Distribuciones continuas de probabilidad

Distribuciones de probabilidad

La distribuciones de probabilidad son funciones usadas en estadísticas, que te pueden decir cuán probable es obtener cierto resultado en un rango específico.

La función de probabilidad es parecida a una función de cálculo y análisis $f(x)$, donde $x$ es el valor del resultado y la función $f(x)$ nos dice la probabilidad de que la variable que toma valores en un rango $[a,b]$ tome esos valores.

Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad:

• Funciones de distribución discretas: donde una variable aleatoria toma solo ciertos valores discretos.

• Funciones de distribución continuas: donde una variable aleatoria toma cualquier valor en un intervalo $[a,b]$.

Una de las funciones más conocidas es la función de densidad de la distribución normal, la cual es:

$$\frac{1}{\sqrt[2]{2\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{2}}$$

Función de distribución continua

Para calcular las probabilidades cuando tenemos una variable aleatoria continua, utilizamos lo que se llama la función de densidad. Para que una función $f(x)$ sea una función de densidad de una variable aleatoria continua sobre la recta real, debe cumplir:

• $f(x)\ge 0$, para todo $x$ en un rango $[a,b]$.

• El área bajo la curva y por encima del eje de abscisas es igual a $1$.

• El rango $[a,b]$ delimita los valores que la variable puede tomar.

Debido a esto, la probabilidad de que el valor de una variable continua aleatoria $X$ esté dentro de un intervalo $[a,b]$ es el área bajo la curva dentro de este intervalo:

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Esto implica que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor concreto es nulo, puesto que, por definición:

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

Ahora, si queremos calcular la probabilidad acumulada hasta el valor $X=x$, utilizamos la función de distribución de la variable $X$:

$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(x)dx$$

Por tanto, se verifica que la función de densidad sea la derivada de la función de distribución:

$$f(x)=F^{\prime }(x)$$

Calcula la función de distribución de la siguiente función de densidad:

$$f(x)=\{\begin{array}{rl}& 0x\in (-\mathrm{\infty },0)\\ & {\displaystyle \frac{x}{2}}x\in [0,2]\\ & 0x\in (2,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

Solución:

Para calcular la función de distribución, debes integrar la función de densidad, tal como se mencionó anteriormente. Como nuestra función de densidad empieza a tomar valores a partir del $0$, este será el límite inferior de nuestro intervalo de integración (entre $-\mathrm{\infty }$ y $0$ la función es nula):

$$F(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_0^{X}f(x)dx={\int }_0^X{\displaystyle \frac{x}{2}}dx={\displaystyle \frac{X^2}{4}}$$

Por tanto, la función de distribución será:

$$F(X)=\{\begin{array}{rl}0X& \in (-\mathrm{\infty },0)\\ {\displaystyle \frac{X^2}{4}}X& \in [0,2]\\ 0X& \in (2,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

A continuación, están representadas la función de densidad y la función de distribución.

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Fig. 1.Función de densidad

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Fig. 2: Función de distribución.

La distribución normal: ejemplo

Hablaremos un poco de la distribución normal, aunque sea brevemente.

Esta distribución es muy importante, ya que la dispersión de los datos (cuánto se alejan los datos del valor central) es regular. Al ser la dispersión regular, hay una valor que te permite saber entre cuál dato mayor y menor se encuentra el $64,2$ de los datos. Este valor se llama la desviación estándar, y su símbolo es $\sigma$.

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Fig. 3: Distribución normal y límites de la desviación estándar .

Hay dos valores importantes en las distribuciones continuas de probabilidad: la varianza y la esperanza.

Esperanza matemática

La probabilidad de que un número suceda en un experimento aleatorio no es independiente del resultado esperado. Como ya mencionamos, los valores cercanos al valor verdadero o esperado tendrán más probabilidad de salir.

Esperanza matemática: fórmula

Como hemos dicho, podemos definir la esperanza matemática como:

$$\mu =E[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx$$

Varianza

Otro valor importante que mide la dispersión de los datos es la varianza. La varianza es, simplemente, el cuadrado de la desviación estándar.

El cálculo es similar al de la función discreta:

$$\text{var}(X)={\sigma }^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(x-\mu {)}^{2}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx-{\mu }^2$$

Al igual que la desviación estándar es una medida de dispersión, ambas miden cuánto se desvían los datos del valor esperado.