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Definición de cálculo vectorial
Los vectores son objetos matemáticos que representan movimientos o puntos en más de una dimensión.
Un vector es un objeto matemático que tiene tanto dirección como magnitud. Un vector bidimensional puede escribirse como:
\[ \begin{bmatrix} x \ y\end{bmatrix} = x \vec{i} + y \vec{j}. \]
La izquierda se llamavector columna , y la segunda, forma componente.
\( \vec{i}\) y \( \vec{j}\) se conocen comovectores unitarios estándar . Se pueden escribir como
\[ \vec{i} = \begin{bmatrix} 1 {\i} 0{bmatriz} final, {\i}: \vec{j} = \begin{bmatrix} 0\1 \final{bmatriz}. \]
En un ordenador, los vectores suelen escribirse en minúsculas y en negrita. Cuando se escriben a mano, lo normal es subrayarlos ((|subrayar{v})|), sobrerayarlos ((|sobrerayar{v})|) o dibujar una flecha sobre ellos ((|sobreflecha{v})|). Si te refieres concretamente a un vector entre dos puntos, por ejemplo el punto A y el punto B, este vector se escribe normalmente como los dos puntos con una flecha sobre ellos, \((\flechasobrederecha{AB}.\}).
Los vectores pueden considerarse como flechas que apuntan de un lugar a otro. Si el vector en el espacio 2d es \( 3\vec{i} + 2 \vec{j},\) y el vector empieza en el origen, apuntará a \( (3, 2) \) en el plano \((x,y)\).
Un vector puede considerarse como una flecha que apunta de un lugar a otro.
El vector anterior podría representar el movimiento de 3 unidades en la dirección \(x\) y 2 unidades en la dirección \(y\), o podría representar el punto \( (3, 2) \) en el plano \( (x,y)\). Por ello, distinguimos los vectores envectores de dirección y vectoresde posición .
El vector de dirección \( a \vec{i} + b \vec{j}) es un vector que representa un movimiento de \(a\) en la dirección \(x\) positiva y \(b\) en la dirección \(y\) positiva.
Elvector de posición \( a \vec{i} + b \vec{j}.\) representa el punto \( (a, b) \) en el espacio 2D.
Si aplicas un vector de dirección desde el origen, llegarás al vector de posición correspondiente.
Es importante saber escribir los vectores columna en forma de componentes y viceversa. Veamos algunos ejemplos de ello.
A continuación se dan los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
\Vectores \vec{u} & = \begin{bmatrix} 3 - -1 fin. \\ vec{v} & = 3 \vec{i} + \vec{j}. \fin \]
Escribe
- Vector \(\vec{u}) en forma de componente,
- Vector \(\vec{v}\) en forma de vector columna.
Solución
1. Para escribir un vector columna en forma de componente, escribes el número de la primera posición como el coeficiente de \( \vec{i} \) y el número de la segunda posición como el coeficiente de \( \vec{j} \).
\[ \vec{u} = 3 \vec{v} - \vec{j}. \]
2. Para escribir un vector en forma de componente como vector columna, basta con poner los coeficientes de cada vector unitario en su posición en el vector columna, recordando: el coeficiente de \(\vec{i} \) va en la primera posición, y el coeficiente de \(\vec{j} \) va en la segunda posición. Esto da:
\[ \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\\ -2 \end{bmatrix}. \]
Cálculo de suma de vectores
Igual que con los números normales, los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar. Veamos primero la suma y la resta de vectores.
Suma y resta de vectores
Cuando se añaden vectores, es esencialmente como alinear las flechas de los vectores de dirección punta con punta.
Cuando se suman vectores, es esencialmente como colocar las flechas de los vectores de dirección punta con punta.
Arriba tienes dos vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{u}\), que se suman. Como puedes ver, la suma de estos dos vectores es la misma que apilar los vectores punta con punta. Esto tiene sentido si piensas en un vector como una forma de movimiento. Si primero caminas 3 pasos hacia la derecha y 2 hacia delante, haces una pausa y luego caminas otro paso hacia la derecha y otros dos hacia delante, te habrás movido a la misma posición que si hubieras caminado 4 pasos hacia delante y 4 hacia la derecha de una sola vez.
Los vectores se pueden restar visualmente uniendo las flechas punta con punta, pero dibujando el vector que se resta hacia atrás.
De forma similar a la suma de vectores, un vector \(\vec{v}\) puede restarse de un vector \(\vec{u}\) poniéndolos punta con punta, pero con el vector \(\vec{v}\) orientado en sentido contrario.
Numéricamente, los vectores pueden sumarse o restarse sumando o restando sus componentes individuales. En forma de componente, esto tiene sentido visual, ya que parece exactamente lo mismo que juntar términos semejantes al hacer álgebra.
Encuentra
- \( (\vec{i} + 2 \vec{j}) + (4\vec{i} - 3\vec{j}), \)
- \( ( 3\vec{i} - \vec{j}) - (\vec{i} - 2 \vec{j}). \)
Solución
1. Puedes sumar todos los términos como si los vectores unitarios fueran cualquier otro tipo de cantidad algebraica,
\[ (\vec{i} + 2 \vec{j}) + (4\vec{i} - 3\vec{j}) = 5 \vec{i} - \vec{j}. \]
2. Aquí puedes expandir el paréntesis normalmente como si fueran otras cantidades algebraicas, y luego simplificarlo:
\[ \begin{align} ( 3\vec{i} - \vec{j}) - (\vec{i} - 2 \vec{j}) & = 3 \vec{i} - \vec{j} - \vec{i} + 2 \vec {j} & = 2 \vec {i} + \vec{j} \fin \]Para los vectores columna, basta con sumar o restar los números que están en la misma posición en cada vector.
Encuentra
- \[ \in}{bmatriz} 3 \\ -1 \final{bmatriz} + inicio 2 -4 fin. \]
- \[ \begin{bmatrix} 1 \ -1 \final{bmatriz} - Inicio. 4 1 fin de matriz. \]
Solución
1. El número de la primera posición de nuestro nuevo vector será el número de la primera posición de nuestro primer vector (3) sumado al número de la primera posición de nuestro segundo vector (2), por lo que será 5. Haz lo mismo con la otra fila para obtener
\[ \in}{bmatriz} 3 \\ -1 \final{bmatriz} + inicio 2 - 4 Fin de matriz = Inicio de matriz 5 -5 fin de matriz. \]
2. Haz exactamente lo mismo que en la primera pregunta, pero esta vez restando el segundo número en lugar de sumarlo al primer número correspondiente:
\[ \iniciar{bmatriz} 1 \\N -1 \nd{bmatrix} - Inicio 4 \ 1 \ fin {matriz} = \ inicio {matriz} -3 \ -2 \final{bmatriz}. \]
Propiedades del cálculo vectorial
Hay muchas propiedades importantes de los vectores dentro del cálculo, pero primero debes conocer los tres métodos de multiplicación que existen para los vectores.
Multiplicación de un vector por un escalar
Los vectorespueden multiplicarse por números reales. Los números reales se denominan "escalares", porque escalan el vector a un tamaño diferente.
Si un vector se multiplica por 3, es esencialmente lo mismo que apilar 3 de ese vector punta con punta. Si el escalar es negativo, el resultado de la multiplicación estará orientado en sentido contrario al vector original. Esto refleja la multiplicación de números reales, ya que cuando multiplicas \(x\) y \(y\) juntos, es lo mismo que sumar \(x\) a sí mismo \(y\) veces.
Los vectores pueden multiplicarse por un escalar \(a\) visualmente trazando la flecha de punta a punta consigo misma a veces.
Numéricamente, la multiplicación de un vector por un escalar se realizamultiplicando cada componente del vector por dicho escalar. Para unvector columna, esto sólo significa multiplicar cada entrada del vector por el escalar. Para un vector en forma vectorial normal, esto es igual que expandir un paréntesis en cualquier otra ecuación.
Esta forma de multiplicación nos permite determinar cuándo dos vectores son paralelos.
Un vector \(\vec{v}\) es paralelo a otro vector \(\vec{u}\) si y sólo si existe un escalar \(a\) tal que \( \vec{v} = a \vec{u}.\)
No confundas la multiplicación de un vector por un escalar con el múltiplo escalar de vectores. El múltiplo escalar de vectores es una forma de multiplicar vectores entre sí, dando como resultado un escalar. Para más información, consulta Productos escalares.
Veamos algunos ejemplos de multiplicación de un vector por un escalar.
A continuación se indican los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{u}\),
\[ \begin{align} \vec{u} & = \begin{bmatrix} 2 -1 fin |vec{v} & = 4 \vec{i} - \vec{j}. \fin \]
Encuentra
- \[ 3 \vec{u}. \]
- |frac{1}{2} \vec{v}. \]
Solución
1. Multiplica cada componente del vector columna por 3:
\[ \begin{align} 3 \vec{u} & = 3 \begin{bmatrix} 2 - -1 Fin \\ y = inicio... 6 -3 fin. \end{align} \]
2. Multiplica cada componente del vector columna por \(-\frac{1}{2}\}):
\[ inicio{align} -\frac{1}{2} \vec{v} & = -\frac{1}{2} (4\vec{i}-\vec{j}) \&= -2 \vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j} .\end{align} \]
El producto punto y el producto cruz
El producto punto y el producto escalar son dos formas distintas de multiplicar dos vectores entre sí. El producto punto da como salida un escalar, mientras que el producto cruz da como salida otro vector.
Dados dos vectores tridimensionales \( \vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k} \) y \( \vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} + b_3 \vec{k} \), se cumple lo siguiente:
El producto punto o producto escalar de un vector 2D es
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3. \cdot].
El producto cruzado o producto vectorial de un vector 3D es
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \ a_1 b_3 - a_3 b_1 \ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}. \]
Se puede considerar que el producto punto representa cuánto se "solapan" dos vectores. Esto significa que si dos vectores son paralelos y apuntan en la misma dirección, el producto punto será máximo, pero si los dos vectores son ortogonales, el producto punto será 0.
El producto escalar de dos vectores da un tercer vector que es perpendicular a ambos vectores, y es 0 cuando los vectores son perpendiculares. En 2D, el producto punto se considera el producto estándar, y el producto cruz no existe. En AP, no necesitas trabajar con vectores en más de 2 dimensiones, por lo que sólo es necesario el producto punto.
Veamos un ejemplo para hallar el producto punto
Dados los siguientes vectores
\[ \vec{a} = \begin{bmatrix} 4 - 2 - 3 - fin - matriz, - espacio de 1 cm. \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \nd{bmatrix}, \]
encuentra \( \vec{a} \cdot \vec{b}. \)
SoluciónMultiplica los pares de componentes y súmalos.
\[ \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} & = 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 3 \cdot (-1) \cdot & = 4 + 0 -3 \cdot & = 1 . \fin{align} \]
Propiedades de la suma y multiplicación de vectores
Al igual que existen propiedades de la aritmética regular, como la asociatividad, la distributividad y otras, las mismas existen para la aritmética vectorial. Para cualesquiera vectores \(\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}) y escalares \( a, b\) se cumplen las siguientes propiedades:
Conmutatividad: \[ \vec{p} + \vec{q} = \vec{q} + \vec{p} .\]
Asociatividad de la suma: \[ (\vec{p} + \vec{q}) + \vec{r} = \vec{p} + (\vec{p} \vec{r}). \]
Distributividad de los vectores: \[ a (\vec{p} + \vec{q}) = a \vec{p} + a \vec{q} .\]
Distributividad de escalares: \[ (a + b) \vec{p} = a \vec{p} + b \vec{p}. \]
Asociatividad de escalares: \a (b \vec{p}) = (ab) \vec{p}. \]
Conmutatividad del producto punto: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}. \]
Distributividad del producto punto sobre la suma: \[\vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}. \]
Anticomutatividad del producto cruzado: \[ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}. \]
Distributividad del producto cruzado sobre la suma: \[ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \veces \vec{c}. \]
Triple producto escalar: \[\vec{a} \vec{a} \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) &= \vec{b} \(Veces Vec.a) &= Vec.c. \cdot (\vec{a} \times \vec{b}). \fin].
Fórmulas importantes sobre vectores
Hay muchas fórmulas importantes sobre vectores dentro de las matemáticas. Aquí verás las fórmulas más esenciales.
Regla de la cabeza menos la cola
Una ecuación importante en Matemáticas vectoriales es la regla de la cabeza menos la cola. Se trata de una regla para calcular el vector entre dos puntos, si tienes vectores que van de otro punto a cada uno de esos dos puntos.
El vector entre dos puntos puede hallarse mediante la regla de la cabeza menos la cola.
Dados los vectores \(\vec{OA}, \vec{OB},\) el vector \(\vec{AB}\) es:\[ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} .\]
Si el punto \(O\) es el origen, esto se simplifica a:
\[ \vec{AB} = \vec{B} = \vec{A}, \]
donde \(\vec{A}, \vec{B}) son los vectores de posición de los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente.
Magnitud de un vector
Como se indica en la definición de vector, un vector tiene dirección y magnitud. La magnitud es la longitud del vector, y puede calcularse mediante el Teorema de Pitágoras.
La magnitud de un vector es su longitud. Para el vector
\[ \vec{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = x \vec{i} + y \vec{j}, \}
la magnitud de \( \vec{v} \) es
\[ | |vec{v} | = \sqrt{ x^2 + y^2 }. \]
La magnitud de un vector también puede denominarsenorma euclidiana (a menudo sólonorma ) omódulo del vector.
La magnitud del vector representa la distancia que recorrerías si caminaras directamente a lo largo de la línea. Esta distancia suele conocerse coloquialmente como "a vuelo de pájaro". Al tratarse de una distancia, la magnitud de un vector siempre es positiva, suponiendo que todos sus componentes sean números reales.
La magnitud, o norma euclidiana, no es la única forma de calcular la longitud de un vector, pero es la más habitual. En algunos casos, tiene más sentido utilizar otra forma de definir la longitud.
Por ejemplo, si quieres coger el tren Eurostar de Londres a Ámsterdam, primero debes ir de Londres a Bruselas, y luego de Bruselas a Ámsterdam. Se trata de una distancia mucho mayor que la distancia euclidiana de Londres a Ámsterdam, por lo que hay que utilizar una norma diferente al calcular las distancias de viaje en tren.
La notación de la magnitud de un vector se parece al valor absoluto de un número real o complejo, y no es casualidad. Igual que la magnitud representa aquí la distancia "a vuelo de pájaro" del vector, el valor absoluto o módulo de un número real o complejo es lo lejos que está ese número del origen.
Veamos algunos ejemplos de cálculo de la magnitud de un vector.
Calcula la magnitud de los vectores siguientes:
- \[ \vec{u} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} \]
- \vec{v} = inicio{bmatriz} 2 - 4 fin{bmatriz}.
Solución
1. Tienes que tomar la suma de los cuadrados de los coeficientes de los vectores unitarios, y luego hacer la raíz cuadrada de esta respuesta. Esto será
\[ \begin{align} | \vec{u} | & = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \\ & = \sqrt{9 + 16} \\ y = cuadrado 25 \\ & = 5. \fin \]
2. Esta vez, los componentes serán los valores del vector columna. La magnitud de \( \vec{v} \) será
\[ \inicio{alineación} | \vec{v} | & = \sqrt{ 2^2 + (-4)^2} \\ y = el cuadrado de 4 + 16 \\ y = cuadrado 20. \fin \]
El ángulo de dirección de un vector
En dos dimensiones, un vector puede determinarse utilizando sólo la magnitud y el ángulo del vector respecto al eje positivo \(x\)-.
El ángulo de un vector se mide siempre entre éste y el eje x positivo.
La fórmula del ángulo \(\theta\) entre un vector \(\vec{u} = x\vec{i} + y \vec{j}) y el eje \(x\)-positivo es:
\[\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}. \}
El ángulo debe estar entre \(0^\circ\) y \(360^\circ,\), así que puede que tengas que sumar tu respuesta a \(360^\circ\) si tu calculadora te da una respuesta negativa.
Veamos un ejemplo de cálculo del ángulo de dirección de un vector.
Halla el ángulo de dirección de \(6 \vec{i} - 7 \vec{j}. \)
Solución
Utilizando la fórmula, con \(6\) en lugar de \(x\) y \(-7\) en lugar de \(y\) obtiene:
\[ \theta = \tan^{-1}{\frac{-7}{6}} = -49,40^\circ \}].
con 2 decimales. Este ángulo no está entre \(0^\circ\) y \(360^\circ,\), así que debes sumarle \(360^\circ\):
\[ \theta = -49,40^\circ + 360^\circ = 310,80^\circ\]
con 2 decimales. Éste es el tamaño del ángulo de dirección.
Vectores normales
Un tipo importante de vector en matemáticas es el vector unitario. Ya has conocido algunos vectores unitarios en este artículo, losvectores unitarios estándar , \( \vec{i}\) y \( \vec{j}.\).
Unvector unitario es un vector con una magnitud igual a \(1\).
El vector normalizado de un vector \( \vec{v} \) es el vector unitario que apunta en la misma dirección que el vector \( \vec{v}. \) Se denota por \( \hat{v} \), y suele denominarse "sombrero v". \( \hat{v} \) puede calcularse mediante:
\[ \hat{v} = \frac{1}{|||||||} \vec{v}. \]
La versión normalizada de un vector es el vector paralelo al vector original, pero con magnitud \(1\).
Veamos cómo normalizar algunos vectores.
Normaliza los vectores siguientes:
- \[\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} \]
- \[\vec{u} = 5 \vec{i} -2 \vec{j}. \]
Solución
1. Primero, calcula la magnitud del vector:
\[ \begin{align} | \vec{v} | & = \left| \begin{bmatrix} 3 -4 fin \derecha: \ ~ & = \sqrt {3^2 + (-4)^2 } \\ y = el cuadrado de 9 + 16 + 4 \\ y = cuadrado 25 = 5. \fin \]
Ahora, multiplica el vector por \frac{1}{||vec{v}|} \frac{1} para obtener \frac{1}{\frac{1}{|||vec{v}|} \frac{1}{\frac{1}{||vec{v}|}). Recuerda que para multiplicar un vector por un escalar, debes multiplicar cada una de las entradas del vector por el escalar. Esto te da
\[ \nv \hat{v} & = \frac{1}{\vec{v}|} \vec{v} & = \frac{1}{5} \Inicio 3 -4 fin \\ y = inicio {matriz} \frac{3}{5} \\ 4 - 5 \\ 1/5 \fin \end{align}\]
Éste es el vector normalizado final.
2. De nuevo, el primer paso es calcular la magnitud del vector:
\[ \begin{align} | \vec{v} | & = | 5 \vec{i} -2 \vec{j}| | & = \sqrt{5^2 + (-2)^2} \\ y = el cuadrado de 25 + 4 \\ y = cuadrado 29. \fin \]Ahora, multiplica \(\vec{u} \) por \( \frac{1}{| \vec{u} |} \). Como está en forma de vector unitario, es como expandir los paréntesis:
\[ \begin{align} \y = \frac{1}{\vec{u}|} \vec{u} & = \frac{1}{cuadrado{29}} (5 \vec{i} -2 \vec{j}) & = \frac{5} {{sqrt{29}} \vec{i} -\frac{2}{cuadrado29}}. \vec{j}. \fin \]
Este es el vector normalizado.
Fórmulas del producto cruz y punto
Tanto el producto cruz como el producto punto tienen fórmulas que te permiten calcular el ángulo \(\theta\) entre dos vectores.
El ángulo entre dos vectores.
Dados dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b},\) estas fórmulas son:
\[ \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= | | |vec{a} | | | |vec{b} | |cos{\\\theta} | | \vec{a} \times \vec{b} | &= |\\vec{a} | | |vec{b} | |sin{\theta}. \fin \]
Movimiento de proyectiles mediante cálculo vectorial
Las funciones vectoriales son tipos de funciones que toman un escalar (t) como entrada y dan como salida un vector. En física, es habitual definir la posición como una función vectorial \(\vec{s}(t),\) en la que la entrada \(t\) es el tiempo y la salida es el vector de posición en el tiempo \(t.\) Esto resulta útil para definir el modo en que se mueven los proyectiles en el espacio 2D o 3D.
La velocidad de la partícula puede calcularse diferenciando la función de posición dada \( \vec{s}(t), \) y la aceleración será la segunda derivada de la función de posición, y por tanto la derivada de la función de velocidad. Para más información, consulta Funciones con valores vectoriales y Movimiento con valores vectoriales: posición, velocidad, aceleración.
Aplicaciones del cálculo vectorial en la vida real
Muchas áreas de la Física requieren un buen conocimiento del cálculo vectorial, como la mecánica, la física cuántica y la relatividad general. Más allá de la Física, el cálculo vectorial también es una parte esencial de la programación informática moderna, incluidos los gráficos y el aprendizaje automático. De hecho, el descenso de gradiente, una parte increíblemente importante del aprendizaje automático, es el método de cálculo del descenso más pronunciado para encontrar el mínimo local de una función. Dentro del aprendizaje automático, esto es esencial, ya que permite minimizar las funciones de pérdida o error dentro del algoritmo. Para más aplicaciones, consulta Movimiento vectorial - posición, velocidad, aceleración.
Los vectores en el Cálculo - Puntos clave
- Un vector es un objeto matemático que tiene dirección y magnitud, y puede representar puntos (conocidos como vectores deposición ) o movimientos (conocidos comovectores de dirección ).
- Los vectores pueden escribirse en forma de vector columna: \( \ inicio{bmatriz} x \ fin{bmatriz}, \) o en forma de componente: \( x \vec{i} + y \vec{j}. \) Estas definiciones son equivalentes.
- Los vectores se pueden sumar o restar sumando o restando los componentes individuales. En forma de vector columna, basta con sumar cada fila. En forma de vector unitario, junta los términos semejantes.
- Los vectores se pueden multiplicar por escalares. El resultado de multiplicar por el escalar \(a\) es un vector paralelo al vector original, pero \(a\) veces más largo y orientado en sentido contrario si \(a\) es negativo.
- La magnitud de un vector es la longitud del vector. si el vector es \( \vec{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \), entonces la magnitud del vector es: \[ | | vec{v} | = \sqrt{ x^2 + y^2}. \]
- Unvector unitario es un vector con magnitud 1. Elvector normalizado del vector \( \vec{v}\) es el vector unitario que apunta en la misma dirección que \( \vec{v}. \) Elvector normalizado de \( \vec{v}\) es: \[ \hat{v} = \frac{1}{||||||} \vec{v}. \]
- Elproducto punto oproducto escalar de es
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = | | \vec{a} | | | |vec{b} | |cos{\\theta} . \]
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