A estas alturas te estarás preguntando por qué hay tantos malditos teoremas en cálculo. Unos sobre límites, otros sobre derivadas, otros sobre integrales, ¡teoremas por todas partes! Esto se debe a que, en general, es mucho más fácil demostrar un teorema y aplicarlo a muchas funciones distintas que demostrar cosas para cada tipo de función. En realidad, el número de teoremas del cálculo no es más que un recordatorio de que los matemáticos son eficientes.
Los teoremas de continuidad se basan en gran medida en lo que ya sabes sobre límites. Para un repaso sobre los límites, consulta Límites y Encontrar límites. Este primer teorema se deduce directamente de la definición de continuidad y de las propiedades de los límites.
Teorema: Propiedades de las funciones continuas
Supongamos que y son funciones continuas en . Entonces son ciertas las siguientes:
Propiedad de la suma: es continua en ;
Propiedad de la diferencia: es continua en ;
Propiedad del producto: es continua en ;
Propiedad múltiple constante: si es un número real, entonces es continuo en ;
Propiedad del cociente: si entonces es continuo en .
Supongamos que
y .
¿Dónde es continua?
Responde:
Recuerda que la función valor absoluto es continua en todas partes, y las funciones racionales son continuas en sus dominios.
Como es una función racional con un dominio de es continua en todas partes excepto en .
Entonces, utilizando la Propiedad del Producto es continua en todas partes excepto en .
Observa que la composición de funciones no aparece en las Propiedades de las funciones continuas. Hay un teorema aparte para las composiciones porque se demuestra utilizando dominios de funciones y la definición de continuidad, en lugar de utilizar límites como en las Propiedades de las Funciones Continuas.
Teorema: Composición de funciones continuas
Si es continua en y es continua en entonces es continua en .
Si sabes que es continua en es continua en ?
Contesta:
Tomemos la función valor absoluto, que es continua en todas partes.
Eso significa que sabes que es continua en y es continua en .
Entonces, utilizando el teorema de la composición de funciones continuas es continua en .
Teoremas sobre la discontinuidad
Quizá te preguntes por qué hay muchos teoremas para las funciones continuas y ninguno equivalente para la discontinuidad. Veamos un ejemplo para demostrar por qué no.
Toma
y .
Ninguna de estas funciones es continua en .
Si sumas estas dos funciones que no son continuas en ¿su suma sigue siendo discontinua en ? Pues bien,
,
que es continua en todas partes. Así que, por contraejemplo, has demostrado que no puede existir una Propiedad Suma para las funciones discontinuas.
¿Y la Propiedad Producto? Su producto es
,
que es continua en todas partes. Así que no puedes tener una Propiedad Producto para funciones que no son continuas.
Quizá pienses que nada puede ir mal con la Propiedad Constante. ¡No es más que multiplicar por una constante!
De hecho, esa también va mal.
Tomemos . Entonces que es continua en todas partes. Así que ni siquiera la Propiedad Constante se cumple para funciones discontinuas.
De forma similar a las funciones del ejemplo anterior, puedes inventar funciones para demostrar que la Propiedad de la Diferencia y la Propiedad del Cociente tampoco se cumplen para las funciones discontinuas.
Teoremas de continuidad - Puntos clave
Propiedad de la suma para funciones continuas: Supongamos y son funciones continuas en. Entonces es continua en .
Propiedad de diferencia para funciones continuas: Supongamos y son funciones continuas en. Entonces es continua en .
Propiedad del producto para funciones continuas: Supongamos y son funciones continuas en. Entonces es continua en .
Propiedad múltiple constante para funciones continuas: Supongamos que es unafunción continua en. Entonces, si es un número real es continua en .
Propiedad del cociente para funciones continuas: Supongamos que y son funciones continuas en. Entonces si, es continua en.
Composición de funciones continuas: Si es continua en y es continua en entonces es continua en .
Ninguna de las propiedades anteriores se cumple en general para las funciones discontinuas.
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Lily Hulatt
Especialista en Contenido Digital
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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