay un número c tal que y
Utilizando los resultados del Teorema Fundamental del Cálculo
Para la función sobre el intervalo [1, 4], halla el valor c ( el valor x donde f (x ) toma su valor medio).
Como f(x) es un polinomio, sabemos que es continuo en el intervalo [1, 4].
Por tanto, el valor medio que toma f (x) es 14,5.
En el paso 2, comprobamos que el área bajo la curva es . Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.
Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.
Como y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a 14,5.
Para resolver x, aplicamos la fórmula cuadrática.
Como está fuera del intervalo .
Para la función encuentra el valor x en el que f(x ) toma el valor medio en el intervalo
La función sen(x) es continua en todas partes.
Utiliza tus conocimientos sobre el círculo unitario para resolver las ecuaciones trigonométricas. Recuerda que es sólo un múltiplo de .
Así, el valor medio que toma f (x) es .
En el paso 2, descubrimos que el área bajo la curva es unidades2. Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.
unidades2
Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.
Como y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a .
Resolviendo gráficamente esta ecuación, encontramos que .
A modo de recordatorio
Geométricamente hablando, el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f(x), f(c)
El Teorema del Valor Medio de las integrales es una consecuencia del Teorema del Valor Medio de las derivadas y del Teorema Fundamental del Cálculo
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
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