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Si tienes una función para el precio de la gasolina y cómo cambia con el tiempo, ésta es una situación en la que el Valor Medio de una Función puede ser muy útil.
Definición del Valor Medio de una Función
Puede que estés familiarizado con el concepto de media. Normalmente, un promedio se calcula sumando números y dividiéndolos por la cantidad total de números. El valor medio de una función en Cálculo es una idea similar.
El valor medio de una función es la altura del rectángulo que tiene un área equivalente al área bajo la curva de la función.
Si miras la imagen de abajo, ya sabes que la integral de la función es toda el área comprendida entre la función y el eje \(x\)-.
El rectángulo tiene la misma área que el área bajo la curva
Esta idea puede parecer arbitraria al principio. ¿Cómo se relaciona este rectángulo con una media? La media implica dividir por el número de valores, ¿y cómo puedes saber de cuántos valores se trata aquí?
Valor medio de una función en un intervalo
Cuando se habla del valor medio de una función, hay que indicar en qué intervalo. Esto se debe a dos razones:
Necesitas hallar la integral definida sobre el intervalo dado.
Tienes que dividir la integral anterior por la longitud del intervalo.
Para hallar el valor medio de una función, en lugar de sumar números necesitas integrar, y en lugar de dividir por el número de valores divides por la longitud del intervalo.
|Inicio \text{Sumando valores} \quad &\rightarrow \quad \text{Integración} \text{Número de valores} \Longitud del intervalo} \Fin \]
Utilizar la longitud del intervalo tiene sentido porque los intervalos tienen un número infinito de valores, por lo que es más apropiado utilizar en su lugar la longitud del intervalo.
Fórmula del valor medio de una función
Como ya hemos dicho, el valor medio de una función \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\) se obtiene dividiendo la integral definida
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
por la longitud del intervalo.
El valor medio de la función suele escribirse \(f_{texto{avg}}). Así que
\f_{texto{avg}} = \frac{1}{b-a}{int_a^b f(x)\b, \mathrm{d}x.\].
Lee nuestra sección "Evaluación de integrales definidas" si necesitas refrescar tus conocimientos sobre integración.
Cálculo del valor medio de una función
¿De dónde procede la fórmula del valor medio de una función? Recordemos el Teorema del Valor Medio para integrales, que afirma que si una función \(f(x)\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), entonces existe un número \(c\) tal que
\[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = f(c)(b-a).\]
Puedes ver la derivación del Teorema del Valor Medio de las Integrales en el artículo.
Si simplemente divides cada lado de la ecuación por \(b-a\) para resolver \(f(c)\), obtienes la fórmula del valor medio de una función:
\[ f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x.\]
Ejemplos del valor medio de una función
Un economista descubre que los precios de la gasolina de 2017 a 2022 pueden describirse mediante la función
\[f(x) = 1,4^x.\]
Aquí, \( f \) se mide en dólares por galón, y \(x\) representa el número de años transcurridos desde 2017. Halla el precio medio de la gasolina por galón entre 2017 y 2022.
Contesta:
Para utilizar la fórmula del valor medio de una función, primero tienes que identificar el intervalo. Como la función mide los años transcurridos desde 2017, entonces el intervalo es \( [0,5],\) donde 0 representa 2017 y 5 representa 2022.
A continuación, tendrás que hallar la integral definida
\[\int_0^5 1.4^x\,\mathrm{d}x.\]
Empieza por hallar su antiderivada:
\[ \int 1,4^x,\mathrm{d}x= \frac{1}{\ln{1,4}} 1,4^x,\]
y luego utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida, lo que te da
\[ \begin{align} \int_0^5 1,4^x,\mathrm{d}x &=left( \frac{1}{ln{1,4}} 1,4^5 \right) - \left( \frac{1}{ln{1,4}} 1,4^0 \right) &= \frac{1,4^5-1}{ln{1,4}} \\ &= 13.012188. \fin \]
Ahora que has hallado el valor de la integral definida, divides por la longitud del intervalo, de modo que
\f_{texto{avg}} &= frac{13,012188}{5} &= 2,60 \\ &= 2.6024376. \end{align}\]
Esto significa que el precio medio de la gasolina entre 2017 y 2022 es de 2,60 $ por galón.
Observa una representación gráfica del problema:
Representación gráfica del valor medio del precio del gas
El rectángulo representa el área total bajo la curva de \(f(x)\). El rectángulo tiene una anchura de \(5\), que es el intervalo de integración, y una altura igual al valor medio de la función, \(2,6\).
A veces el valor medio de una función es negativo.
Halla el valor medio de
\[ g(x) = x^3 \]
en el intervalo \( [-2,1].\\)
Contesta:
Esta vez el intervalo está dado de forma directa, así que empieza por hallar la integral indefinida
\[ \int x^3 \, \mathrm{d}x, \]
lo que puedes hacer utilizando la regla de potencias, para hallar que
\[ \int x^3 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^4.\]
A continuación, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida. Esto te da
\[ \begin{align} \int_{-2}^1 x^3 \, \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{4}(1)^4 \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 \right). (-2)^4 \ derecha) \ izquierda( \frac{1}{4} - 4 &= -\frac{15}{4}. \fin \]
Por último, divide el valor de la integral definida por la longitud del intervalo, de modo que
\g_{{texto{avg}} &= \frac{1}{1-(-2)}left(-\frac{15}{4} \right) &= -\frac{15}{12}(-\frac{15}{4}). \\ &= - \frac{5}{4}. \end{align}\}]
Por tanto, el valor medio de \( g(x) \) en el intervalo \( [-2,1] \) es \( -\frac{5}{4}.\)
¡También es posible que el valor medio de una función sea cero!
Halla el valor medio de \(h(x) = x \) en el intervalo \( [-3,3].\)
Responde:
Empieza utilizando la regla de potencias para hallar la integral indefinida, es decir
\[ \int x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2.\]
Sabiendo esto, puedes evaluar la integral definida, así
\[ \begin{align} \int_{-3}^3 x, \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{2}(3)^2\2right)-\left(\frac{1}{2}(-3)^2\2right) &= \frac{9}{2}-\frac{9}{2}. \\ &= 0. \end{align}\]
Como la integral definida es igual a 0, también obtendrás 0 después de dividir por la longitud del intervalo, por lo que
\h_{\text{avg}}=0.\}
También puedes hallar el valor medio de una función trigonométrica. Consulta nuestro artículo sobre Integrales trigonométricas si necesitas un repaso.
Halla el valor medio de
\f(x) = seno(x)\].
en el intervalo \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right].\)
Responde:
Tendrás que hallar primero la integral definida
\[ \int_0^{frac{\pi}{2} \sin{x} \, \mathrm{d}x,\}].
así que halla su antiderivada
\[ \int \sin{x} \, \mathrm{d}x = -\cos{x},\]
y utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida, es decir
\[ \begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \, \mathrm{d}x &= \left(-\cos{\frac{\pi}} {2} \right) - \left(-\cos{0} \right) \\\ &= -0-\left( -1 \right) \\\= 1. \fin].
Por último, divide por la longitud del intervalo, de modo que
\f_{\text{avg}} &= \frac{1}{\frac{\pi}{2} {\frac{2}{\pi}}. \end{align}\}]
Esto significa que el valor medio de la función seno en el intervalo \( \left[ 0, \frac{{pi}{2} \right]\) es \(\frac{2}{\pi},\) que es aproximadamente \(0,63.\)
Representación gráfica del valor medio de la función seno en el intervalo \( [0,\frac{\pi}{2}].\)
Valor medio de una función - Puntos clave
- El valor medio de una función es la altura del rectángulo que tiene un área equivalente al área bajo la curva de la función.
- El valor medio de una función \(f(x)\) sobre el intervalo \( [a,b]\) viene dado por \[ f_{texto{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\}, dx.\}.
- El valor medio de una ecuación de función se deduce del Teorema del Valor Medio para integrales.
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