Distribución Normal Estandar

Los histogramas y su utilidad

Supongamos, ahora, que usas una gráfica de barras (es decir, un histograma) en la que la altura de la barra corresponde a cuántas personas están en ese grupo. En ese caso, tendrías lo siguiente: donde \(V\) es el número de personas en cierto grupo de cada barra \(N\), \( N\) crece de izquierda a derecha, siendo la gente con menor altura el grupo de la barra \(1\) y la barra con símbolo \(13\) muestra la gente con mayor altura:

Fig 1. Distribución normal de un conjunto de datos: se puede observar una forma de campana, aunque no sea bien definida.

¿Ves la forma que siguen las barras? Esta forma es conocida como distribución normal.

Distribución normal de probabilidad

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua, que puede presentarse en un gráfico donde el eje de la \(y\) representa el número de eventos y \(x\) representa el valor de los eventos.

Fig. 2. La distribución normal sigue una forma de campana invertida, su media que es m divide los datos a la mitad, la desviación estándar σ nos sirve para obtener cuántos datos existen entre la media de la población y cierto valor de la desviación.

En el caso de la distribución normal estándar, esta es una variante de la distribución normal que depende de la media y la desviación típica. La distribución comparte las mismas características que una distribución normal, como su simetría y su forma característica, pero requiere dos condiciones:

1. La media es \(0\).
2. La desviación típica o estándar es igual a \(1\).

La desviación estándar

Para poder hablar de los intervalos de confianza, primero debemos hablar de la desviación estándar y la media.

La media de una población es el valor medio.

Veamos un ejemplo:

De la misma manera, si tienes una muestra más grande —digamos \(100\) personas—, tu media cambiaría. Pero, hay un valor que te puede decir la estatura por debajo de la media y por encima de la media, situación de alrededor de dos tercios de su población. Es decir, alrededor de \(66\) personas de las \(100\) están por encima de este mínimo y por debajo de este máximo.

Esto lo puedes ver en la imagen siguiente:

Fig. 3. Intervalos dentro de la desviación estándar.

Este valor es la desviación estándar y se usa como una medida de confianza: es decir, tu confías en que el \(66%\) de tus datos viva entre este valor mínimo y máximo alrededor de la media.

Intervalos de confianza

El intervalo de confianza es parecido a la desviación estándar; es un intervalo que nos dice la cantidad de datos que vive alrededor de la media. Para calcularlo se usa esta fórmula:

\[IC=m+z \dfrac{\sigma}{\sqrt{2}}\]

Aquí \(n\) es el tamaño de la muestra o la población. Por ejemplo, de las \(100\) personas a las cuales se les mide su estatura, este valor sería \(100\). Por su parte, el valor \(z\) es el intervalo de confianza que deseas; por ejemplo, si quieres un \(70%\).

Hay otro valor importante conocido como la varianza; esta es, simplemente, el cuadrado de la desviación estándar. Este valor es —al igual que la desviación estándar— una medida de dispersión; o, es decir, una medida que nos dice cómo se distribuyen los datos alrededor de la media. También existe el intervalo de confianza para la varianza: este es el intervalo para el cual estamos seguros —usando la varianza— de que cierto porcentaje de la población vive alrededor de la media.

Distribución normal tipificada

Otro nombre para la distribución normal estándar es distribución normal tipificada. Una gran ventaja de esto es que está estandarizada y existe una tabla que nos indica los valores que la probabilidad acumulada tiene en cada punto de la curva para los valores positivos de la curva. Esto hace más fácil cualquier cálculo, ya que solo debes leer la tabla.

Tabla 1. La tabla de la distribución normal tipificada.

Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9, aquí la hemos acortado porque sería demasiado larga para mostrar.

La tabla se sigue de modo que la probabilidad acumulada, que es al área bajo la curva, debe de leerse de las líneas a columnas. Si queremos obtener la probabilidad acumulada para los valores entre \(x=0\) y \(x=0.1\), debemos ir a la columna de la extrema izquierda, que tiene el valor de \(0.1\); debido a que no tenemos decimales, tenemos ahora que leer la columna superior que tiene el valor de \(0.0\).

Esto lo podemos ver en detalle en la tabla inferior:

Tabla 2. La tabla de la distribución normal tipificada.

Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9, aquí encontramos que el valor requerido está en la columna 0,01 y renglones 0,00 y 0,10.

El resultado es, entonces:

Si quisiéramos medir la probabilidad acumulada en, tendríamos que leer los valores de:

Tabla 3. La tabla de la distribución normal tipificada. Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9,

aquí encontramos que el valor requerido está en la columna 0,01 y renglón 0.10.

El resultado es, entonces:

Cómo convertir una distribución normal a normal estándar

Como existe una tabla para poder calcular la probabilidad bajo la curva fácilmente, muchas veces es mejor convertir una distribución normal a una normal estándar. Para ello se hace algo llamado tipificar la variable. Para tipificar la variable se debe usar la siguiente fórmula:

\[z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}\]

Esta fórmula transforma la variable anterior \(x\) a \(z\) y, con esto, puedes calcular la probabilidad más fácilmente.

Ejercicios para convertir distribución normal a normal estándar

Veamos un ejemplo para usar conversiones entre una distribución normal a una tipificada.