Esto es lo que son los acontecimientos independientes. El negocio es un acontecimiento y Covid-19 es otro y no se influyen mutuamente.
En este artículo, veremos la definición de sucesos independientes, fórmulas relacionadas con los sucesos independientes y ejemplos de su aplicación. También veremos cómo podemos representar visualmente este tipo de sucesos en forma de lo que se conoce como diagramas de Venn.
Definición de sucesos independientes
Un suceso independiente es cuando la ocurrencia de un suceso no influye en la probabilidad de que ocurra otro suceso.
Puedes tener dos sucesos independientes que no tengan nada que ver entre sí. Que uno ocurra o no, no afectará al comportamiento del otro. Por eso se llaman sucesos independientes.
Cuando lanzas una moneda obtienes cara o cruz. Quizá hayas lanzado la moneda tres veces y esas tres veces haya salido cara. Podrías pensar que existe la posibilidad de que caiga cruz cuando la lances la cuarta vez, pero no es cierto.
El hecho de que haya salido cara no significa que la próxima vez tengas suerte y salga cruz. Obtener cara y obtener cruz al lanzar una moneda son dos sucesos independientes.
Supón que vas a comprar un coche y que tu hermana espera entrar en una universidad. En ese caso, estos dos sucesos también son independientes, porque tu compra de un coche no afectará a las posibilidades de tu hermana de entrar en la universidad.
Otros ejemplos de sucesos independientes son:
Ganar la lotería y conseguir un nuevo trabajo;
Ir a la universidad y casarse;
Ganar una carrera y obtener un título de ingeniero.
Hay ocasiones en las que puede resultar difícil saber si dos sucesos son independientes entre sí. Debes tener en cuenta lo siguiente cuando intentes saber si dos (o más) sucesos son independientes o no:
Los acontecimientos deben poder producirse en cualquier orden;
Un suceso no debe tener ningún efecto sobre el resultado del otro suceso.
Fórmula de la probabilidad de sucesos independientes
Para hallar la probabilidad de que ocurra un suceso, la fórmula que hay que utilizar es
\text[\text{Probabilidad de que ocurra un suceso} = \frac{text{Número de formas en que puede ocurrir el suceso}} {{text{Número de resultados posibles}}].Aquí estamos hablando de probabilidades de sucesos independientes y puede que quieras hallar la probabilidad de que dos sucesos independientes ocurran al mismo tiempo. Ésta es la probabilidad de su intersección. Para ello, debes multiplicar la probabilidad de que ocurra un suceso por la probabilidad del otro. La fórmula que debes utilizar para ello es la siguiente
\[P(A \space y \space B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\].donde P es la probabilidad
\(P (A \cap B)\) es la probabilidad de la intersección de A y B
P(A) es la probabilidad de A P(B) es la probabilidad de B
Considera los sucesos independientes A y B. P(A) es 0,7 y P(B) es 0,5, entonces
\(P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\)
Esta fórmula también se puede utilizar para averiguar si dos sucesos son realmente independientes entre sí. Si la probabilidad de la intersección es igual al producto de la probabilidad de los sucesos individuales, entonces son sucesos independientes, de lo contrario no lo son.
Más adelante veremos más ejemplos.
Sucesos independientes representados en diagramas de Venn
Un diagrama de Venn sirve para visualizar. Recuerda la fórmula para hallar la probabilidad de que dos sucesos independientes ocurran al mismo tiempo.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]La intersección de A y B puede representarse en un diagrama de Venn. Veamos cómo.
El diagrama de Venn anterior muestra dos círculos que representan dos sucesos independientes A y B que se intersecan. S representa todo el espacio, conocido como espacio muestral. El diagrama de Venn ofrece una buena representación de los sucesos y puede ayudarte a comprender mejor las fórmulas y los cálculos.
El espacio muestral representa los posibles resultados del suceso.
Al dibujar un diagrama de Venn, puede que necesites hallar la probabilidad de todo el espacio. La fórmula siguiente te ayudará a hacerlo.
\[S = 1 - (P(A) + P(A \cap B) + P(B))\].
Ejemplos y cálculos de probabilidad de sucesos independientes
Pongamos en práctica las fórmulas de las que hemos hablado en los siguientes ejemplos.
Considera dos sucesos independientes A y B que implican lanzar un dado. El suceso A es lanzar un número par y el suceso B es lanzar un múltiplo de 2. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sucesos ocurran al mismo tiempo?
Solución
Tenemos dos sucesos A y B.
Suceso A - sacar un número par
Suceso B - sacar un múltiplo de 2
Ambos sucesos son independientes. Un dado tiene seis caras y los números que pueden salir son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se nos pide que hallemos la probabilidad de que ambos sucesos ocurran al mismo tiempo, que es la intersección de ambos.
La fórmula a utilizar es
\(P (A \cap B) = P (A) \cdot P(B)\)
De la fórmula se deduce que, para calcular la intersección, necesitas conocer la probabilidad de que ocurra cada suceso.
\text[\text{Probabilidad de que ocurra un suceso} = \frac{text{{Número de formas en que puede ocurrir el suceso}} {{text{Número de resultados posibles}}]
Por tanto,
\(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\})
\(P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}})
Ahora sustituiremos la fórmula
\(P (A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4})
Por tanto, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es \(\frac{1}{4}\}).
Pongamos otro ejemplo.
\(P(A) = 0,80\) y \(P(B) = 0,30\) y A y B son sucesos independientes. ¿Cuál es \(P(A \cap B)\)?
Solución
Se nos pide que encontremos \(P(A \cap B)\) cuando \(P(A) = 0,80\) y \(P(B) = 0,30\). Todo lo que tenemos que hacer es sustituir en la fórmula siguiente
\(P (A \ccap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,80 \cdot 0,30\)
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,80 \cdot 0,30\)
Por tanto, \(P(A \cap B) = 0,24\)
Al tercer ejemplo.
En una clase, al 65% de los alumnos les gustan las matemáticas. Si se eligen dos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a ambos les gusten las matemáticas y cuál es la probabilidad de que al primer alumno le gusten las matemáticas y al segundo no?
Solución
Aquí tenemos dos preguntas. La primera es hallar la probabilidad de que a ambos alumnos les gusten las matemáticas y la otra es hallar la probabilidad de que a uno le gusten las matemáticas y al otro no.
Que a un alumno le gusten las matemáticas no influye en que al segundo también le gusten. Por tanto, son sucesos independientes. La probabilidad de que a ambos les gusten las matemáticas es la probabilidad de la intersección de los sucesos.
Si llamamos A y B a los sucesos, podemos calcularlos mediante la fórmula siguiente
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{65}{100}\cdot \frac{65}{100}\)
Observa que hemos dividido por 100. Esto se debe a que estamos tratando con porcentajes.
Ahora, para hallar la probabilidad de que al primer alumno le gusten las matemáticas y al segundo no. Se trata de dos sucesos independientes y, para encontrar lo que buscamos, tenemos que hallar la intersección de ambos sucesos.
La probabilidad de que al primer alumno le gusten las matemáticas es
\(P(A) = 65\% = 0,65\)
La probabilidad de que al segundo alumno no le gusten las matemáticas es
\(P(B) = 1- 0,65 = 0,35)
Ahora obtendremos nuestra respuesta final sustituyendo la ecuación anterior.
\(P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) = 0,65 \cdot 0,35\)
Veamos un cuarto ejemplo.
C y D son sucesos en los que \(P(C) = 0,50, \espacio P(D) = 0,90\). Si \(P(C \cap D) = 0,60\), ¿son C y D sucesos independientes?
Solución
Queremos saber si los sucesos C y D son independientes. Para saberlo, utilizaremos la fórmula siguiente.
\(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\)
Nos dan
\(P(C) = 0,50 \cdot P(D) = 0,90 \cdot P(C \cap D) = 0,60\)Si sustituimos la fórmula y obtenemos que la intersección es algo distinto de lo que sugiere la pregunta, entonces los sucesos no son independientes, de lo contrario, son independientes.
Sustituyamos
\(P(C \cap D) = 0,50 \cdot 0,90 \quad P(C \cap D) = 0,45\)
Hemos obtenido 0,45 y la pregunta dice que la intersección debería ser 0,60. Esto significa que los sucesos no son independientes.
A continuación, el quinto ejemplo.
A y B son sucesos independientes en los que \(P(A) = 0,2\) y \(P(B) = 0,5\). Dibuja un diagrama de Venn que muestre las probabilidades del suceso.
Solución
El diagrama de Venn necesita que se pongan en él algunos datos. Se han dado algunos de ellos y tenemos que calcular otros.
\quad P(A) = 0,2 \quad P(B) = 0,5 \quad P(A \cap B) = ? \cuadrado P(S) = ? \(probabilidad de todo el espacio)})
Ahora busquemos la información que falta
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1\)
\(P(S) = 1 - (P(A) + P(A \cap B) + P(B)) = 1-(0,2 + 0,1 +0,5) = 1-0,8 = 0,2\)
Ahora, dibujemos el diagrama de Venn y pongamos la información.
Y la última.
A partir del diagrama de Venn siguiente, halla
- \P(P(C(cap D)|)
- \(P(C \cup D)\)
- \(P(C \cup D')\)
Solución
a. \(P(C taza D))
\(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\)
Del diagrama de Venn,
\(P(C) = 0,2 \quad P(D) = 0,6\)Así que ahora sustituiremos la fórmula
\(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) = 0,2 \cdot 0,6 = 0,12\)
b. \(P(C \cap D)\)
Aquí debemos hallar la unión de ambos sucesos. Será la suma de la probabilidad de C, D y la intersección.
\(P(C \cup D) = P(C) + P(D) +P(C \cup D) = 0,2 + 0,6 + 0,12\)c. \(P(Copa C D')= 0,2 + 0,6 + 0,12)
\(C \cup D'\) significa todo lo que hay en C que no está en D. Si observamos el diagrama de Venn, veremos que está formado por 0,2, \(C \cup D\) y 0,8.Así que tenemos
\(P(C \cap D') = P(C) + P(C \cap D) + S = 0,2 +0,12 + 0,08 = 0,4\)
Probabilidades independientes - Puntos clave
- Se habla de probabilidad de sucesos independientes cuando la ocurrencia de un suceso no influye en la probabilidad de que ocurra otro.
- La fórmula para calcular la probabilidad de que dos sucesos ocurran al mismo tiempo es:
- La fórmula para calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos también se puede utilizar para averiguar si dos sucesos son realmente independientes entre sí. Si la probabilidad de la intersección es igual al producto de la probabilidad de los sucesos individuales, entonces son sucesos independientes, de lo contrario no lo son.
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