Distribuciones bidimensionales

Estadística descriptiva bidimensional

Al igual que la estadística descriptiva para una simple variable aleatoria, en las distribuciones de datos donde hay más de una variable asociada a un resultado, existen ciertos puntos que debes reconocer:

• La variable estadística multidimensional o bidimensional —en este caso, \(x=(X, Y)\)—.

• Diagrama de dispersión, que en este caso es una gráfica que representa los puntos de las variables \((X,Y)\).

• La covarianza muestral, que mide la dispersión conjunta de las variables \((X,Y)\).

• El centro de gravedad, que son las medias de ambas variables \(X\) y \(Y\) en los rangos en los que existen.

Variable estadística bidimensional

En distribuciones que presentan más de una variable asociada a un resultado, se dice que se tiene una variable estadística multidimensional. En el caso que sean dos se tiene una variable estadística bidimensional.

Tabla de contingencia

Para poder representar los resultados de una variable bidimensional o multidimensional se usan tablas de contingencia.

• En la primera columna de esta tabla se establecen las categorías o resultados que puede obtener la variable \(Y\). La primera fila, entonces, muestra las categorías o resultados que puede obtener las variables \(X\).

• Cada celda representa la población que une los valores o categorías conjuntas de \((X=a_i,Y=b_i)\).

• La columna y fila finales contienen las frecuencias relativas absolutas o el número de valores totales para cierto valor de \(X\) o \(Y\).

Esto lo podemos ver en la siguiente tabla:

Si quieres saber más acerca de qué son y cómo se calculan estas frecuencias relativas, no olvides leer nuestro artículo sobre tablas de contingencia.

Diagrama de dispersión

Una vez tenemos la tabla de contingencia, podemos representar todos estos datos en una gráfica denominada diagrama de dispersión o nube de puntos. En esta, uno de los ejes representa una de las variables \(X\) y el otro eje representa la otra variable \(Y\). La intencionalidad de esta gráfica es ver cómo se relacionan las variables. Así podemos entender si las variables tienen una dependencia directa (vemos que \(Y\) crece de manera proporcional con \(X\), o inversamente proporcional) o son independientes (no observamos ninguna relación entre las variables).

Fig. 1: Centro de gravedad \(PM\) de de una nube de puntos. En este caso, las entradas \((x,y)\) de \(PM\) son la media aritmética de las coordenadas \((x,y)\) de cada punto.

En cambio, si existe una relación fuerte entre ambas variables, se generaría un patrón consistente de los resultados. Uno de estos patrones, fácilmente, podría ser una relación lineal. En la siguiente gráfica puedes observar la relación lineal de las variables \(X\) y \(Y\).

Fig. 2: Recta que se ajusta, de mejor manera, a los datos (puntos).

Covarianza y relaciones entre variables

El valor de la covarianza es muy importante: dependiendo de su resultado, podemos saber cómo se comportan las variables:

• Si la covarianza es positiva, la relación es directa; entonces, los puntos se apilan cerca a una recta con pendiente positiva.

• Si la covarianza es negativa, la relación es inversa; entonces, los puntos se apilan cerca a una recta con pendiente negativa.

• Si la covarianza es cero, se dice que no hay relación entre ambas variables.

Recta de regresión

Cuando se tiene una relación lineal, se puede obtener la recta de regresión. Esta es la función igual a una recta de tipo \(y=mx+b\), que nos dice la relación entre ambas variables.

La fórmula para esto es:

\[y-\mu_y=\dfrac{ \sigma_{xy}}{\sigma^2_x} (x-\mu_x)\]

Aquí \( \sigma_{xy}\) es la covarianza, que se define como:

\[\sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_i y_i}{n} - \sigma_x \sigma_y\]