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En nuestras discusiones sobre las derivadas, aprendiste sobre el Teorema del Valor Medio, un importante teorema que afirma que una función tomará su valor medio en un intervalo al menos una vez. El Teorema del Valor Medio también tiene una aplicación para las integrales que es consecuencia del Teorema del Valor Medio y del Teorema Fundamental del Cálculo.
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Regístrate gratis¿Qué se necesita para aplicar el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué establece el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué relación tiene el Teorema del Valor Medio de las Integrales con otros teoremas?
¿Cuál es el valor promedio de la función f(x) = x^2 + 3x en el intervalo [1, 4]?
¿Cuál es el valor c que hace que f(c) sea el valor promedio de la función en el intervalo [1, 4] para f(x) = x^2 + 3x?
¿Qué se necesita para aplicar el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué establece el Teorema del Valor Medio de las Integrales?
¿Qué relación tiene el Teorema del Valor Medio de las Integrales con otros teoremas?
¿Cuál es el valor promedio de la función f(x) = x^2 + 3x en el intervalo [1, 4]?
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Enviar comentariosEl Teorema del Valor Medio de las Integrales afirma que si una función f es continua en el intervalo cerrado[a, b], existe un número c tal que
Evidentemente, el lado izquierdo de la ecuación es el área bajo la curva de f en el intervalo(a, b). El lado derecho puede considerarse como el área de un rectángulo. Así pues, el teorema afirma que el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura del intervalo(b - a) y una altura igual al valor medio de la función f. Reordenando esta ecuación para resolver f(c), el valor medio, hallamos
Visualicemos geométricamente el Teorema del Valor Medio de las integrales.
El área bajo la curva de una función f en el intervalo [a, b] es igual a un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f, f(c) - StudySmarter Original
Considera la definición de antiderivada donde
Por el Teorema Fundamental del Cálculo
y
Como F es continua en el intervalo cerrado[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto(a, b), podemos aplicar el Teorema del Valor Medio, que dice que hay un número c tal que y
Utilizando los resultados del Teorema Fundamental del Cálculo
Para la función sobre el intervalo [1, 4], halla el valor c ( el valor x donde f (x ) toma su valor medio).
Como f(x) es un polinomio, sabemos que es continuo en el intervalo [1, 4].
Por tanto, el valor medio que toma f (x) es 14,5.
En el paso 2, comprobamos que el área bajo la curva es . Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.
Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.
Como y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a 14,5.
Para resolver x, aplicamos la fórmula cuadrática.
Como está fuera del intervalo .
Para la función encuentra el valor x en el que f(x ) toma el valor medio en el intervalo
La función sen(x) es continua en todas partes.
Utiliza tus conocimientos sobre el círculo unitario para resolver las ecuaciones trigonométricas. Recuerda que es sólo un múltiplo de .
Así, el valor medio que toma f (x) es .
En el paso 2, descubrimos que el área bajo la curva es unidades2. Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.
unidades2
Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.
Como y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a .
Resolviendo gráficamente esta ecuación, encontramos que .
A modo de recordatorio
Geométricamente hablando, el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f(x), f(c)
El Teorema del Valor Medio de las integrales es una consecuencia del Teorema del Valor Medio de las derivadas y del Teorema Fundamental del Cálculo
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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