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Este caso es un ejemplo de asignación de probabilidades. En este artículo veremos cómo se asignan las probabilidades de un suceso.
Probabilidad en un espacio muestral finito
Los espacios muestrales pueden ser infinitos —si los posibles sucesos de un experimento son infinitos— o pueden ser finitos —cuando los sucesos posibles del experimento son un número finito de posibilidades—.
Si aún no sabes o no recuerdas lo que es un espacio muestral y un suceso, pásate por nuestro artículo sobre el experimento aleatorio y ahí te explicamos estos conceptos.
Por tanto, cuando tenemos un espacio muestral finito —cuando los posibles resultados de un experimento son un número concreto y finito—, puede definirse una función de probabilidad, si asignamos un valor a cada uno de los posibles resultados.
Dado el espacio muestral finito \(E=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) para cada \(i=1,2,...,n\) podemos definir una probabilidad \(P(w_j)=p_j\) que cumple:
- \(p_j \geq 0\) para todo \(j\).
- \(\displaystyle\sum_{j=0}^n p_j=1\), es decir, la suma de todas las probabilidades es \(1\).
Por tanto, para calcular la probabilidad de un suceso, habrá que sumar la probabilidad de cada resultado que pertenezca al suceso.
Tenemos un octaedro trucado de modo que se sabe que las probabilidades son:
\[P(2)=P(4)=P(6)=0{,}2\]
\[P(1)=P(3)=P(5)=0{,}06\]
\[P(7)=P(8)=0{,}11\]
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? y ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor de 5?
Solución:
La probabilidad de obtener un número par será la suma de las probabilidades de obtener cada uno de los números pares del 1 al 8:
\[P(\text{par})=P(2)+P(4)+P(6)+P(8)=0{,}2+0{,}2+0{,}2+0{,}11=0{,}71\]
La probabilidad de obtener un número menor de 5 es la suma de las probabilidades de obtener un 1 hasta obtener un 4:
\[P(<5)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=0{,}06+0{,}2+0{,}06+0{,}2=0{,}52\]
Probabilidad en un espacio muestral equiprobable
Ahora, vamos a definir un espacio muestral finito equiprobable:
Se dice que el espacio muestral \(E=\{w_1,w_2,...,w_n\}\) es equiprobable si todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad.
Como la suma de todas las probabilidades debe dar 1, entonces:
\[P(w_j)=p_j=\dfrac{1}{n}\]
Siendo \(j=1,2,...,n\).
De esta manera, todos los resultados tienen la misma probabilidad.
Un ejemplo de un espacio equiprobable son las probabilidades de cada resultado de un dado, donde cada una tiene la probabilidad de \(\frac{1}{6}\).
Regla de Laplace
La regla de Laplace se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso dado siempre que el espacio muestral sea finito y equiprobable. Es decir, si un espacio muestral no es equiprobable, no se puede aplicar la regla de Laplace.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés, profesor de la Escuela Militar y también miembro de la Academia de Ciencias de París.
En matemáticas, desarrolló la ecuación de Laplace y la transformada de Laplace; como estadístico, sentó las bases de la teoría analítica de la probabilidad.
Regla de Laplace fórmula
En un espacio muestral finito y equiprobable \(E\), la probabilidad de un suceso \(A\) que contiene \(m\) de los \(n\) resultados posibles es:
\[P(A)=\dfrac{\text{nº de resultados contenidos en el suceso A}}{\text{nº de resultados posibles en total}}=\dfrac{m}{n}\]
Esta es la fórmula de la regla de Laplace, en la que se relaciona la probabilidad de un suceso con el número de resultados dentro del suceso y el número total de resultados posibles.
Ejemplos de la regla de Laplace
Vamos a resolver un par de ejemplos en los que se utiliza la regla de Laplace para calcular probabilidades de sucesos.
Se tiene una bolsa con 6 pelotas numeradas del 1 al 6; las tres primeras son blancas y las tres últimas son negras. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Suceso \(A\): sacar una bola que sea un número primo.
b) Suceso \(B\): sacar una bola negra.
c) Suceso \(A\cap B\).
Solución:
Como podemos ver, el espacio muestral de este experimento es equiprobable, porque la probabilidad de cada uno de los resultados es la misma para todos.
Apliquemos la regla de Laplace para calcular las probabilidades de los sucesos:
a) Los números primos comprendidos entre el 1 y el 6 son el 1, 2, 3 y 5:
\[P(A)=\dfrac{\text{nº de bolas que son números primos}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\]
b) El número de bolas negras sabemos que es 3:
\[P(B)=\dfrac{\text{nº de bolas negras}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\]
c) El número de bolas negras que son un número primo es solo la bola que tiene el 5:
\[P(A\cap B)=\dfrac{\text{nº de bolas negras que son un número primo}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{1}{6}\]
Se tiene una baraja de póker de la que se sacan cartas al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Suceso \(A\): sacar una carta de un número.
b) Suceso \(B\): sacar una carta de picas.
c) Suceso \(A\cap B\).
Solución:
En primer lugar, debemos saber que en una baraja de póker hay 52 cartas.
Para obtener las probabilidades de cada suceso, seguimos la regla de Laplace:
a) Tenemos que contar cuántas cartas de números hay en la baraja:
\[P(A)=\dfrac{\text{nº de cartas de números}}{\text{nº total de cartas}}=\dfrac{40}{52}=\dfrac{10}{13}\]
b) Para el suceso \(B\) tenemos que contar cuántas cartas de picas hay en la baraja:
\[P(B)=\dfrac{\text{nº de cartas de picas}}{\text{nº total de cartas}}=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\]
c) Luego, tenemos que contar las cartas de picas que son números:
\[P(A\cap B)=\dfrac{\text{nº de cartas de picas que son números}}{\text{nº total de cartas}}=\dfrac{10}{52}=\dfrac{5}{26}\]
Asignación de probabilidades - Puntos clave
- Los espacios muestrales pueden ser infinitos, si los posibles sucesos de un experimento son infinitos.
- Los espacios muestrales también pueden ser finitos, cuando los sucesos posibles del experimento son un número finito de posibilidades.
- Dado el espacio muestral finito \(E=\{w_1,w_2,...,w_n\}\), para cada \(i=1,2,...,n\) podemos definir una probabilidad \(P(w_j)=p_j\) que cumple:
- \(p_j \geq 0\) para todo \(j\).
- \(\displaystyle\sum_{j=0}^n p_j=1\), es decir, la suma de todas las probabilidades es \(1\).
- Se dice que un espacio muestral es equiprobable si todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad. La probabilidad de cada posible resultado es:
\[P(w_j)=p_j=\dfrac{1}{n}\]
- En un espacio muestral finito y equiprobable \(E\), la probabilidad de un suceso \(A\) que contiene \(m\) de los \(n\) resultados posibles:
\[P(A)=\dfrac{\text{nº de resultados contenidos en el suceso A}}{\text{nº de resultados posibles en total}}=\dfrac{m}{n}\]
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Preguntas frecuentes sobre Asignación de probabilidades
¿Qué es la asignación de probabilidades?
La asignación de probabilidades es el proceso por el que a cada resultado posible de un experimento se le da una probabilidad. Normalmente, la probabilidad asociada coincide con la frecuencia relativa de ese resultado.
¿Cómo sacar la probabilidad de un espacio muestral?
Las probabilidades de un resultado se asignan después de repetir el experimento un número grande de veces (cuantas más mejor) y dividiendo las veces que se ha obtenido el resultado entre el número de veces que se ha realizado el experimento. Esta es la frecuencia relativa del resultado.
Pero si el experimento se realiza un número suficientemente grande de veces, este valor de la frecuencia se aproxima cada vez más a la probabilidad del resultado.
¿Qué dice la regla de Laplace?
La regla de Laplace relaciona la probabilidad de un suceso con el número de resultados dentro del suceso y el número total de resultados posibles.
¿Cuál es la fórmula de la regla de Laplace?
En un espacio muestral finito y equiprobable E, la probabilidad de un suceso A que contiene m de los n resultados posibles es:
P(A)=nº de resultados contenidos en el suceso A/nº de resultados posibles en total=m/n
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