Transformaciones de Funciones

Considera la función madre de la imagen anterior

$$f(x)=x^2$$

Ésta es la función madre de una parábola. Ahora, supongamos que quieres transformar esta función mediante

• Desplazándola hacia la izquierda en $5$ unidades
• Contrayéndola horizontalmente un factor de $2$
• Reflejándola sobre el eje $y$

¿Cómo puedes hacerlo?

Solución:

1. Grafica la función padre.
   • 

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     Fig. 2. Gráfica de la función madre de una parábola.
2. Escribe la función transformada.
   1. Empieza por la función madre:
      • $f_0(x)=x^2$
   2. Añade el desplazamiento a la izquierda en $5$ unidades poniendo paréntesis alrededor de la variable de entrada, $x$, y poniendo $+5$ dentro de esos paréntesis después de $x$:
      • $f_1(x)=f_0(x+5)=izquierda(x+5derecha{)}^2$
   3. A continuación, multiplica el $x$ por $2$ para reducirlo horizontalmente:
      • $f_2(x)=f_1(2x)={(2x+5)}^2$
   4. Por último, para reflejar sobre el eje \(y), multiplica \(x) por \(-1):
      • $f_3(x)=f_2(-x)={(-2x+5)}^2$
   5. Entonces, tu función transformada final es
      • $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}{(\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5})}^{\mathbf{2}}$
3. Haz una gráfica de la función transformada y compárala con la función madre para asegurarte de que las transformaciones tienen sentido.
   • 

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     Fig. 3. Las gráficas de la función padre de una parábola (azul) y su transformación (verde).
   • Aspectos a tener en cuenta:
     • La función transformada está a la derecha debido a la reflexión en el eje $y$-realizada tras el desplazamiento.
     • La función transformada se desplaza $2,5$ en lugar de $5$ debido al encogimiento por un factor de $2$.

De nuevo, considera la función madre

$$f(x)=x^2$$

Ahora, supongamos que quieres transformar esta función

• Desplazándola hacia arriba en $5$ unidades
• Contrayéndola verticalmente un factor de $2$
• Reflejándola sobre el eje $x$-.

¿Cómo puedes hacerlo?

Solución:

1. Grafica la función padre.
   • 

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     Fig. 4. Gráfica de la función madre de una parábola.
2. Escribe la función transformada.
   1. Empieza por la función madre:
      • $f_0(x)=x^2$
   2. Añade el desplazamiento hacia arriba en $5$ unidades poniendo $+5$ después de $x^2$:
      • $\text{Extra close brace or missing open brace}$
   3. A continuación, multiplica la función por $\frac{1}{2}$ para comprimirla verticalmente por un factor de $2$:
      • $f_2(x)=\frac{1}{2}\text{izquierda}(f_1(x)derecha)=\frac{x^2+5}{2}$
   4. Por último, para reflejar sobre el eje $x$-, multiplica la función por $-1$:
      • $f_3(x)=-f_2(x)=-\frac{x^2+5}{2}$
   5. Entonces, tu función transformada final es
      • $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$
3. Haz una gráfica de la función transformada y compárala con la función madre para asegurarte de que las transformaciones tienen sentido.
   • 

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     Fig. 5. Las gráficas de una función madre de una parábola (azul) y su transformación (verde).

Supongamos que tienes la función, $f(x)$, y su transformación, $f(x+3)$. ¿Cómo mueve la transformación (+3) la gráfica de (f(x))?

Solución:

1. Se trata de una transformación horizontal porque la suma se aplica a la variable independiente, $x$.
   • Por tanto, sabes que la gráfica se mueveal contrario de lo que cabría esperar.
2. La gráfica de $f(x)$ se desplaza hacia la izquierda 3 unidades.

Considera las funciones

$$g(x)=x^3-4$$

y

$$h(x)=(x-4{)}^3$$.

Tómate un minuto para pensar cómo se transforman estas dos funciones, respecto a su función madre $f(x)=x^3$, se transforman.

¿Puedes comparar y contrastar sus transformaciones? ¿Qué aspecto tienen sus gráficas?

Solución:

1. Haz la gráfica de la función madre.
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     Fig. 6. Gráfica de la función cúbica padre.
2. Determina las transformaciones indicadas por $g(x)$ y $h(x)$.
   1. Para $g(x)$:
      • Como $4$ se resta de toda la función, no sólo de la variable de entrada $x$, la gráfica de $g(x)$ se desplaza verticalmente hacia abajo $4$ unidades.
   2. Para $h(x)$:
      • Como $4$ se resta de la variable de entrada $x$, no de toda la función, la gráfica de $h(x)$ se desplaza horizontalmente hacia la derecha en $4$ unidades.
3. Grafica las funciones transformadas con la función madre y compáralas.
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     Fig. 7. Gráfica de la función cúbica padre (azul) y dos de sus transformaciones (verde, rosa).

Ampliando el ejemplo anterior, considera ahora la función

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$.

A primera vista, podrías pensar que esto tiene un desplazamiento horizontal de $4$ unidades con respecto a la función padre $f(x)=x^3$.

Pero no es así.

Aunque puedas tener la tentación de pensar que sí debido a los paréntesis, el $(x^3-4)$ no indica un desplazamiento horizontal porque $x$ tiene una potencia de $3$, no de $1$. Por tanto, $\text{Extra left or missing right}$ indica un desplazamiento vertical de $4$ unidades hacia abajo respecto a la función padre $f(x)=x^3$.

Para obtener la información completa de la traslación, debes expandir y simplificar:

$$\begin{array}{rlrl}f(x)& =\frac{1}{2}\text{izquierda}(x^3-4derecha)+2& =\frac{1}{2}{x}^3-2+2& =\frac{1}{2}{x}^3\end{array}$$

Esto te dice que, de hecho, no hay traslación vertical ni horizontal. ¡Sólo hay una compresión vertical por un factor de $2$!

Comparemos esta función con otra muy parecida, pero transformada de forma muy distinta.

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Considera la función

$$g(x)=2(3x+12{)}^2+1$$.

A primera vista, podrías pensar que esta función está desplazada $12$ unidades a la izquierda con respecto a su función madre, $f(x)=x^2$.

Pero no es así. Aunque puedas tener la tentación de pensar que sí debido a los paréntesis, el $(3x+12{)}^2$ no indica un desplazamiento a la izquierda de $12$ unidades. ¡Debes factorizar el coeficiente en $x$!

$$g(x)=2(3(x+4{)}^2)+1$$

Aquí puedes ver que, en realidad, la función está desplazada $4$ unidades a la izquierda, no $12$, después de escribir la ecuación en la forma adecuada. El gráfico siguiente sirve para demostrarlo.

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Las transformaciones de función de la misma categoría, pero de distinto tipo , no conmutan (es decir, el orden importa).

Supongamos que tienes una función, $f_0(x)$, y las constantes $a$ y $b$.

En cuanto a las transformaciones horizontales:

• Supongamos que quieres aplicar un desplazamiento horizontal y un estiramiento horizontal (o encogimiento) a una función general. Entonces, si aplicas primero el estiramiento (o encogimiento) horizontal, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =f_0(ax){\text{f}}_2(x)& =f_1(x+b)=f_0(a(x+b))\end{array}$$
• Ahora, si aplicas primero el desplazamiento horizontal, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{g}_1(x)& =f_0(x+b){\text{g}}_2(x)& =g_1(ax)=f_0(ax+b)\end{array}$$
• Cuando comparas estos dos resultados, ves que:$$\begin{array}{rlr}{f}_2(x)& \ne g_2(x){\text{f}}_0(a(x+b))& \ne f_0(ax+b)\end{array}$$

En cuanto a las transformaciones verticales:

• Supongamos que quieres aplicar un desplazamiento vertical y un estiramiento vertical (o encogimiento) a una función general. Entonces, si aplicas primero el estiramiento (o encogimiento) vertical, obtienes:$$\begin{array}{rl}{f}_1(x)& =a{f}_0(x)\\ f_2(x)& =b+f_1(x)=b+a{f}_0(x)\end{array}$$
• Ahora bien, si aplicas primero el desplazamiento vertical, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{g}_1(x)& =b+f_0(x){\text{g}}_2(x)& =a{g}_1(x)=a(b+f_0(x))\end{array}$$
• Cuando comparas estos dos resultados, ves que:$$\begin{array}{rlr}{f}_2(x)& \ne g_2(x)\text{b}+a{f}_0(x)& \ne a(b+f_0(x))\end{array}$$

Las transformaciones de funciones de la misma categoría y del mismo tipo conmutan (es decir, el orden no importa).

Supongamos que tienes una función, $f_0(x)$, y las constantes $a$ y $b$.

• Si quieres aplicar múltiples estiramientos/contracciones horizontales, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =f_0(ax){\text{f}}_2(x)& =f_1(bx)\mathrm{\&}=f_0(abx)\end{array}$$
  • El producto $ab$ es conmutativo, por lo que el orden de los dos estiramientos/desplazamientos horizontales no importa.
• Si quieres aplicar múltiples desplazamientos horizontales, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =f_0(a+x){\text{f}}_2(x)& =f_1(b+x)\mathrm{\&}=f_0(a+b+x)\end{array}$$
  • La suma $a+b$ es conmutativa, por lo que el orden de los dos desplazamientos horizontales no importa.
• Si quieres aplicar múltiples estiramientos/desplazamientos verticales, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =a{f}_0(x){\text{f}}_2(x)& =b{f}_1(x)\\ & =ab{f}_0(x)\end{array}$$
  • El producto $ab$ es conmutativo, por lo que el orden de los dos estiramientos/desplazamientos verticales no importa.
• Si quieres aplicar múltiples desplazamientos verticales, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =a+f_0(x){\text{f}}_2(x)& =b+f_1(x)\\ & =a+b+f_0(x)\end{array}$$
  • La suma $a+b$ es conmutativa, por lo que el orden de los dos desplazamientos verticales no importa.

Las transformaciones de funciones que son de categorías diferentes sí son conmutativas (es decir, el orden no importa).

Supongamos que tienes una función, $f_0(x)$, y las constantes $a$ y $b$.

• Si quieres combinar un estiramiento/contracción horizontal y un estiramiento/contracción vertical, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{f}_1(x)& =f_0(ax){\text{f}}_2(x)& =b{f}_1(x)\mathrm{\&}=b{f}_0(ax)\end{array}$$
• Ahora, si inviertes el orden en que se aplican estas dos transformaciones, obtienes:$$\begin{array}{rlr}{g}_1(x)& =b{f}_0(x){\text{g}}_2(x)& =g_1(ax)\mathrm{\&}=b{f}_0(ax)\end{array}$$
• Si comparas estos dos resultados, verás que:$$\begin{array}{rlr}{f}_2(x)& =g_2(x{)}_{\mathbf{0}}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{)}& =b{f}_0(ax)\end{array}$$

Si el punto $(2,-4)$ está en la función $y=f(x)$, ¿cuál es el punto correspondiente en $y=2f(x-1)-3$?

Solución:

Hasta ahora sabes que el punto $(2,-4)$ está en la gráfica de $y=f(x)$. Por tanto, puedes decir que

$$f(2)=-4$$

Lo que tienes que averiguar es el punto correspondiente que está en $y=2f(x-1)-3$. Lo haces observando las transformaciones dadas por esta nueva función. Recorriendo estas transformaciones, obtienes

1. Empieza por los paréntesis.
   • Aquí tienes $(x-1)$. → Esto significa que desplazas la gráfica hacia la derecha en $1$ unidad.
   • Como ésta es la única transformación aplicada a la entrada, sabes que no hay otras transformaciones horizontales sobre el punto.
     • Por tanto, sabes que el punto transformado tiene una coordenada $x$ de $3$.
2. Aplica la multiplicación.
   • Aquí tienes $2f(x-1)$. → El $2$ significa que tienes un estiramiento vertical por un factor de $2$, así que tu coordenada $y)-seduplicaa\text{(}-8$.
   • Pero, ¡aún no has terminado! Aún te queda una transformación vertical.
3. Aplica la suma/resta.
   • Aquí tienes la $-3$ aplicada a toda la función. → Esto significa que tienes un desplazamiento hacia abajo, así que restas $3$ a tu coordenada $y$.
     • Así, sabes que el punto transformado tiene una coordenada $y)-de\text{(}-11$.

Así pues, con estas transformaciones hechas a la función, sea la función que sea, el punto correspondiente a $(2,-4)$ es el punto transformado $\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{11}\mathbf{)}$.

Transformemos la función exponencial natural matriz, $f(x)=e^x$, mediante la gráfica de la función exponencial natural:

$$f(x)=-e^{2(x-1)}+3.$$

Solución:

1. Grafica la función padre.
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     Fig. 12. Gráfica de la función $e^x$.
2. Determina las transformaciones.

   1. Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)

      • Aquí tienes $f(x)=e^{(x-1)}$, por lo que la gráfica se desplaza hacia la derecha en $1$ unidad.

      • 

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        Fig. 13. Gráfica de la función $e^x$ y su transformación.

   2. Aplica la multiplicación (estira y/o encoge)

      • Aquí tienes $f(x)=e^{2(x-1)}$, por lo que la gráfica se encoge horizontalmente un factor de $2$.

      • 

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        Fig. 14. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los dos primeros pasos de la transformación (amarillo, morado).

   3. Aplica las negaciones (reflexiones)

      • Aquí tienes $f(x)=-e^{2(x-1)}$, por lo que la gráfica se refleja sobre el eje $x$-.

      • 

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        Fig. 15. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (amarillo, morado, rosa)

   4. Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)

      • Aquí tienes $f(x)=-e^{2(x-1)}+3$, por lo que la gráfica se desplaza hacia arriba $3$ unidades.

      • 

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        Fig. 16. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde).

3. Grafica la función transformada final.

   • 

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     Fig. 17. Gráficas de la función exponencial natural original (azul) y su transformada (verde).

Transformemos la función madre logaritmo natural, $f(x)={\text{log}}_e(x)=\text{ln}(x)$ mediante la representación gráfica de la función:

$$f(x)=-2\text{ln}(x+2)-3.$$

Solución:

1. Grafica la función madre.
   • 

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     Fig. 18. Gráfica de la función madre logaritmo natural.
2. Determina las transformaciones.

   1. Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)

      • Aquí tienes $f(x)=\text{ln}(x+2)$, por lo que la gráfica se desplaza hacia la izquierda $2$ unidades.

      • 

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        Fig. 19. Las gráficas de la función logaritmo natural padre (azul) y el primer paso de la transformación (verde)

   2. Aplica la multiplicación (estira y/o encoge)

      • Aquí tienes $f(x)=2\text{ln}(x+2)$, por lo que la gráfica se estira verticalmente un factor de $2$.

      • 

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        Fig. 20. Las gráficas de la función matriz logaritmo natural (azul) y los dos primeros pasos de la transformación (verde, rosa).

   3. Aplica las negaciones (reflexiones)

      • Aquí tienes $f(x)=-2\text{ln}(x+2)$, por lo que la gráfica se refleja sobre el eje $x$-.

      • 

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        Fig. 21. Las gráficas de la función matriz logaritmo natural (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (verde, morado, rosa).

   4. Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)

      • Aquí tienes $f(x)=-2\text{ln}(x+2)-3$, por lo que la gráfica se desplaza hacia abajo $3$ unidades.

      • 

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        Fig. 22. Las gráficas de la función logaritmo natural padre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde)
3. Haz la gráfica de la función transformada final.
   • 

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     Fig. 23. Gráficasde la función matriz logaritmo natural (azul) y su transformada (verde).

Transformemos la función recíproca matriz, $f(x)=\frac{1}{x}$ graficando la función:

$$f(x)=-\frac{2}{2x-6}+3.$$

Solución:

1. Haz la gráfica de la función madre.
   • 

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     Fig. 24. Gráfica de la función racional madre.
2. Determina las transformaciones.

   1. Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)

      • Para hallar los desplazamientos horizontales de esta función, necesitas tener el denominador en forma estándar (es decir, necesitas factorizar el coeficiente de $x$).
      • Así, la función transformada pasa a ser:$$\begin{array}{rl}f(x)& =-\frac{2}{2x-6}+3\mathrm{\&}=-\frac{2}{2(x-3)}+3\end{array}$$
      • Ahora, tienes $f(x)=\frac{1}{x-3}$, por lo que sabes que la gráfica se desplaza a la derecha en $3$ unidades.

   2. Aplica la multiplicación (estira y/o encoge) Este es un paso complicado

      • Aquí tienes un encogimiento horizontal por un factor de $2$ (desde el $2$ del denominador) y un estiramiento vertical por un factor de $2$ (desde el $2$ del numerador).

      • Aquí tienes $f(x)=\frac{2}{2(x-3)}$, que te da la misma gráfica que $\text{Extra close brace or missing open brace}$.

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        Fig. 25.
        Las gráficas de la función racional madre (azul) y del primer paso de la transformación (fucsia).

   3. Aplica las negaciones (reflexiones)

      • Aquí tienes $f(x)=-\frac{2}{2(x-3)}$, por lo que la gráfica se refleja sobre el eje $x$-.

      • 

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        Fig. 26.
        Las gráficas de la función racional madre (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (amarillo, morado, rosa).

   4. Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)

      • Aquí tienes $f(x)=-\frac{2}{2(x-3)}+3$, por lo que la gráfica se desplaza hacia arriba $3$ unidades.

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        Fig. 27. Las gráficas de la función racional madre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde).
3. Grafica la función transformada final.
   • La función transformada final es $f(x)=-\frac{2}{2(x-3)}+3=-\frac{2}{2x-6}+3$.
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     Fig. 28. Las gráficas de la función racional madre (azul) y su transformada (verde).