Intervalos de confianza

Intervalos de confianza: fórmulas

Supongamos que tienes muchas piezas producidas por una máquina, y las piezas deben medir lo mismo \(l=0{,}25\, \mathrm{cm}\). Sin embargo, las piezas presentan desviaciones en sus medidas: algunas son más grandes\(l=0,26\,\mathrm{cm}\) y otras son más pequeñas \(l=0{,}22\,\mathrm{cm}\). Muchas otras piezas tienen valores muy cercanos a la media y las desviaciones son menores, conforme te alejas de la media.

En este caso, si tienes muchas piezas, esta distribución se acerca a la distribución normal: la media debe ser el valor más repetido y (como mencionamos en Propiedades de la función de densidad) sigue la forma de una campana. Aquí, el máximo es la medida más común; y la cola y cabeza —que tienden hacia cero— son las piezas con medidas más grande y más pequeña.

Fig. 1. Imagen de la forma de campana de una distribución normal.

En este caso, que una pieza tenga una medida menor que la media se representa con probabilidades menores que el máximo (que es la media): \(m_4<m_3<m_2<m_1<m_0\).

Fig. 2: Probabilidades decrecientes de que la medida de una pieza sea diferente de la media \(m_0\).

Pero, también podemos necesitar —no la probabilidad de una medida específica— sino la probabilidad de que esta medida caiga entre dos valores. Veámoslo en la siguiente imagen:

Fig. 3. También se puede calcular la probabilidad de que una variable pueda obtener valores entre dos puntos distintos como una integral entre esos dos puntos \(P(x)=\int^{b}_{a}f(x)dx\).

Esto se conoce como un intervalo de confianza. La definición específica sería:

Para poder obtener estos intervalos de confianza, se requiere calcular un límite superior y un límite inferior; estos límites se encuentran alrededor de la media y su fórmula es:

\[x_s=\mu+z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

\[x_i=\mu-z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Podemos extraer los valores de \(z\) de la siguiente tabla para nuestros siguientes ejemplos:

Tabla 1: Valores de \(z\) para diversos intervalos de confianza.

Nivel de confianza

Una de las razones por las cuales son importantes los intervalos de confianza es que estos nos dicen cuán representativos son los valores que vemos en la muestra; un concepto relacionado, muy importante, el nivel de confianza.

Veamos estos casos:

• Se tiene una población \(A\), de donde se mide el peso \(a\). De esta, se extraen datos como el peso medio, la moda, la mediana y su desviación estándar. Pero, esta tiene un nivel de confianza bajo.

  • Se tiene una población \(B\), de donde se mide también el peso \(a\), se extraen nuevamente datos como la media, la moda, la mediana y su desviación estándar. Pero, esta tiene un nivel de confianza muy alto.

  • Se hace un estudio de toda la población \(C\) —que contiene a \(A\) y \(B\)— y se extrae la verdadera media, moda, mediana y desviación estándar.

Debido a que el nivel de confianza es bajo en los datos extraídos de la muestra \(A\), es muy poco probable que datos como la media, mediana, moda y desviaciones estándar sean los mismos, o cercanos, a los reales de \(C\). En cambio, es extremadamente probable que los datos extraídos de la muestra \(B\) —como la media, mediana, moda y desviación estándar— sean iguales o cercanos a los reales de \(C\).

En resumen, cuanto más alto sea el nivel de confianza, más seguros estamos que los datos son cercanos a los reales y que no habría que repetir la muestra.

Muestreo y los intervalos de confianza

Una parte importante de hacer una buena estimación de los parámetros estadísticos de una población es el muestreo.

Te hemos hablado de los intervalos de confianza y los niveles de confianza; pero, como ya te mencionamos, todo esto depende de elegir la muestra correcta.

Supongamos lo siguiente:

• Se tiene un barrio donde existen casas, escuelas, supermercados, etc. En este barrio se desea medir la edad media de las personas que viven ahí, y se hacen dos estudios.

  • En el estudio uno, se hacen preguntas a las personas y se anotan sus edades. El estudio comprende dos zonas con casas, cuatro alrededor de las escuelas y uno en un supermercado.

  • En el segundo estudio, se hacen las mismas preguntas y se anotan sus edades, pero se hace un estudio preguntando en casas, ninguno en escuelas y cinco en el supermercado.

En ambos estudios los resultados podrían ser muy distintos, solo por la manera en que fueron elegidos los puntos de las encuestas:

• En el estudio uno, es muy probable que las edades sean más jóvenes, debido a que se hacen más estudios en las escuelas, que estas estarán llenas de jóvenes.
• En el estudio dos, es muy probable que la población tenga datos de edades mayores, ya que es más posible encontrar adultos en los supermercados, a excepción que acudan con niños o jóvenes.

Esto significa que ambos estudios tendrán valores distintos de media, moda, mediana y desviación estándar, solo por como fueron elegidas las muestras.

Intervalos de confianza para medias

Uno de los parámetros más importantes que se puede trabajar usando los intervalos de confianza es la media de una población, o \(\mu\). En este caso, lo que se requiere es que la media de la muestra sea lo suficientemente cercana a la media de la población general.

Como ya te hemos mencionado, el parámetro se ve afectado por:

• La manera en que se hizo el muestreo (cómo se escogieron los objetos a medir).

• Cómo de grande es la población.

Por eso, en la mayoría de los casos se recomienda que:

• Las mediciones se hagan a la población al azar; es decir, que no haya ningún patrón que sigamos y se escojan miembros de toda la población.

• La muestra sea lo más grande posible.

Desarrollemos un poco la idea con un ejemplo, para clarificar los conceptos:

Intervalos de confianza: ejemplos

Hagamos un par de ejemplos para que calcules los intervalos de confianza: