Teorema del valor medio para integrales: 'Cálculo', 'Propiedades'

Q: ¿Qué es el Teorema del Valor Medio para integrales?

El Teorema del Valor Medio para integrales establece que existe un punto c en el intervalo [a, b] donde la integral de f(x) es igual al área del rectángulo con base (b-a) y altura f(c).

Q: ¿Cuál es la condición para aplicar este teorema?

Para aplicar el Teorema del Valor Medio para integrales, la función f(x) debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b].

Q: ¿Cuál es la fórmula del Teorema del Valor Medio para integrales?

La fórmula es ∫(a, b) f(x) dx = f(c) * (b - a), donde c es un punto en el intervalo [a, b].

Q: ¿Cómo se usa este teorema en la práctica?

En la práctica, se utiliza para encontrar un punto específico en [a, b] donde la función f(x) alcanza su valor medio en dicho intervalo.

Índice de temas

Fórmula y significado del Teorema del Valor Medio para Integrales

El Teorema del Valor Medio de las Integrales afirma que si una función f es continua en el intervalo cerrado[a, b], existe un número c tal que

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$

Evidentemente, el lado izquierdo de la ecuación es el área bajo la curva de f en el intervalo(a, b). El lado derecho puede considerarse como el área de un rectángulo. Así pues, el teorema afirma que el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura del intervalo(b - a) y una altura igual al valor medio de la función f. Reordenando esta ecuación para resolver f(c), el valor medio, hallamos

$f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Visualicemos geométricamente el Teorema del Valor Medio de las integrales.

Teorema del valor medio para integrales explicación geométrica área bajo la curva igual a rectángulo StudySmarter El área bajo la curva de una función f en el intervalo [a, b] es igual a un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f, f(c) - StudySmarter Original

Demostración del teorema del valor medio de las integrales

Considera la definición de antiderivada donde

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

Por el Teorema Fundamental del Cálculo

$F' (x) = f (x)$ y $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Como F es continua en el intervalo cerrado[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto(a, b), podemos aplicar el Teorema del Valor Medio, que dice que hay un número c tal que $a < c < b$ y

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Utilizando los resultados del Teorema Fundamental del Cálculo

$f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Ejemplos del teorema del valor medio de las integrales

Ejemplo 1

Para la función $f (x) = x^{2} + 3 x$ sobre el intervalo [1, 4], halla el valor c ( el valor x donde f (x ) toma su valor medio).

Paso 1: Asegúrate de que f (x) es continua sobre el intervalo cerrado

Como f(x) es un polinomio, sabemos que es continuo en el intervalo [1, 4].

Paso 2: Evalúa la integral de f( x) sobre el intervalo dado

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{4} x^{2} + 3 x d x & = & (\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(4)}^{2}}{2}) - (\frac{{(1)}^{3}}{3} + \frac{3 {(1)}^{2}}{2}) \\ = & 43.5 \end{array}$

Paso 3: Aplica el Teorema del Valor Medio de las integrales para hallar el valor medio de f(x ) en el intervalo

$\begin{array}{rcl} f (c) & = & \frac{1}{4 - 1} \int_{1}^{4} x^{2} + 3 x d x \\ = & \frac{1}{3} (43.5) \\ = & 14.5 \end{array}$

Por tanto, el valor medio que toma f (x) es 14,5.

Teorema del valor medio de las integrales área del rectángulo igual a área bajo la curva StudySmarter

En el paso 2, comprobamos que el área bajo la curva es $43.5 u n i t s^{2}$ . Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.

$(4 - 1) (14.5) = 43.5 u n i t s^{2}$

Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.

Paso 4: Halla el valor xde f(c)

Como $f (c) = 14.5$ y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a 14,5.

$14.5 = x^{2} + 3 x 0 = x^{2} + 3 x - 14.5$

Para resolver x, aplicamos la fórmula cuadrática.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 (1) (- 14.5)}}{2 (1)} \\ x & = & \frac{- 3 + \sqrt{67}}{2} \approx 2.59 a n d \\ x & = & \frac{- 3 - \sqrt{67}}{2} \approx - 5.59 \end{array}$

Como $- 5.59$ está fuera del intervalo $c \approx 2.59$ .

Ejemplo 2

Para la función $f (x) = x + \sin (2 x)$ encuentra el valor x en el que f(x ) toma el valor medio en el intervalo $[0, 2 π]$

Paso 1: Asegúrate de que f(x) es continua en el intervalo abierto

La función sen(x) es continua en todas partes.

Paso 2: Evalúa la integral de f( x) sobre el intervalo dado

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} x + \sin (2 x) d x & = & (\frac{{(2 π)}^{2}}{2} - \frac{\cos (4 π)}{2}) - (\frac{{(0)}^{2}}{2} - \frac{\cos (0)}{2}) \\ = & \frac{4 π^{2}}{2} - \frac{1}{2} - (0 - \frac{1}{2}) \\ = & 2 π^{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = & 2 π^{2} \end{array}$

Utiliza tus conocimientos sobre el círculo unitario para resolver las ecuaciones trigonométricas. Recuerda que $4 π$ es sólo un múltiplo de $2 π$ .

Paso 3: Aplica el Teorema del Valor Medio de las integrales para hallar el valor medio de f(x ) sobre el intervalo

$\begin{array}{rcl} f (c) & = & \frac{1}{2 π - 0} \int_{0}^{2 π} x + \sin (2 x) d x \\ = & \frac{1}{2 π} (2 π^{2}) \\ = & π \end{array}$

Así, el valor medio que toma f (x) es $π$ .

Teorema del valor medio de las integrales área del rectángulo igual a área bajo la curva StudySmarter

En el paso 2, descubrimos que el área bajo la curva es $2 π^{2}$ ^unidades2. Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos la anchura por la altura.

$(2 π - 0) (π) = 2 π^{2}$ ^unidades2

Por tanto, se cumple el Teorema del Valor Medio para integrales.

Paso 4: Halla el valor xde f(c)

Como $f (c) = π$ y queremos hallar c, podemos establecer f(x) igual a $π$ .

$π = x + \sin (2 x)$

Resolviendo gráficamente esta ecuación, encontramos que $x = π$ .

Teorema del valor medio para el cálculo de integrales

A modo de recordatorio

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$

Teorema del valor medio de las integrales - Puntos clave

El Teorema del Valor Medio de las Integrales afirma que si una función f es continua en el intervalo cerrado[a, b], existe un número c tal que
$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$
- Geométricamente hablando, el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo con una anchura de b - a y una altura del valor medio de f(x), f(c)
El Teorema del Valor Medio de las integrales es una consecuencia del Teorema del Valor Medio de las derivadas y del Teorema Fundamental del Cálculo

Tarjetas en Teorema del valor medio para integrales 2

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¿De qué dos teoremas se deriva el Teorema del Valor Medio de las integrales?

Teorema del valor medio de las derivadas
El Teorema Fundamental del Cálculo

Enuncia con palabras el Teorema del Valor Medio de las integrales.

El área bajo la curva de una función es igual al área de un rectángulo cuya anchura es el intervalo de la función y cuya altura es el valor medio de la función sobre el intervalo.

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Preguntas frecuentes sobre Teorema del valor medio para integrales

¿Qué es el Teorema del Valor Medio para integrales?

El Teorema del Valor Medio para integrales establece que existe un punto c en el intervalo [a, b] donde la integral de f(x) es igual al área del rectángulo con base (b-a) y altura f(c).

¿Cuál es la condición para aplicar este teorema?

Para aplicar el Teorema del Valor Medio para integrales, la función f(x) debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b].

¿Cuál es la fórmula del Teorema del Valor Medio para integrales?

La fórmula es ∫(a, b) f(x) dx = f(c) * (b - a), donde c es un punto en el intervalo [a, b].

¿Cómo se usa este teorema en la práctica?

En la práctica, se utiliza para encontrar un punto específico en [a, b] donde la función f(x) alcanza su valor medio en dicho intervalo.

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