Teoremas de Continuidad

Supongamos que

$f\left(x\right)=\left|x\right|$ y $g\left(x\right)=\frac{x+3}{x-1}$.

¿Dónde es $\left(f·g\right)\left(x\right)$ continua?

Responde:

Recuerda que la función valor absoluto es continua en todas partes, y las funciones racionales son continuas en sus dominios.

Como $g\left(x\right)$ es una función racional con un dominio de $\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$es continua en todas partes excepto en $x=1$.

Entonces, utilizando la Propiedad del Producto $\left(f·g\right)\left(x\right)$ es continua en todas partes excepto en $x=1$.

Si sabes que $g\left(x\right)$ es continua en $x=p$es $\left|g\right|\left(x\right)$ continua en $x=p$?

Contesta:

Tomemos $f\left(x\right)$ la función valor absoluto, que es continua en todas partes.

Eso significa que sabes que $g\left(x\right)$ es continua en $x=p$ y $f\left(x\right)$ es continua en $g\left(p\right)$.

Entonces, utilizando el teorema de la composición de funciones continuas $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\left|g\right|\left(x\right)$ es continua en $x=p$.

Toma

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& x<0\\ -1,& x\ge 0\end{array}\right.$ y $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}\right.$.

Ninguna de estas funciones es continua en $x=0$.

Si sumas estas dos funciones que no son continuas en $x=0$¿su suma sigue siendo discontinua en $x=0$? Pues bien,

$\left(f+g\right)\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1+\left(-1\right),& x<0\\ -1+1,& x\ge 0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 0,& x\ge 0\end{array}\right.=0$ ,

que es continua en todas partes. Así que, por contraejemplo, has demostrado que no puede existir una Propiedad Suma para las funciones discontinuas.

¿Y la Propiedad Producto? Su producto es

$\left(f·g\right)\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1·\left(-1\right),& x<0\\ -1·1,& x\ge 0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ -1,& x\ge 0\end{array}\right.=-1$,

que es continua en todas partes. Así que no puedes tener una Propiedad Producto para funciones que no son continuas.

Quizá pienses que nada puede ir mal con la Propiedad Constante. ¡No es más que multiplicar por una constante!

De hecho, esa también va mal.

Tomemos $k=0$. Entonces $\left(k·f\right)\left(x\right)=\left(0·f\right)\left(x\right)=0$que es continua en todas partes. Así que ni siquiera la Propiedad Constante se cumple para funciones discontinuas.