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Tu imagen está siendo transformada por el espejo, más exactamente, está siendo reflejada. Transformaciones como ésta ocurren cada día y cada mañana en nuestro mundo, así como en el mucho menos caótico y confuso mundo del Cálculo.
A lo largo del Cálculo, se te pedirá que transformes y traslades funciones. ¿Qué significa esto exactamente? Significa tomar una función y aplicarle cambios para crear una nueva función. Así es como las gráficas de las funciones pueden transformarse en otras distintas para representar funciones diferentes.
En este artículo, explorarás las transformaciones de funciones, sus reglas, algunos errores comunes, ¡y verás un montón de ejemplos!
Sería conveniente que conocieras bien los conceptos generales de los distintos tipos de funciones antes de sumergirte en este artículo: ¡asegúrate de leer primero el artículo sobre Funciones!
- Transformaciones de funciones: significado
- Transformaciones de funciones: reglas
- Transformaciones de funciones: errores comunes
- Transformaciones de funciones: orden de las operaciones
- Transformaciones de funciones: transformaciones de un punto
- Transformaciones de funciones: ejemplos
Transformaciones de funciones: Significado
¿Qué son las transformaciones de funciones? Hasta ahora, has aprendido sobre las funciones padre y cómo sus familias de funciones comparten una forma similar. Puedes ampliar tus conocimientos aprendiendo a transformar funciones.
Las transformaciones de funciones son los procesos que se utilizan sobre una función existente y su gráfica para darte una versión modificada de esa función y su gráfica que tenga una forma similar a la función original.
Al transformar una función, normalmente debes referirte a la función padre para describir las transformaciones realizadas. Sin embargo, dependiendo de la situación, puede que quieras referirte a la función original dada para describir los cambios.
Fig. 1.
Transformaciones de funciones: Reglas
Como ilustra la imagen anterior, las transformaciones de funciones se presentan de diversas formas y afectan a los gráficos de distintas maneras. Dicho esto, podemos dividir las transformaciones en dos grandes categorías:
Transformacioneshorizontales
Transformacionesverticales
Cualquier función puede transformarse, horizontal y/o verticalmente, mediante cuatro tipos principales de transformaciones:
Desplazamientos (o traslaciones) horizontales y verticales
Encogimientos horizontales y verticales (o compresiones)
Estiramientos horizontales y verticales
Reflexiones horizontales y verticales
Las transformaciones horizontales sólo cambian las coordenadas \(x\)-de las funciones. Las transformaciones verticales sólo cambian las coordenadas \(y\) de las funciones.
Transformaciones de funciones: Desglose de reglas
Puedes utilizar una tabla para resumir las distintas transformaciones y sus correspondientes efectos en la gráfica de una función.
| Transformación de \( f(x) \), donde \( c > 0 \) | Efecto en la gráfica de \( f(x) \) |
| \( f(x)+c \) | Desplazamiento vertical hacia arriba en \(c\) unidades |
| \( f(x)-c \) | Desplazamiento vertical hacia abajo en \(c\) unidades |
| \(f(x+c)) | Desplazamiento horizontal a la izquierda en \(c\) unidades |
| \f(x-c) \) | Desplazamiento horizontal a la derecha en \(c\) unidades |
| \( c \izquierda( f(x) \derecha) \) | Estiramiento vertical en \(c\) unidades, si \( c > 1 \)Encogimiento vertical en \(c\) unidades, si \( 0 < c < 1 \) |
| \( f(cx) \) | Estiramiento horizontal en \(c\) unidades, si \( 0 < c < 1 \)Encogimiento horizontal en \(c\) unidades, si \( c > 1 \) |
| \( -f(x) \) | Reflexión vertical (sobre el eje\ (\bf{x})-) |
| \(f(-x)) | Reflexión horizontal (sobre el eje\bf{y}) |
Transformaciones horizontales - Ejemplo
Las transformacioneshorizontales se realizan cuando actúas sobre la variable de entrada de una función (normalmente \(x\)). Puedes
sumar o restar un número a la variable de entrada de la función, o
multiplicar la variable de entrada de la función por un número.
He aquí un resumen de cómo funcionan las transformaciones horizontales:
Desplazamientos - Sumar un número a \(x\) desplaza la función hacia la izquierda; restarla la desplaza hacia la derecha.
Encoge - Multiplicar \(x\) por un número cuya magnitud sea mayor que \(1\) encoge la función horizontalmente.
Estira - Multiplicar \(x\) por un número cuya magnitud sea menor que \(1\) estira la función horizontalmente.
Reflejos - Multiplicar \(x\) por \(-1\) refleja la función horizontalmente (sobre el eje \(y\)).
Las transformaciones horizontales, excepto la reflexión, ¡funcionan al revés de lo que cabría esperar!
Considera la función madre de la imagen anterior
\[ f(x) = x^{2} \]
Ésta es la función madre de una parábola. Ahora, supongamos que quieres transformar esta función mediante
- Desplazándola hacia la izquierda en \(5\) unidades
- Contrayéndola horizontalmente un factor de \(2\)
- Reflejándola sobre el eje \(y\)
¿Cómo puedes hacerlo?
Solución:
- Grafica la función padre.
Fig. 2. Gráfica de la función madre de una parábola.
- Escribe la función transformada.
- Empieza por la función madre:
- \( f_{0}(x) = x^{2} \)
- Añade el desplazamiento a la izquierda en \(5\) unidades poniendo paréntesis alrededor de la variable de entrada, \(x\), y poniendo \(+5\) dentro de esos paréntesis después de \(x\):
- \( f_{1}(x) = f_{0}(x+5) = \ izquierda( x+5 \ derecha)^{2} \)
- A continuación, multiplica el \(x\) por \(2\) para reducirlo horizontalmente:
- \( f_{2}(x) = f_{1}(2x) = \left( 2x+5 \right)^{2} \)
- Por último, para reflejar sobre el eje \(y), multiplica \(x) por \(-1):
- \( f_{3}(x) = f_{2}(-x) = \left( -2x+5 \right)^{2} \)
- Entonces, tu función transformada final es
- \( \bf{ f(x) } = \bf{ \left( -2x + 5 \right)^{2} } \)
- Empieza por la función madre:
- Haz una gráfica de la función transformada y compárala con la función madre para asegurarte de que las transformaciones tienen sentido.
Fig. 3. Las gráficas de la función padre de una parábola (azul) y su transformación (verde).- Aspectos a tener en cuenta:
- La función transformada está a la derecha debido a la reflexión en el eje \(y\)-realizada tras el desplazamiento.
- La función transformada se desplaza \(2,5\) en lugar de \(5\) debido al encogimiento por un factor de \(2\).
Transformaciones verticales - Ejemplo
Las transformacionesverticales se realizan cuando actúas sobre toda la función. Puedes
sumar o restar un número a toda la función, o bien
multiplicar toda la función por un número.
A diferencia de las transformaciones horizontales, las verticales funcionan como esperas que lo hagan (¡viva!). Aquí tienes un resumen de cómo funcionan las transformaciones verticales:
Desplazamientos - Sumar un número a toda la función la desplaza hacia arriba; restarla la desplaza hacia abajo.
Encoge - Multiplicar toda la función por un número cuya magnitud sea menor que \(1\) encoge la función.
Alarga - Multiplicar toda la función por un número cuya magnitud sea mayor que \(1\) alarga la función.
Reflejos - Multiplicando toda la función por \(-1\) la reflejas verticalmente (sobre el eje \(x\)).
De nuevo, considera la función madre
\[ f(x) = x^{2} \]
Ahora, supongamos que quieres transformar esta función
- Desplazándola hacia arriba en \(5\) unidades
- Contrayéndola verticalmente un factor de \(2\)
- Reflejándola sobre el eje \(x\)-.
¿Cómo puedes hacerlo?
Solución:
- Grafica la función padre.
Fig. 4. Gráfica de la función madre de una parábola.
- Escribe la función transformada.
- Empieza por la función madre:
- \( f_{0}(x) = x^{2} \)
- Añade el desplazamiento hacia arriba en \(5\) unidades poniendo \(+5\) después de \( x^{2} \):
- \( f_{1}(x) = f_{0}(x) + 5 = x^{2}} + 5 \)
- A continuación, multiplica la función por \( \frac{1}{2} \) para comprimirla verticalmente por un factor de \(2\):
- \( f_{2}(x) = \frac{1}{2} \izquierda( f_{1}(x) derecha) = \frac{x^{2}+5}{2} \)
- Por último, para reflejar sobre el eje \(x\)-, multiplica la función por \(-1\):
- \( f_{3}(x) = -f_{2}(x) = - \frac{x^{2}+5}{2} \)
- Entonces, tu función transformada final es
- \( \bf{ f(x) } = \bf{ - \frac{x^{2}+5}{2} } \)
- Empieza por la función madre:
- Haz una gráfica de la función transformada y compárala con la función madre para asegurarte de que las transformaciones tienen sentido.
Fig. 5. Las gráficas de una función madre de una parábola (azul) y su transformación (verde).
Transformaciones de funciones: Errores comunes
Es tentador pensar que la transformación horizontal de sumar a la variable independiente, \(x\), desplaza la gráfica de la función hacia la derecha, porque piensas en la suma como un desplazamiento hacia la derecha en una recta numérica. Sin embargo, no es así.
Recuerda que las transformaciones horizontales mueven la gráfica en el sentido contrario al que esperas.
Supongamos que tienes la función, \( f(x) \), y su transformación, \( f(x+3) \). ¿Cómo mueve la transformación (+3) la gráfica de (f(x))?
Solución:
- Se trata de una transformación horizontal porque la suma se aplica a la variable independiente, \(x\).
- Por tanto, sabes que la gráfica se mueveal contrario de lo que cabría esperar.
- La gráfica de \( f(x) \) se desplaza hacia la izquierda 3 unidades.
¿Por qué las Transformaciones Horizontales son lo contrario de lo esperado?
Si las transformaciones horizontales aún te resultan un poco confusas, considera lo siguiente.
Mira de nuevo la función, \( f(x) \), y su transformación, \( f(x+3) \), y piensa en el punto de la gráfica de \( f(x) \) donde \( x = 0 \). Entonces, tienes \( f(0) \) para la función original.
- ¿Qué tiene que ser \(x\) en la función transformada para que \( f(x+3) = f(0) \)?
- En este caso, \(x\) tiene que ser \(-3\).
- Entonces, obtienes \( f(-3+3) = f(0) \).
- Esto significa que tienes que desplazar la gráfica 3 unidades a la izquierda, lo que tiene sentido con lo que piensas cuando ves un número negativo.
Al identificar si una transformación es horizontal o vertical, ten en cuenta que las transformaciones sólo son horizontales si se aplican a \(x\) cuando tiene una potencia de \(1\).
Considera las funciones
\[ g(x) = x^{3} - 4 \]
y
\[ h(x) = (x-4)^{3} \].
Tómate un minuto para pensar cómo se transforman estas dos funciones, respecto a su función madre \( f(x) = x^{3} \), se transforman.
¿Puedes comparar y contrastar sus transformaciones? ¿Qué aspecto tienen sus gráficas?
Solución:
- Haz la gráfica de la función madre.
Fig. 6. Gráfica de la función cúbica padre.
- Determina las transformaciones indicadas por \( g(x) \) y \( h(x) \).
- Para \( g(x) \):
- Como \(4\) se resta de toda la función, no sólo de la variable de entrada \(x\), la gráfica de \( g(x) \) se desplaza verticalmente hacia abajo \(4\) unidades.
- Para \( h(x) \):
- Como \(4\) se resta de la variable de entrada \(x\), no de toda la función, la gráfica de \( h(x) \) se desplaza horizontalmente hacia la derecha en \(4\) unidades.
- Para \( g(x) \):
- Grafica las funciones transformadas con la función madre y compáralas.
Fig. 7. Gráfica de la función cúbica padre (azul) y dos de sus transformaciones (verde, rosa).
Veamos otro error frecuente.
Ampliando el ejemplo anterior, considera ahora la función
\[ f(x) = \frac{1}{2} \left( x^{3}} - 4 \right) + 2 \].
A primera vista, podrías pensar que esto tiene un desplazamiento horizontal de \(4\) unidades con respecto a la función padre \( f(x) = x^{3} \).
Pero no es así.
Aunque puedas tener la tentación de pensar que sí debido a los paréntesis, el \( \left( x^{3} - 4 \right) \) no indica un desplazamiento horizontal porque \(x\) tiene una potencia de \(3\), no de \(1\). Por tanto, \( \left( x^{3} - 4 \\right) \) indica un desplazamiento vertical de \(4\) unidades hacia abajo respecto a la función padre \( f(x) = x^{3} \).
Para obtener la información completa de la traslación, debes expandir y simplificar:
\[ \begin{align}f(x) &= \frac{1}{2} \izquierda( x^{3} - 4 derecha) + 2&= \frac{1}{2} x^{3} - 2 + 2&= \frac{1}{2} x^{3}\end{align} \]
Esto te dice que, de hecho, no hay traslación vertical ni horizontal. ¡Sólo hay una compresión vertical por un factor de \(2\)!
Comparemos esta función con otra muy parecida, pero transformada de forma muy distinta.
| \( f(x) = \frac{1}{2} \izquierda( x^{3} - 4 derecha) + 2 = \frac{1}{2} x^{3} \) | \( f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)^{3} + 2 \) |
| compresión vertical por un factor de \(2\) | compresión vertical por un factor de \(2\) |
| sin traslación horizontal ni vertical | traslación horizontal \(4\) unidades a la derecha |
| traslación vertical \(2\) unidades arriba |
Fig. 8. gráfico de la función cúbica padre (azul) y dos de sus transformaciones (verde, rosa).
Tienes que asegurarte de que el coeficiente del término \(x\) se factoriza completamente para obtener un análisis preciso de la traslación horizontal.
Considera la función
\[ g(x) = 2(3x + 12)^{2} +1 \].
A primera vista, podrías pensar que esta función está desplazada \(12\) unidades a la izquierda con respecto a su función madre, \( f(x) = x^{2} \).
Pero no es así. Aunque puedas tener la tentación de pensar que sí debido a los paréntesis, el \( (3x + 12)^{2} \) no indica un desplazamiento a la izquierda de \(12\) unidades. ¡Debes factorizar el coeficiente en \(x\)!
\[ g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \]
Aquí puedes ver que, en realidad, la función está desplazada \(4\) unidades a la izquierda, no \(12\), después de escribir la ecuación en la forma adecuada. El gráfico siguiente sirve para demostrarlo.
Fig. 9. Asegúrate de factorizar completamente el coeficiente de \(x\) para obtener un análisis preciso de las transformaciones horizontales.
Transformaciones de funciones: Orden de las operaciones
Como ocurre con la mayoría de las cosas en matemáticas, el orden en que se realizan las transformaciones de las funciones es importante. Por ejemplo, considerando la función madre de una parábola
\[ f(x) = x^{2} \]
Si aplicaras un estiramiento vertical de \(3\) y luego un desplazamiento vertical de \(2\), obtendrías una gráfica final distinta que si aplicaras un desplazamiento vertical de \(2\) y luego un estiramiento vertical de \(3\). Dicho de otro modo
\[ \begin{align}2 + 3f(x) &\neq 3(2 + f(x)) \\2 + 3(x^{2}) &\neq 3(2 + x^{2})\end{align} \]
La tabla siguiente lo visualiza.
| Un estiramiento vertical de \(3\), luego un desplazamiento vertical de \(2\) | Un desplazamiento vertical de \(2\), luego un desplazamiento vertical de \(3\) |
|
|
Transformaciones de funciones: ¿Cuándo importa el orden?
Y como ocurre con la mayoría de las reglas, ¡hay excepciones! Hay situaciones en las que el orden no importa, y se generará la misma gráfica transformada independientemente del orden en que se apliquen las transformaciones.
El orden de las transformaciones importa cuando
hay transformaciones de la misma categoría (es decir, horizontales o verticales)
pero no son del mismo tipo (es decir, desplazamientos, encogimientos, estiramientos, compresiones).
¿Qué significa esto? Bien, mira de nuevo el ejemplo anterior.
¿Te das cuenta de que la transformación (verde) de la función padre (azul) tiene un aspecto muy diferente entre las dos imágenes?
Esto se debe a que las transformaciones de la función padre eran de la misma categoría (es decir, transformación vertical ), pero de distinto tipo (es decir, un estiramiento y un desplazamiento). Si cambias el orden en que realizas estas transformaciones, ¡obtendrás un resultado diferente!
Así que, para generalizar este concepto
Supongamos que quieres realizar \( 2 \) transformaciones horizontales distintas sobre una función:
No importa qué \( 2 \) tipos de transformaciones horizontales elijas, si no son iguales (por ejemplo, \( 2 \) desplazamientos horizontales), el orden en que apliques estas transformaciones importa.
Supongamos que quieres realizar \( 2 \) transformaciones verticales diferentes sobre otra función:
No importa qué \( 2 \) tipos de transformaciones verticales elijas, si no son iguales (por ejemplo, \( 2 \) desplazamientos verticales), el orden en que apliques estas transformaciones importa.
Las transformaciones de función de la misma categoría, pero de distinto tipo , no conmutan (es decir, el orden importa).
Supongamos que tienes una función, \( f_{0}(x) \), y las constantes \( a \) y \( b \).
En cuanto a las transformaciones horizontales:
- Supongamos que quieres aplicar un desplazamiento horizontal y un estiramiento horizontal (o encogimiento) a una función general. Entonces, si aplicas primero el estiramiento (o encogimiento) horizontal, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \f_{2}(x) &= f_{1}(x+b) = f_{0} \left( a(x+b) \right)\end{align} \]
- Ahora, si aplicas primero el desplazamiento horizontal, obtienes:\[ \begin{align}g_{1}(x) &= f_{0}(x+b) \g_{2}(x) &= g_{1}(ax) = f_{0}(ax+b)\end{align} \]
- Cuando comparas estos dos resultados, ves que:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \f_{0} \left( a(x+b) \right) &\neq f_{0}(ax+b)\end{align} \]
En cuanto a las transformaciones verticales:
- Supongamos que quieres aplicar un desplazamiento vertical y un estiramiento vertical (o encogimiento) a una función general. Entonces, si aplicas primero el estiramiento (o encogimiento) vertical, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \\f_{2}(x) &= b+f_{1}(x) = b+af_{0}(x)\end{align} \]
- Ahora bien, si aplicas primero el desplazamiento vertical, obtienes:\[ \begin{align}g_{1}(x) &= b+f_{0}(x) \g_{2}(x) &= ag_{1}(x) = a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]
- Cuando comparas estos dos resultados, ves que:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \b+af_{0}(x) &\neq a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]
El orden de las transformaciones no importa cuando
- hay transformaciones dentro de la misma categoría y son del mismo tipo, o
- hay transformaciones que son de categorías totalmente distintas.
¿Qué significa esto?
Si tienes una función a la que quieres aplicar varias transformaciones de la misma categoría y tipo, el orden no importa.
Puedes aplicar estiramientos/contracciones horizontales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Puedes aplicar desplazamientos horizontales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Puedes aplicar reflejos horizontales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Puedes aplicar alargamientos/repliegues verticales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Puedes aplicar desplazamientos verticales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Puedes aplicar reflexiones verticales en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Si tienes una función a la que quieres aplicar transformaciones de diferentes categorías, el orden no importa.
Puedes aplicar una transformación horizontal y otra vertical en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Las transformaciones de funciones de la misma categoría y del mismo tipo conmutan (es decir, el orden no importa).
Supongamos que tienes una función, \( f_{0}(x) \), y las constantes \( a \) y \( b \).
- Si quieres aplicar múltiples estiramientos/contracciones horizontales, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \f_{2}(x) &= f_{1}(bx) \&= f_{0}(abx)\end{align} \]
- El producto \(ab\) es conmutativo, por lo que el orden de los dos estiramientos/desplazamientos horizontales no importa.
- Si quieres aplicar múltiples desplazamientos horizontales, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(a+x) \f_{2}(x) &= f_{1}(b+x) \&= f_{0}(a+b+x)\end{align} \]
- La suma \(a+b\) es conmutativa, por lo que el orden de los dos desplazamientos horizontales no importa.
- Si quieres aplicar múltiples estiramientos/desplazamientos verticales, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \\&= abf_{0}(x)\end{align} \]
- El producto \(ab\) es conmutativo, por lo que el orden de los dos estiramientos/desplazamientos verticales no importa.
- Si quieres aplicar múltiples desplazamientos verticales, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= a + f_{0}(x) \f_{2}(x) &= b + f_{1}(x) \\&= a + b + f_{0}(x)\end{align} \]
- La suma \(a+b\) es conmutativa, por lo que el orden de los dos desplazamientos verticales no importa.
Veamos otro ejemplo.
Las transformaciones de funciones que son de categorías diferentes sí son conmutativas (es decir, el orden no importa).
Supongamos que tienes una función, \( f_{0}(x) \), y las constantes \( a \) y \( b \).
- Si quieres combinar un estiramiento/contracción horizontal y un estiramiento/contracción vertical, obtienes:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \&= bf_{0}(ax)\end{align} \]
- Ahora, si inviertes el orden en que se aplican estas dos transformaciones, obtienes:\[ \begin{align}g_{1}(x) &= bf_{0}(x) \g_{2}(x) &= g_{1}(ax) \&= bf_{0}(ax)\end{align} \]
- Si comparas estos dos resultados, verás que:\[ \begin{align}f_{2}(x) &= g_{2}(x) \bf_{0}(ax) &= bf_{0}(ax)\end{align} \]
Entonces, ¿hay un orden correcto de operaciones al aplicar transformaciones a funciones?
La respuesta corta es no, puedes aplicar transformaciones a funciones en el orden que quieras seguir. Como has visto en la sección de errores comunes, el truco está en aprender a distinguir qué transformaciones se han realizado, y en qué orden, al pasar de una función (normalmente una función padre) a otra.
Transformaciones de funciones: Transformaciones de puntos
¡Ahora estás preparado para transformar algunas funciones! Para empezar, intentarás transformar un punto de una función. Lo que harás será desplazar un punto concreto en función de unas transformaciones dadas.
Si el punto \( (2, -4) \) está en la función \( y = f(x) \), ¿cuál es el punto correspondiente en \( y = 2f(x-1)-3 \)?
Solución:
Hasta ahora sabes que el punto \( (2, -4) \) está en la gráfica de \( y = f(x) \). Por tanto, puedes decir que
\[ f(2) = -4 \]
Lo que tienes que averiguar es el punto correspondiente que está en \( y = 2f(x-1)-3 \). Lo haces observando las transformaciones dadas por esta nueva función. Recorriendo estas transformaciones, obtienes
- Empieza por los paréntesis.
- Aquí tienes \( (x-1) \). → Esto significa que desplazas la gráfica hacia la derecha en \(1\) unidad.
- Como ésta es la única transformación aplicada a la entrada, sabes que no hay otras transformaciones horizontales sobre el punto.
- Por tanto, sabes que el punto transformado tiene una coordenada \(x\) de \(3\).
- Aplica la multiplicación.
- Aquí tienes \( 2f(x-1) \). → El \(2\) significa que tienes un estiramiento vertical por un factor de \(2\), así que tu coordenada \(y)- se duplica a \(-8\).
- Pero, ¡aún no has terminado! Aún te queda una transformación vertical.
- Aplica la suma/resta.
- Aquí tienes la \(-3\) aplicada a toda la función. → Esto significa que tienes un desplazamiento hacia abajo, así que restas \(3\) a tu coordenada \(y\).
- Así, sabes que el punto transformado tiene una coordenada \(y)- de \(-11\).
- Aquí tienes la \(-3\) aplicada a toda la función. → Esto significa que tienes un desplazamiento hacia abajo, así que restas \(3\) a tu coordenada \(y\).
Así pues, con estas transformaciones hechas a la función, sea la función que sea, el punto correspondiente a \( (2, -4) \) es el punto transformado \( \bf{ (3, -11) } \).
Para generalizar este ejemplo, digamos que te dan la función \( f(x) \), el punto \( (x_0, f(x_0)) \), y la función transformada\[ g(y) = af(x = by+c)+d,\]¿cuál es el punto correspondiente?
En primer lugar, tienes que definir qué es el punto correspondiente:
Es el punto de la gráfica de la función transformada tal que las coordenadas \(x\)-del punto original y del punto transformado están relacionadas por la transformación horizontal.
Así pues, tienes que encontrar el punto \((y_0, g(y_0))\) tal que
\[x_0 = by_0+c\].
Para hallar \(y_0\), aíslalo de la ecuación anterior:
\[y_0 = \frac{x_0-c}{b}]
Para hallar \(g(y_0)\), introduce \(g\):
\[g(y_0) = af(x = by_0+c)+d = af(x_0)+d\].
Conclusión: para hallar el componente \(x\)del punto transformado, resuelve la transformación horizontal invertida; para hallar el componente \(y\)del punto transformado, resuelve la transformación vertical.
Transformaciones de funciones: Ejemplos
Veamos ahora algunos ejemplos con distintos tipos de funciones.
Transformaciones de funciones exponenciales
La ecuación general de una función exponencial transformada es
\[ f(x) = a(b)^{k(x-d)}+c \]
Donde
\[ a = \begin{casos}\mbox{estiramiento vertical si } a > 1, \\mbox{encogimiento vertical si } 0 < a < 1,\mbox{reflexión sobre } eje x si } a \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\b = la base de la función exponencial].
\[ c = \begin{casos}\mbox{desplazamiento vertical hacia arriba si } c \mbox{ es positivo}, \\mbox{desplazamiento vertical hacia abajo si } c \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\d = inicio casilla desplazamiento horizontal a la izquierda si +d casilla {está entre paréntesis}, casilla {desplazamiento horizontal a la derecha si } -d casilla {está entre paréntesis} fin{casos} \]
\[ k = \begin{casos}\mbox{desplazamiento horizontal si } 0 < k < 1,\mbox {encogimiento horizontal si } k > 1,\mbox {reflexión sobre } y-\mbox {eje si } k \mbox {es negativo}\end{cases} \]
Transformemos la función exponencial natural matriz, \( f(x) = e^{x} \), mediante la gráfica de la función exponencial natural:
\[ f(x) = -e^{2(x-1)}+3. \]
Solución:
- Grafica la función padre.
Fig. 12. Gráfica de la función \(e^x\).
- Determina las transformaciones.
Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)
Aquí tienes \(f(x) = e^{(x-1)}\), por lo que la gráfica se desplaza hacia la derecha en \(1\) unidad.
Fig. 13. Gráfica de la función \(e^x\) y su transformación.
Aplica la multiplicación (estira y/o encoge)
Aquí tienes \( f(x) = e^{2(x-1)} \), por lo que la gráfica se encoge horizontalmente un factor de \(2\).
Fig. 14. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los dos primeros pasos de la transformación (amarillo, morado).
Aplica las negaciones (reflexiones)
Aquí tienes \( f(x) = -e^{2(x-1)} \), por lo que la gráfica se refleja sobre el eje \(x\)-.
Fig. 15. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (amarillo, morado, rosa)
Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)
Aquí tienes \( f(x) = -e^{2(x-1)} + 3 \), por lo que la gráfica se desplaza hacia arriba \(3\) unidades.
Fig. 16. La gráfica de la función exponencial natural padre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde).
Grafica la función transformada final.
Fig. 17. Gráficas de la función exponencial natural original (azul) y su transformada (verde).
Transformaciones de funciones logarítmicas
La ecuación general de una función logarítmica transformada es
\[ f(x) = a\mbox{log}_{b}(kx+d)+c. \]
Donde
\[ a = \begin{casos}\mbox{estiramiento vertical si } a > 1, \\\mbox{encogimiento vertical si } 0 < a < 1,\mbox{reflexión sobre } eje x si } a \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\b = la base de la función logarítmica].
\[ c = \begin{casos}\mbox{desplazamiento vertical hacia arriba si } c \mbox{ es positivo}, \\mbox{desplazamiento vertical hacia abajo si } c \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\d = inicio casilla desplazamiento horizontal a la izquierda si +d casilla {está entre paréntesis}, casilla {desplazamiento horizontal a la derecha si } -d casilla {está entre paréntesis} fin{casos} \]
\[ k = \begin{casos}\mbox{desplazamiento horizontal si } 0 < k < 1,\mbox {encogimiento horizontal si } k > 1,\mbox {reflexión sobre } y-\mbox {eje si } k \mbox {es negativo}\end{cases} \]
Transformemos la función madre logaritmo natural, \( f(x) = \text{log}_{e}(x) = \text{ln}(x) \) mediante la representación gráfica de la función:
\[ f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3. \]
Solución:
- Grafica la función madre.
Fig. 18. Gráfica de la función madre logaritmo natural.
- Determina las transformaciones.
Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)
Aquí tienes \( f(x) = \text{ln}(x+2) \), por lo que la gráfica se desplaza hacia la izquierda \(2\) unidades.
Fig. 19. Las gráficas de la función logaritmo natural padre (azul) y el primer paso de la transformación (verde)
Aplica la multiplicación (estira y/o encoge)
Aquí tienes \( f(x) = 2\text{ln}(x+2) \), por lo que la gráfica se estira verticalmente un factor de \(2\).
Fig. 20. Las gráficas de la función matriz logaritmo natural (azul) y los dos primeros pasos de la transformación (verde, rosa).
Aplica las negaciones (reflexiones)
Aquí tienes \( f(x) = -2\text{ln}(x+2) \), por lo que la gráfica se refleja sobre el eje \(x\)-.
Fig. 21. Las gráficas de la función matriz logaritmo natural (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (verde, morado, rosa).
Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)
Aquí tienes \( f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3 \), por lo que la gráfica se desplaza hacia abajo \(3\) unidades.
Fig. 22. Las gráficas de la función logaritmo natural padre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde)
- Haz la gráfica de la función transformada final.
Fig. 23. Gráficasde la función matriz logaritmo natural (azul) y su transformada (verde).
Transformaciones de funciones racionales
La ecuación general de una función racional es
\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ,\]
donde
\[ P(x) \mbox{ y } Q(x) \mbox{ son funciones polinómicas, y } Q(x) \neq 0. \]
Como una función racional está formada por funciones polinómicas, la ecuación general de una función polinómica transformada se aplica al numerador y denominador de una función racional. La ecuación general de una función polinómica transformada es
\[ f(x) = a \left( f(k(x-d)) + c \right), \]
donde,
\[ a = \begin{casos}\mbox{estiramiento vertical si } a > 1, \\\mbox{encogimiento vertical si } 0 < a < 1,\mbox{reflexión sobre } eje x si } a \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\[ c = \begin{casos}\mbox{desplazamiento vertical hacia arriba si } c \mbox{ es positivo}, \\\mbox{desplazamiento vertical hacia abajo si } c \mbox{ es negativo}\end{casos} \]
\d = inicio casilla desplazamiento horizontal a la izquierda si +d \mbox{ está entre paréntesis}, \\mbox{ desplazamiento horizontal a la derecha si } -d casilla {está entre paréntesis} fin{casos} \]
\[ k = \begin{casos}\mbox{desplazamiento horizontal si } 0 < k < 1,\mbox {encogimiento horizontal si } k > 1,\mbox {reflexión sobre } y-\mbox {eje si } k \mbox {es negativo}\end{cases} \]
Transformemos la función recíproca matriz, \( f(x) = \frac{1}{x} \) graficando la función:
\[ f(x) = - \frac{2}{2x-6}+3. \]
Solución:
- Haz la gráfica de la función madre.
Fig. 24. Gráfica de la función racional madre.
- Determina las transformaciones.
Empieza por los paréntesis (desplazamientos horizontales)
- Para hallar los desplazamientos horizontales de esta función, necesitas tener el denominador en forma estándar (es decir, necesitas factorizar el coeficiente de \(x\)).
- Así, la función transformada pasa a ser:\[ \begin{align}f(x) &= - \frac{2}{2x-6}+3 \&= - \frac{2}{2(x-3)}+3\end{align} \]
- Ahora, tienes \( f(x) = \frac{1}{x-3} \), por lo que sabes que la gráfica se desplaza a la derecha en \(3\) unidades.
Aplica la multiplicación (estira y/o encoge) Este es un paso complicado
Aquí tienes un encogimiento horizontal por un factor de \(2\) (desde el \(2\) del denominador) y un estiramiento vertical por un factor de \(2\) (desde el \(2\) del numerador).
Aquí tienes \( f(x) = \frac{2}{2(x-3)} \), que te da la misma gráfica que \( f(x) = \frac{1}{x-3}} \).
Las gráficas de la función racional madre (azul) y del primer paso de la transformación (fucsia).
Fig. 25.
Aplica las negaciones (reflexiones)
Aquí tienes \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} \), por lo que la gráfica se refleja sobre el eje \(x\)-.
Las gráficas de la función racional madre (azul) y los tres primeros pasos de la transformación (amarillo, morado, rosa).
Fig. 26.
Aplica la suma/resta (desplazamientos verticales)
Aquí tienes \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 \), por lo que la gráfica se desplaza hacia arriba \(3\) unidades.
Fig. 27. Las gráficas de la función racional madre (azul) y los pasos para obtener la transformada (amarillo, morado, rosa, verde).
- Grafica la función transformada final.
- La función transformada final es \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 = - \frac{2}{2x-6} + 3 \).
Fig. 28. Las gráficas de la función racional madre (azul) y su transformada (verde).
Transformaciones de funciones - Puntos clave
- Las transformaciones de funciones son los procesos utilizados sobre una función existente y su gráfica para darnos una versión modificada de esa función y su gráfica que tenga una forma similar a la función original.
- Las transformaciones de funciones se dividen en dos grandes categorías:
Transformaciones horizontales
- Las transformaciones horizontales se realizan cuando sumamos/restamos un número de la variable de entrada de una función (normalmente x) o la multiplicamos por un número. Las transformaciones horizontales , excepto la reflexión, funcionan de forma opuesta a lo que cabría esperar.
- Las transformaciones horizontales sólo cambian las coordenadas x de las funciones.
Transformaciones verticales
Las transformaciones verticales se realizan cuando sumamos/restamos un número de toda la función, o multiplicamos toda la función por un número. A diferencia de las transformaciones horizontales, las transformaciones verticales funcionan como esperamos que lo hagan.
- Las transformaciones verticales sólo cambian las coordenadas y de las funciones.
Cualquier función puede transformarse, horizontal y/o verticalmente, mediante cuatro tipos principales de transformaciones:
Desplazamientos horizontales y verticales (o traslaciones)
Encogimientos horizontales y verticales (o compresiones)
Estiramientos horizontales y verticales
Reflexiones horizontales y verticales
- Al identificar si una transformación es horizontal o vertical, ten en cuenta que las transformaciones sólo son horizontales si se aplican a x cuando ésta tiene una potencia de 1.
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